2019届高考数学二轮复习查漏补缺练习：第6讲《函数的奇偶性与周期性》(含解析)

课时作业(六)　第6讲　函数的奇偶性与周期性

时间 / 45分钟　分值 / 100分　　　　　　　　

基础热身

1.下列函数中,在其定义域上是偶函数的是 (　　)

A.y=2-x

B.y=x-3

C.y=

D.y=lg(2-x)-lg(2+x)

2.[2018·泉州3月模拟] 已知函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(x+4),f(1)=1,则f(-9)= (　　)

A.-1 B.-5

C.1 D.5

3.函数f(x)=为奇函数,则f[g(2)]= (　　)

A.-2

B.-1

C.0

D.2

4.函数f(x)是定义域为R的偶函数,又是以2为周期的周期函数,若f(x)在[-1,0]上是减函数,则f(x)在[2,3]上是              (　　)

A.减函数

B.增函数

C.先增后减的函数

D.先减后增的函数

5.若函数f(x)=是奇函数,则实数m=　　　　. 

能力提升

6.[2018·烟台模拟] 定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),当x∈(-1,0)时,f(x)=e-x,则f=              (　　)

A. B.-          C. D.-

7.定义在R上的函数f(x)满足f(-x)=-f(x),f(3-x)=f(x),则f(2019)= (　　)

A.-3 B.0

C.1 D.3

8.[2018·江西师大附中月考] 若函数y=f(2x-1)是偶函数,则函数y=f(2x+1)的图像的对称轴方程是              (　　)

A.x=-1 B.x=0

C.x= D.x=-

9.[2018·雅安三诊] 偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,若f(-2)=1,则满足f(x-2)≤1的x的取值范围是              (　　)

A.[0,2]

B.[-2,2]

C.[0,4]

D.[-4,4]

10.函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f的值为 (　　)

A. B.

C.- D.-

11.[2018·天津河西区三模] 设f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≥0时,f(x)=若对任意的x∈[m,m+1],不等式f(1-x)≤f(x+m)恒成立,则实数m的最大值是              (　　)

A.-1 B.-

C.- D.

12.[2019·广州大学附中等三校一联] 已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x)的图像关于直线x=1对称,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-1,则f(2018)的值为              (　　)

A.-2 B.-1

C.0 D.1

13.若函数f(x)是偶函数,且x≥0时,f(x)=lg(x+1),则满足f(2x+1)<1的实数x的取值范围是　　　　. 

14.已知函数f(x)=ln(x+),若实数a,b满足f(a)+f(b-2)=0,则a+b=　　　　. 

15.(10分)设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x),当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.

(1)求证:f(x)是周期函数;

(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;

(3)求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2017)的值.

16.(10分)已知f(x)=是奇函数,且f(2)=.

(1)求实数p,q的值;

(2)判断函数f(x)在(-∞,-1)上的单调性,并加以证明.

难点突破

17.(5分)已知y=f(x)是偶函数,当x>0时,f(x)=x+,且当x∈[-3,-1]时,n≤f(x)≤m恒成立,则m-n的最小值是              (　　)

A.3 B.4

C.1 D.2

18.(5分)[2018·四川南充二诊] 已知函数f(x)=,函数g(x)对任意的x∈R都有g(2018-x)=4-g(x-2016)成立,设y=f(x)与y=g(x)的图像的m(m为偶数)个交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则

课时作业(六)

1.C　[解析] y=2-x在其定义域上是非奇非偶函数;y=x-3在其定义域上是奇函数;y=在其定义域上是偶函数;y=lg(2-x)-lg(2+x)在其定义域上是奇函数.因此选C.

2.C　[解析] 因为f(x)是偶函数且周期为4,所以f(-9)=f(9)=f(8+1)=f(1)=1,故选C.

3.D　[解析] ∵函数f(x)=为奇函数,∴g(x)=-2x+2,g(2)=-22+2=-2,f[g(2)]=f(-2)=22-2=2,故选D.

4.B　[解析] 因为f(x)是R上以2为周期的偶函数,且在[-1,0]上是减函数,所以f(x)在[0,1]上为增函数,在[1,2]上为减函数,在[2,3]上为增函数.故选B.

5.　[解析] ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),即=-,∴-x-2m+1=-x+2m-1,∴-2m+1=2m-1,∴m=.

6.B　[解析] 由函数f(x)满足f(x+2)=f(x),知函数f(x)是以2为周期的周期函数,则f=f=f.又函数f(x)为奇函数且当x∈(-1,0)时,f(x)=e-x,所以f=-f=-=-,即f=-,故选B.

