2019届高考数学二轮复习查漏补缺练习：解答必刷卷3《数列》(含解析)
展开解答必刷卷(三) 数列
考查范围:第28讲~第32讲
题组一 真题集训
1.等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)记Sn为{an}的前n项和,若Sm=63,求m.
2.设数列{an}满足a1+3a2+…+(2n-1)an=2n.
(1)求{an}的通项公式;
(2)求数列的前n项和.
3.设{an}是等差数列,其前n项和为Sn(n∈N*);{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(n∈N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6.
(1)求Sn和Tn;
(2)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整数n的值.
题组二 模拟强化
4.已知数列{an}满足a1=1,an-an-1=2n-1(n≥2,n∈N*).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设数列bn=log2(an+1),求数列的前n项和Sn.
5.已知数列{an}的通项公式为an=2n-11.
(1)求证:数列{an}是等差数列;
(2)令bn=|an|,求数列{bn}的前10项和S10.
6.在数列{an}中,a1=1,an+1=
(1)证明:数列a2n-是等比数列;
(2)若Sn是数列{an}的前n项和,求S2n.
7.已知数列{an}为等差数列,且a2+a3=8,a5=3a2.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记bn=,设{bn}的前n项和为Sn,求使得Sn>的最小的正整数n.
解答必刷卷(三)
1.解:(1)设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.
由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去)或q=-2或q=2.
故an=(-2)n-1或an=2n-1.
(2)若an=(-2)n-1,则Sn=.由Sm=63得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.
若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.
综上,m=6.
2.解:(1)因为a1+3a2+…+(2n-1)an=2n,故当n≥2时,
a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1).
两式相减得(2n-1)an=2,所以an=(n≥2).
又由题设可得a1=2,
从而{an}的通项公式为an=.
(2)记的前n项和为Sn,
由(1)知==-,
则Sn=-+-+…+-=.
3.解:(1)设等比数列{bn}的公比为q.
由b1=1,b3=b2+2,可得q2-q-2=0.
因为q>0,所以可得q=2,故bn=2n-1.
所以Tn==2n-1.
设等差数列{an}的公差为d.
由b4=a3+a5,可得a1+3d=4.
由b5=a4+2a6,可得3a1+13d=16,从而a1=1,d=1,故an=n,所以Sn=.
(2)由(1),有T1+T2+…+Tn=(21+22+…+2n)-n=-n=2n+1-n-2.
由Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,可得+2n+1-n-2=n+2n+1,整理得n2-3n-4=0,解得n=-1(舍)或n=4.
所以,n的值为4.
4.解:(1)∵an-an-1=2n-1(n≥2,n∈N*),
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(an-2-an-3)+…+(a2-a1)+a1,
即an=2n-1+2n-2+2n-3+…+22+21+1,则an==2n-1.
(2)bn=log2(an+1)=n,则==-,
∴Sn=-+-+-+…+-=1-=.
5.解:(1)证明:∵an=2n-11,∴an+1-an=2(n+1)-11-2n+11=2(n∈N*),∴数列{an}为等差数列.
(2)由(1)得bn=|an|=|2n-11|,∴当n≤5时,bn=|2n-11|=11-2n,
当n≥6时,bn=|2n-11|=2n-11.
∴S10=[55-2×(1+2+3+4+5)]+[2×(6+7+8+9+10)-55]=50.
6.解:(1)证明:设bn=a2n-,则b1=a2-=a1+1-=-,
因为=====,
所以数列a2n-是以-为首项,为公比的等比数列.
(2)由(1)得bn=a2n-=-·=-·,即a2n=-·+,
由a2n=a2n-1+(2n-1),得a2n-1=3a2n-3(2n-1)=-·-6n+,
所以a2n-1+a2n=-·+-6n+9=-2·-6n+9,
故S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)=-2×++…+-6×(1+2+…+n)+9n=-2×-6·+9n=-1-3n2+6n=-3(n-1)2+2.
7.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,依题意有
解得从而数列{an}的通项公式为an=2n-1,n∈N*.
(2)因为bn==-,所以Sn=-+-+…+-=1-.
令1->,解得n>1008.5,故使得Sn>的最小正整数为1009.
