湖北省六校2020-2021学年高三上学期10月联考数学试题
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高三数学试题
命题学校：鄂南高中 命题教师：高三数学组 审题学校：新洲一中邾城校区
考试时间：2020年10月15日 上午8∶00-10∶00 试卷满分：150分
第Ⅰ卷（共60分）
一、单选题：本大题共8个小题，每小题6分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设，集合，，则（ ）
A B． C． D．
2．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
3．在中，已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．若，使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． c． D．
5．“开车不喝酒，喝酒不开车．”公安部交通管理局下发《关于2019年治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表，经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”如下图，且该图表示的函数模型，则该人喝一瓶啤酒后至少经过（ ）小时才可以驾车？（参考数据：，）
车辆驾驶人员血液酒精含量阈值
驾驶行为类别 | 阈值（mg/100mL） |
饮酒后驾车 | ， |
醉酒后驾车 |
A．5 B．6 C．7 D．8
6．已知函数的图像与轴切于点，则的极值为（ ）
A．极大值为，极小值为0 B．极大值为0，极小值为
C．极小值为，极大值为0 D．极小值为0，极大值为
7．如图，在中，，，点为边上的一动点，则的最小值为（ ）
A．0 B． C． D．
8．已知函数在内有且仅有3个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本大题4个小题，每小题5分，共20分，每题有两个或以上的选项正确，全选对得5分，少选但没有错选得3分，有错选成全不选得0分）
9．若函数（，且）的图像不经过第二象限，则需同时满足（ ）
A． B． C． D．
10．下列函数中，最小值是4的函数有（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，下列是关于函数的零点个数的判断，其中正确的是（ ）
A．当时，有3个零点 B．当时，有2个零点
C．当时，有4个零点 D．当时，有1个零点
12．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列称为“斐波那契数列”，记为数列的前项和，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（共90分）
三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知向量与的夹角为，，，则________．
14．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为．若，则________．
15．等差数列中，为其前项和，若，，则________．
16．若存在两个正实数，使等式成立，（其中）则实数的取值范围是________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）（注意：在试题卷上作答无效）
在① ② ③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求出的最大值；若问题中的三角形不存在，请说明理由（若选择多个，则按第一个条件评分）
问题：已知的内角，，的对边分别为，，，若，________，求的最大值
18．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
数列中，为其前项和，且．
（Ⅰ）求，；
（Ⅱ）若，求数列的其前项和．
19．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
如图，四棱锥中，底面为菱形，平面，为的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）设，，三棱锥的体积为，求二面角的余弦值．
20．（本小题满分12分（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数是偶函数，函数是奇函数．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）设，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
21．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知直线与圆相切，动点到与两点的距离之和等于、两点到直线的距离之和．
（I）求动点的轨迹的方程；
（I）过点的直线交轨迹于不同两点、，交轴于点，已知，，试问是否等于定值，并说明理由．
22．（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）
已知函数
（Ⅰ）若，求函数的最小值；
（Ⅱ）若函数对任意的恒成立，求正实数的最值范围；
（Ⅲ）求证：，．（为自然对数的底数）
六校10月联考数学试题答案
第一部分：选择题（每题5分，共60分）9-12多选题：全选对得5分，少选但没有错选得3分，有错选或全不选得0分
1-5：BCBCB
6．A
解析：由题意，函数，则，
因为函数的图像与轴切于点．
则，且，
联立方程组，解得，，即，
则，
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，
所以函数的极大值为极小值为，
故选A．
7．C．
解析：作于点，由知，．
法一：建系如图所示，，，，设，则
（其中）
所以当时，取得最小值．
法二：
只需考虑在上时即可，（当且仅当为中点时取等号）
8．A
解析：
当时，
∵在有且仅有3个零点
∴
综上：∴
12．ACD
解析：对A，写出数列的前6项为1，1，2，3，5，8，故A正确；
对B，，故B错误；
对C，由，，，……，，
可得：．故是斐波那契数列中的第2020项．
对D，斐波那契数列总有，则，，
，……，，
，故D正确；
故选：ACD．
三、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．
14．
解析：根据题中的条件可得：
，
故答案是：．
15．
解析：设，，由是等差数列，则知
16．
解析：，
设且，设，那么，
恒成立，所以是单调递减函数，
当时，，当时，，函数单调递增，
当，，函数单调递减，所以在时，取得最大值，，即，
解得：，故填：．
四、解答题
17．（10分）解：若选择条件①
∵，∴，∴
若选择条件②
∵，∴
∴
若选择条件③
∵，∴，∴
由余弦定理可知
当且仅当时等号成立
综上
18．（12分）解：（1）当时，，则，
则，当时，
当时，适合上式，则，
（2）由（1）可知，
则
两式相减得，
∴
19．（12分）（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）．
解：（Ⅰ）连接交于点，连接，则为中点，为的中点，所以，
平面，平面，
所以平面；
（Ⅱ）设菱形的边长为，
，
，则．
取中点，连接．
以点为原点，以方向为轴，以方向为轴，
以方向为轴，建立如图所示坐标系．
，，，
，，
设平面的法向量为，
由，，
得，令，则，
∴，
平面的一个法向量为
，即二面角的余弦值为．
20．（12分）解：（1）由于为奇函数，且定义域为，
∴，即，
经检验，符合题意；
∵，
∴
∵是偶函数，
∴，得恒成立，故
综上所述，可得
（2）∵，
∴
又∵，在区间上是增函数且
∵在区间上是增函数，
∴
由题意，得
因此实数的取值范围是：．
21．（12分）解：（1）设、、三点到直线的距离分别为、、，为的中点，则
∵直线与圆相切，∴
∴
∴动点的轨迹是以、为焦点，长轴长为6的椭圆
∴，，，
所以动点的轨迹
（2）方法一：①当斜率为0时，，，不妨取，，
∴，，则，
，，则，∴．
②当斜率不为0时，
设，、，则．
则
由，同理可得
由，得，
∴，，
∴
综上，为定值．
方法二：设，，，
由于点在轨迹上，∴
整理，得
由同理可得
∴，方程关于的方程的两根
故为定值．
22．（12分）解：（Ⅰ）当时，由题意
0 | |||
0 | |||
极小值 |
所以当时，
（Ⅱ）由
当时，，∴恒成立，即在上单调递增，所以恒成立，符合
当时，，当，，即在上单调递减，此时，不符合
综上：
说明：此间分离变量结合洛必达法则，酌情给分．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，时，，
取，，则，，，…，
即，，，…，
上式个式子相乘得：
即所以
