2019届高考数学二轮复习查漏补缺练习：小题必刷卷8《数列》(含解析)

小题必刷卷(八)　数列

考查范围:第28讲~第32讲

题组一　刷真题

角度1　数列的概念及递推关系

1.[2016·浙江卷] 如图X8-1,点列{An},{Bn}分别在某锐角的两边上,且|AnAn+1|=|An+1An+2|,An≠An+2,n∈N*,|BnBn+1|=|Bn+1Bn+2|,Bn≠Bn+2,n∈N*.(P≠Q表示点P与Q不重合)若dn=|AnBn|,Sn为△AnBnBn+1的面积,则              (　　)

图X8-1

A.{Sn}是等差数列 B.{}是等差数列

C.{dn}是等差数列 D.{}是等差数列

2.[2014·全国卷Ⅱ] 数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=　　　　. 

角度2　等差数列概念、性质及基本运算

3.[2017·全国卷Ⅰ] 记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为(　　)

A.1 B.2 C.4 D.8

4.[2015·全国卷Ⅰ] 已知{an}是公差为1的等差数列,Sn为{an}的前n项和.若S8=4S4,则a10=(　　)

A. B. C.10 D.12

5.[2015·陕西卷] 中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2015,则该数列的首项为　　　　. 

角度3　等差数列前n项和

6.[2017·全国卷Ⅲ] 等差数列{an}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{an}前6项的和为              (　　)

A.-24 B.-3 C.3 D.8

7.[2016·全国卷Ⅰ] 已知等差数列{an}前9项的和为27,a10=8,则a100= (　　)

A.100 B.99 C.98 D.97

8.[2015·全国卷Ⅱ] 设Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1+a3+a5=3,则S5= (　　)

A.5 B.7 C.9 D.11

9.[2014·全国卷Ⅱ] 等差数列{an}的公差为2,若a2,a4,a8成等比数列,则{an}的前n项和Sn=(　　)

A.n(n+1) B.n(n-1)

C. D.

10.[2017·浙江卷] 已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的              (　　)

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

角度4　等比数列概念、性质及基本运算

11.[2017·全国卷Ⅱ] 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯              (　　)

A.1盏 B.3盏

C.5盏 D.9盏

12.[2015·全国卷Ⅱ] 已知等比数列{an}满足a1=,a3a5=4(a4-1),则a2= (　　)

A.2 B.1 C. D.

13.[2018·北京卷] “十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为              (　　)

A.f  B.f

C.f D.f

14.[2017·全国卷Ⅲ] 设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1-a3=-3,则a4=　　　　. 

15.[2015·广东卷] 若三个正数a,b,c成等比数列,其中a=5+2,c=5-2,则b=　　　　. 

16.[2015·福建卷] 若a,b是函数f(x)=x2-px+q(p>0,q>0)的两个不同的零点,且a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则p+q的值等于　　　　. 

角度5　等比数列前n项和

17.[2013·全国卷Ⅰ] 设首项为1,公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn,则 (　　)

A.Sn=2an-1 B.Sn=3an-2

C.Sn=4-3an D.Sn=3-2an

18.[2015·全国卷Ⅰ] 在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn为{an}的前n项和.若Sn=126,则n=　　　　. 

角度6　数列求和与通项公式

19.[2015·全国卷Ⅱ] 设Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1=SnSn+1,则Sn=　　　　. 

题组二　刷模拟

20.[2018·武汉二月调研] 在等差数列{an}中,前n项和Sn满足S7-S2=45,则a5= (　　)

A.7 B.9 C.14 D.18

21.[2018·银川一中模拟] 等差数列{an}的前11项和S11=88,则a3+a9= (　　)

A.8 B.16 C.24 D.32

22.[2018·湖北黄冈、黄石八市3月联考] 若a,b,c,d∈R,则“a+d=b+c”是“a,b,c,d依次成等差数列”的              (　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

23.[2018·湖南湘东五校联考] 已知在等比数列{an}中,a3=7,前3项的和S3=21,则公比q的值是              (　　)

A.1 B.-          C.1或- D.-1或

24.[2018·安徽安庆一中月考] 已知数列{an}的前n项和为Sn,S1=1,S2=2,且Sn+1+2Sn-1=3Sn(n≥2且n∈N*),则数列{an}              (　　)

A.为等差数列             B.为等比数列

C.从第2项起为等差数列 D.从第2项起为等比数列

25.[2018·宁夏石嘴山三中模拟] 在等比数列{an}中,a2a3a4=1,a6a7a8=64,则a5= (　　)

