专题5 函数的应用-备战2021年高考大一轮复习典型题精讲精析（原卷版）
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一、单选题
1．若关于的方程在区间上仅有一个实根，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数是定义域在上的偶函数，且，当时，，则关于的方程在上所有实数解之和为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．7
3．已知函数，函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，若关于x的方程恰好有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数，若存在，使得，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，若对于，，使得，则的最大值为（ ）
A．e B．1-e C．1 D．
7．已知函数，若方程有4个不同的实根，且，则( )
A．12 B．16 C．18 D．20
8．某企业生产两种型号的产品，每年的产量分别为万支和万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的两种产品的年产量的增长率分别为和，那么至少经过多少年后，产品的年产量会超过产品的年产量（取）( )
A．6年 B．7年 C．8年 D．9年
9．对于函数，，若存在，使，则称，是函数与的一对“雷点”.已知，，若函数与恰有一个“雷点”，则实数的取值范围为（ ）
A． B．C．D．
10．定义域是一切实数的函数，其图像是连续不断的，且存在常数()使得
对任意实数都成立，则称是一个“—伴随函数”．有下列关于“—伴随函数”的结论：
①是常数函数中唯一一个“—伴随函数”；
②“—伴随函数”至少有一个零点；
③是一个“—伴随函数”；
其中正确结论的个数是 （ ）
A．1个； B．2个； C．3个； D．0个；
二、填空题
11．已知函数，若有3个零点，则实数的取值范围为________.
12．已知函数是定义域为的偶函数，当时，，若关于的方程，有且仅有个不同实数根，则实数的取值范围是__________.
13．设函数给出下列四个结论：①对，，使得无解；②对，，使得有两解；③当时，，使得有解；④当时，，使得有三解.其中，所有正确结论的序号是______.
14．若函数且满足对任意，都有，若，则函数在上的零点之和是______.
三、解答题
15．一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．
（1）求V关于θ的函数表达式；
（2）求的值，使体积V最大；
（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．
16．设数列的前n项和为,已知,,.
(1)证明:为等比数列,求出的通项公式;
(2)若,求的前n项和,并判断是否存在正整数n使得成立?若存在求出所有n值;若不存在说明理由.
17．已知：，，且，
（1）若，求的取值范围；
（2）已知时，，求为多少时，可以取得最大值，并求出该最大值.
18．某工厂因排污比较严重，决定着手整治，一个月时污染度为，整治后前四个月的污染度如下表：
月数 | … | ||||
污染度 | … |
污染度为后，该工厂即停止整治，污染度又开始上升，现用下列三个函数模拟从整治后第一个月开始工厂的污染模式：，，，其中表示月数，、、分别表示污染度．
（1）问选用哪个函数模拟比较合理，并说明理由；
（2）若以比较合理的模拟函数预测，整治后有多少个月的污染度不超过．
19．若存在与正实数，使得成立，则称函数在处存在距离为的对称点，把具有这一性质的函数称之为“型函数”．
（1）设，试问是否是“型函数”？若是，求出实数的值；若不是，请说明理由；
（2）设对于任意都是“型函数”，求实数的取值范围．
20．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）函数与函数的图像总有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为，.
（ⅰ）求的取值范围；
（ⅱ）求证：.