7.B　[解析] 由已知得f(x+3)=f(-x)=-f(x),所以函数f(x)是周期为6的周期函数,所以f(2019)=f(336×6+3)=f(3).因为f(-x)=-f(x),所以f(0)=0,又因为f(3-x)=f(x),所以f(3)=f(0)=0.故选B.

8.A　[解析] 因为函数y=f(2x-1)是偶函数,所以函数y=f(2x-1)的图像关于y轴对称.因为函数y=f(2x+1)的图像是由函数y=f(2x-1)的图像向左平移1个单位长度得到的,所以函数y=f(2x+1)的图像的对称轴是直线x=-1,故选A.

9.C　[解析] 因为f(-2)=1,所以f(x-2)≤1可化为f(x-2)≤f(-2),而函数f(x)是偶函数,所以f(|x-2|)≤f(2),又函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,所以|x-2|≤2,解得0≤x≤4.故选C.

10.A　[解析] 由函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),可得f(x+2)=-f(x+1)=f(x),∴f(x)的周期为2,又当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),∴f=f=2××=,故选A.

11.B　[解析] 易知函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,又函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,则由f(1-x)≤f(x+m),得|1-x|≥|x+m|,即(1-x)2≥(x+m)2,即g(x)=(2m+2)x+m2-1≤0在[m,m+1]上恒成立,则解得-1≤m≤-,即m的最大值为-.

12.C　[解析] 因为f(x)的图像关于直线x=1对称,所以f(x+2)=f(-x),又f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数,所以f(2018)=f(504×4+2)=f(2)=f(0)=20-1=0.故选C.

13.(-5,4)　[解析] ∵当x≥0时,f(x)=lg(x+1),∴1=f(9),且f(x)在[0,+∞)上单调递增,又f(x)是偶函数,∴由f(2x+1)<1得f(|2x+1|)<f(9).∵f(x)在[0,+∞)上单调递增,∴|2x+1|<9,解得-5<x<4,∴实数x的取值范围是(-5,4).

14.2　[解析] f(x)+f(-x)=ln(x+)+ln(-x+)=0,∵f(a)+f(b-2)=0,∴f(a)=f(2-b),由f(x)=ln(x+),可得f(x)单调递增,则a=2-b,∴a+b=2.

15.解:(1)证明:∵f(x+2)=-f(x),

∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),

∴f(x)是周期为4的周期函数.

(2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2],由已知得

f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,

又f(x)是奇函数,∴当x∈[-2,0]时,-f(x)=f(-x)=-2x-x2,

∴当x∈[-2,0]时,f(x)=x2+2x.

又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],

∴此时f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).

又f(x)是周期为4的周期函数,

∴当x∈[2,4]时,f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8,

∴当x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.

(3)易知f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=-1.

∵f(x)是周期为4的周期函数,

∴f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…=f(2008)+f(2009)+f(2010)+f(2011)=f(2012)+f(2013)+f(2014)+f(2015)=0,

∴f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2017)=f(2016)+f(2017)=f(0)+f(1)=1.

16.解:(1)因为f(x)=是奇函数,

所以f(x)的定义域关于原点对称,所以q=0,

所以f(x)=.

又f(2)=,所以=,解得p=2.

(2)由(1)知f(x)=,则f(x)在(-∞,-1)上是增函数.下面给出证明:

任取x1<x2<-1,则f(x1)-f(x2)=-=.

因为x1<x2<-1,所以x2-x1>0,1-x1x2<0,x1x2>0,

所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),

所以函数f(x)在(-∞,-1)上是增函数.

17.C　[解析] 因为当x∈[-3,-1]时,n≤f(x)≤m恒成立,所以n≤f(x)min且m≥f(x)max,所以m-n的最小值是f(x)max-f(x)min.又由偶函数的图像关于y轴对称知,当x∈[-3,-1]时,函数f(x)的最值与当x∈[1,3]时的最值相同.又当x>0时,f(x)=x+在[1,2]上单调递减,在(2,3]上单调递增,所以f(x)min=f(2)=4,又f(1)=5>f(3)=,所以f(x)max-f(x)min=f(1)-f(2)=5-4=1.故选C.

18.3m　[解析] 对任意的x∈R都有g(2018-x)=4-g(x-2016)成立,即g(2018-x)+g(x-2016)=4,故g(x)的图像关于点(1,2)中心对称,函数f(x)==2+的图像也关于点(1,2)中心对称,即两个函数的图像有相同的对称中心,故每两个关于点(1,2)对称的交点的横坐标之和为2,纵坐标之和为4,故x1+x2+…+xm=×2=m,y1+y2+…+ym=×4=2m,故