2019届高考数学二轮复习查漏补缺练习：第5讲《函数的单调性与最值》(含解析)

课时作业(五)　第5讲　函数的单调性与最值

时间 / 45分钟　分值 / 100分　　　　　　　　　　　　　　　

基础热身

1.[2018·北京门头沟区一模] 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是 (　　)

A.y=

B.y=sin x

C.y=2-x

D.y=lo(x+1)

2.函数f(x)=在区间[a,b]上的最大值是1,最小值是,则a+b= (　　)

A.3

B.4

C.5

D.6

3.已知函数y=log2(ax+3)在(-1,3)上单调递增,则实数a的取值范围是 (　　)

A.(0,1]

B.(0,2)

C.(0,3]

D.(0,3)

4.函数y=x+的最小值为　　　　　. 

5.若函数y=|2x+c|是区间(-∞,1]上的单调函数,则实数c的取值范围是　　　　. 

能力提升

6.已知函数f(x)=ax2+2(a-3)x+3在区间(-∞,3)上是减函数,则a的取值范围是 (　　)

A.

B.

C.

D.

7.函数y= (　　)

A.在区间(1,+∞)上单调递增

B.在区间(1,+∞)上单调递减

C.在区间(-∞,1)上单调递增

D.在定义域内单调递减

8.已知f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a为实数,则有 (　　)

A.f(a)<f(2a)

B.f(a2)<f(a)

C.f(a2+a)<f(a)

D.f(a2+1)>f(a)

9.[2018·潍坊一中月考] 已知函数f(x)=若对R上的任意实数x1,x2(x1≠x2),恒有(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0成立,那么a的取值范围是              (　　)

A.(0,3)

B.(0,3]

C.(0,2)

D.(0,2]

10.若函数f(x)=在区间(-1,1)上单调递减,则实数m的取值范围是　　　　. 

11.已知函数f(x)=若f(x)在区间上既有最大值又有最小值,则实数a的取值范围是　　　　. 

12.函数f(x)=(t>0)是区间(0,+∞)上的增函数,则t的取值范围是　　　　. 

13.(15分)已知定义在区间(0,+∞)上的函数f(x)满足f=f(x1)-f(x2),且当x>1时,f(x)<0.

(1)证明:f(x)为减函数.

(2)若f(3)=-1,求f(x)在[2,9]上的最小值.

14.(15分)已知函数f(x)=log4(ax2+2x+3).

(1)若f(1)=1,求f(x)的单调区间.

(2)是否存在实数a,使f(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.

难点突破

15.(5分)[2018·湖南永州二模] 已知函数f(x)=a+log2(x2+a)(a>0)的最小值为8,则 (　　)

A.a∈(5,6) B.a∈(7,8)

C.a∈(8,9) D.a∈(9,10)

16.(5分)已知函数f(x)的定义域为D,若对于任意x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)≤f(x2),则称函数f(x)在D上为非减函数.设函数f(x)在[0,1]上为非减函数,且满足以下三个条件:①f(0)=0;②f=f(x);③f(1-x)=1-f(x).则f+f=              (　　)

A. B.

C.1 D.

课时作业(五)

1.A　[解析] y=在区间(0,+∞)上为增函数;y=sin x在区间(0,+∞)上不单调;y=2-x在区间(0,+∞)上为减函数;y=lo(x+1)在区间(0,+∞)上为减函数.故选A.

2.D　[解析] 由题易知b>a>1,f(x)在[a,b]上为减函数,所以f(a)=1且f(b)=,即=1且=,解得a=2,b=4,所以a+b=6.故选D.

3.C　[解析] 要使y=log2(ax+3)在(-1,3)上单调递增,则a>0且a×(-1)+3≥0,所以0<a≤3.

4.1　[解析] 易知函数y=x+的定义域为[1,+∞),且在[1,+∞)上为增函数,所以当x=1时,函数取得最小值,且ymin=1.

5.c≤-2　[解析] 函数y=|2x+c|=则函数y=|2x+c|在上单调递减,在上单调递增,所以-≥1,解得c≤-2.

6.D　[解析] 当a=0时,f(x)=-6x+3在(-∞,3)上是减函数,符合题意;当a≠0时,函数f(x)是二次函数,由题意有a>0且-≥3,解得0<a≤.综上可知,0≤a≤.

7.B　[解析] y===2+,显然该函数在(1,+∞)上单调递减.故选B.

8.D　[解析] 当a<0时,a>2a,此时f(a)>f(2a),故A错误;当a=-1时,f(a2)>f(a),故B错误;当a=0时,f(a2+a)=f(a),故C错误;由a2+1-a=+>0,得a2+1>a,则f(a2+1)>f(a),故D正确.故选D.

9.D　[解析] 由题意可知函数f(x)是R上的减函数,∴当x≤1时,f(x)单调递减,即a-3<0①.当x>1时,f(x)单调递减,即a>0②.又(a-3)×1+5≥③,∴联立①②③解得0<a≤2,故选D.

10.[4,+∞)　[解析] 由题意可知函数y=2x2+mx-3在(-1,1)上单调递增,图像的对称轴方程为x=-,所以-≤-1,得m≥4,即实数m的取值范围是[4,+∞).

11.　[解析] f(x)的图像如图所示.∵f(x)在上既有最大值又有最小值,∴解得-<a<0,故a的取值范围为.

12.t≥1　[解析] 函数y=x2(x>0),y=x(x>0)的图像如图所示.

由图像可知,若函数f(x)=(t>0)是区间(0,+∞)上的增函数,则需t≥1.

13.解:(1)证明:任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,

则>1,由于当x>1时,f(x)<0,

所以f<0,即f(x1)-f(x2)<0,

因此f(x1)<f(x2),

所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.

(2)因为f(x)在(0,+∞)上是减函数,

所以f(x)在[2,9]上的最小值为f(9).

由f=f(x1)-f(x2)得,

f=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.

所以f(x)在[2,9]上的最小值为-2.

14.解:(1)∵f(x)=log4(ax2+2x+3)且f(1)=1,

∴log4(a·12+2×1+3)=1,即a+5=4,解得a=-1,

可得函数f(x)=log4(-x2+2x+3).

由-x2+2x+3>0,得-1<x<3,

∴函数f(x)的定义域为(-1,3).

令t=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

可得当x∈(-1,1)时,t为关于x的增函数,

当x∈(1,3)时,t为关于x的减函数.

∴函数f(x)=log4(-x2+2x+3)的单调递增区间为(-1,1),单调递减区间为(1,3).

(2)设存在实数a,使f(x)的最小值为0.

由底数4>1,可得g(x)=ax2+2x+3≥1恒成立,

且g(x)的最小值恰好是1,

即a为正数,且当x=-=-时,g(x)的值为1,

∴即解得a=.

因此存在实数a=,使f(x)的最小值为0.

15.A　[解析] 因为f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)min=f(0)=a+log2a=8.令g(x)=x+log2x-8,则g(x)在(0,+∞)上单调递增,又g(5)=5+log25-8<0,g(6)=6+log26-8>0,所以g(x)的零点a∈(5,6).故选A.

16.B　[解析] 条件③中,令x=0,可得f(1)=1.条件②中,令x=1,可得f=f(1)=;

令x=,可得f=f=.由条件③及f=,可知f=.条件②中,令x=,

可得f=f=.因为<<且函数f(x)在[0,1]上为非减函数,所以f=,所以f+f=.