2019届高考数学二轮复习查漏补缺练习：第30讲《等比数列及其前n项和》(含解析)

课时作业(三十)　第30讲　等比数列及其前n项和

时间 / 45分钟　分值 / 100分　　　　　　　　　　　　　

基础热身

1.设{an}是公比q≠1的等比数列,且a2=9,a3+a4=18,则q等于 (　　)

A.2        B.           C.-2 D.-

2.已知{an},{bn}都是等比数列,则下列说法正确的是 (　　)

A.{an+bn},{an·bn}都一定是等比数列

B.{an+bn}一定是等比数列,但{an·bn}不一定是等比数列

C.{an+bn}不一定是等比数列,但{an·bn}一定是等比数列

D.{an+bn},{an·bn}都不一定是等比数列

3.在等比数列{an}中,a2=2,a5=16,则a6= (　　)

A.14 B.28           C.32 D.64

4.已知数列{an}的前n项和为Sn,若a1=1,Sn=2an+1,则Sn=　　　　. 

5.在正项等比数列{an}中,若a1,a3,2a2成等差数列,则=　　　　. 

能力提升

6.设{an}是公比为q>1的等比数列,若a2010和a2011是方程4x2-8x+3=0的两根,则a2012+a2013=(　　)

A.18  B.10         C.25  D.9

7.在等比数列{an}中,a2>0,则“a2<a5”是“a3<a5”的 (　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

8.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请计算此人第二天走的路程.则该问题的计算结果为              (　　)

A.12里       B.24里         C.96里        D.48里

9.在各项都是正数的等比数列{an}中,若a2,a3,a1成等差数列,则的值为 (　　)

A.     B.           C.     D.或

10.在等比数列中,a1=1,a4=,且a1a2+a2a3+…+anan+1<k恒成立,则k的取值范围是 (　　)

A. B.        C. D.

11.若正项等比数列{an}满足anan+1=22n(n∈N*),则a6-a5的值是 (　　)

A.  B.-16         C.2  D.16

12.设公比不为1的等比数列{an}满足a1a2a3=-,且a2,a4,a3成等差数列,则数列{an}的前4项和S4=　　　　. 

13.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S7-S5=3(a4+a5),则4a3+的最小值为　　　　. 

14.(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2an-1(n∈N*).

(1)求a1,a2,a3的值;

(2)求数列{an}的通项公式.

15.(10分)已知各项均为正数且递减的等比数列{an}满足a3,a4,2a5成等差数列,前5项和S5=31.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)若等差数列{bn}满足b1=a4-1,b2=a3-1,求数列{}的前n项和.

16.(15分)已知数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,a1=1,b1=2,a2+b2=7,a3+b3=13.

(1)求{an}和{bn}的通项公式;

(2)若cn=求数列{cn}的前2n项和S2n.

课时作业(三十)

1.C　[解析] ∵a2=9,a3+a4=18,∴a1·q=9,a1·q2+a1·q3=18,∴q(1+q)=2,解得q=-2或q=1(舍去),故选C.

2.C　[解析] 两个等比数列的积仍是一个等比数列,但两个等比数列的和不一定是一个等比数列,故选C.

3.C　[解析] 因为q3==8,所以q=2,所以a6=a5q=32.故选C.

4.　[解析] 由题意知Sn=2Sn+1-2Sn,所以Sn+1=Sn,又S1=1,所以{Sn}是首项为1,公比为的等比数列,所以Sn=.

5.3+2　[解析] 设数列{an}的公比为q,由于a1,a3,2a2成等差数列,所以a3=a1+2a2,即a1·q2=a1+2a1q,又a1≠0,所以q2-2q-1=0,解得q=+1(负值舍去).故=q2=3+2.

6.A　[解析] 设数列{an}的公比为q,由题意可得a2010=,a2011=,∴q=3,∴a2012+a2013=+=18.

7.A　[解析] 设数列{an}的公比为q,当a2<a5时,可得q3>1,则q>1,所以a3>0,所以a5=a3q2>a3,充分性成立;当a3<a5,即a3<a3q2时,若a3<0,则q2<1,又a2>0,所以-1<q<0,所以a2>a2q3,即a2>a5,必要性不成立.故选A.

8.C　[解析] 设第i天走了ai里,其中i=1,2,3,4,5,6,由题意可知a1,a2,a3,a4,a5,a6成等比数列,其公比q=,且a1+a2+a3+a4+a5+a6==378,解得a1=192,所以a2=192×=96,故选C.

9.B　[解析] 设{an}的公比为q(q>0且q≠1),根据题意可知a3=a2+a1,即q2-q-1=0,解得q=(负值舍去),故==,故选B.

10.D　[解析] 设等比数列的公比为q,则q3==,解得q=,所以an=,所以anan+1=×=,所以数列{anan+1}是首项为,公比为的等比数列,所以a1a2+a2a3+…+anan+1==1-<,所以k≥.故k的取值范围是,+∞,故选D.

11.D　[解析] 设正项等比数列{an}的公比为q>0,由anan+1=22n(n∈N*),可得==4=q2,解得q=2,∴×2=22n,又an>0,∴an=,则a6-a5=-=16,故选D.

12.　[解析] 设数列{an}的公比为q,因为a1a2a3=-,所以=-,解得a2=-,所以a3=-q,a4=-q2,又a2,a4,a3成等差数列,故2a4=a2+a3,解得q=-或q=1(舍),则a1=1,故S4=a1+a2+a3+a4=.

13.4　[解析] 设等比数列{an}的公比为q,∵S7-S5=a7+a6=3(a4+a5),∴=q2=3,∴4a3+=4a3+=4a3+≥2=4,当且仅当4a3=,即a3=时等号成立,∴4a3+的最小值为4.

14.解:(1)当n=1时,S1=2a1-1=a1,解得a1=1;

当n=2时,S2=2a2-1,即a1+a2=2a2-1,得a2=2;

当n=3时,S3=2a3-1,即a1+a2+a3=2a3-1,得a3=4.

综上可知a1=1,a2=2,a3=4.

(2)由(1)知,当n=1时,a1=1.

因为Sn=2an-1,所以当n≥2时,Sn-1=2an-1-1,

两式相减,得an=Sn-Sn-1=2an-2an-1(n≥2),

整理得an=2an-1(n≥2),

故数列{an}是首项为1,公比为2的等比数列,故an=2n-1.

15.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,由a3,a4,2a5成等差数列,得3a4=a3+2a5,则2q2-3q+1=0,解得q=或q=1(舍去),所以S5==31,解得a1=16,所以数列{an}的通项公式为an=16·=.

(2)设等差数列{bn}的公差为d,由b1=a4-1,b2=a3-1,得b1=1,d=a3-a4=4-2=2,

所以bn=2n-1,所以=,

则数列{}的前n项和Tn=++…+==1-.

16.解:(1)设数列{an}的公差为d,数列{bn}的公比为q,

则依题意有解得

故an=2n-1,bn=2n.

(2)由已知得c2n-1=a2n-1=4n-3,c2n=b2n=4n,

所以数列{cn}的前2n项和S2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(b2+b4+…+b2n)=+=2n2-n+(4n-1).