A.±2 B.-2

C.2 D.4

26.[2018·山东菏泽一模] 已知在等差数列中,a1=1,a3=2a+1,a5=3a+2,若Sn=a1+a2+…+an,且Sk=66,则k的值为              (　　)

A.9 B.10

C.11 D.12

27.[2018·银川一中月考] 已知数列{an}的首项a1=1,且an+1-an=,则a2018= (　　)

A.1- B.2-

C. D.

28.[2018·吉林市三调] 已知等差数列{an}的公差不为0,a1=1,且a2,a4,a8成等比数列,设{an}的前n项和为Sn,则Sn=              (　　)

A. B.

C. D.

29. [2018·成都石室中学二诊] 已知数列{an}的各项都为正数,前n项和为Sn,若{log2an}是公差为1的等差数列,且S5=62,则a2=　　　　. 

30.[2018·安徽蚌埠二中4月月考] 已知等比数列{an}的各项均为正数,Sn是其前n项和,且满足2S3=8a1+3a2,若a4=16,则S4=　　　　. 

31.[2018·山东潍坊三模] 数列{an}满足an=,则++…+=　　　　. 

32.[2018·厦门二检] 已知数列{an}满足a1=1,a2=3,|an-an-1|=n(n∈N,n≥3),若{a2n-1}是递增数列,{a2n}是递减数列,则a2018=　　　　. 

33.[2018·湖南三湘名校三联] 已知首项为2的数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1-2(2an+1)=0(n∈N*),记f(n)=(-2n+31)-1(n∈N*),则当f(n)取得最大值时,n的值为　　　　. 

小题必刷卷(八)

1.A　[解析] 由题意得,An是线段An-1An+1(n≥2)的中点,Bn是线段Bn-1Bn+1(n≥2)的中点,且线段AnAn+1的长度都相等,线段BnBn+1的长度都相等.过点An作高线hn,由A1作高线h2的垂线A1C1,由A2作高线h3的垂线A2C2,则h2-h1=|A1A2|sin∠A2A1C1,h3-h2=|A2A3|sin∠A3A2C2.而|A1A2|=|A2A3|,∠A2A1C1=∠A3A2C2,故h1,h2,h3成等差数列,故△AnBnBn+1的面积构成的数列{Sn}是等差数列.

2.　[解析] 由题易知a8==2,得a7=;a7==,得a6=-1;a6==-1,得a5=2,于是可知数列{an}具有周期性,且周期为3,所以a1=a7=.

3.C　[解析] 设{an}的公差为d,则2a1+7d=24且6a1+15d=48,解得d=4.

4.B　[解析] 由S8=4S4,得8a1+×1=4,解得a1=,所以a10=+(10-1)×1=.

5.5　[解析] 设首项为a1,则a1+2015=2×1010,解得a1=5.

6.A　[解析] {an}为等差数列,且a2,a3,a6成等比数列,则=a2·a6,即(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d).将a1=1代入上式并化简,得d2+2d=0,∵d≠0,∴d=-2,∴S6=6a1+d=1×6+×(-2)=-24.

7.C　[解析] ×9=27,可得a5=3,所以a10-a5=5d=5,所以d=1,所以a100=a10+90d=98.

8.A　[解析] 因为{an}为等差数列,所以a1+a3+a5=3a3=3,所以a3=1,于是S5==5a3=5.

9.A　[解析] 由题意,得a2,a2+4,a2+12成等比数列,即(a2+4)2=a2(a2+12),解得a2=4,故a1=2,所以Sn=2n+×2=n(n+1).

10.C　[解析] 由题意,得Sn=na1+d,则S4+S6-2S5=(4a1+6d)+(6a1+15d)-2(5a1+10d)=d.因此当d>0时,S4+S6-2S5>0,则S4+S6>2S5;当S4+S6>2S5时,S4+S6-2S5>0,则d>0.所以“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件.因此选C.

11.B　[解析] 设塔的顶层共有a1盏灯,根据题意得=381,解得a1=3.

12.C　[解析] 因为{an}为等比数列,所以a3a5=4(a4-1)=,得a4=2,而a1=,==8=q3,得公比q=2,所以a2=×2=.

13.D　[解析] 由题意得,单音的频率是以f为首项,公比为的等比数列,∴第八个单音的频率为f·()7=f.

14.-8　[解析] 设等比数列{an}的公比为q.由得显然q≠±1,a1≠0,由得1-q=3,即q=-2,代入①式可得a1=1,∴a4=a1q3=1×(-2)3=-8.

15.1　[解析] 因为三个正数a,b,c成等比数列,所以b2=ac=(5+2)(5-2)=1.因为b>0,所以b=1.

16.9　[解析] 由 有a>0,b>0,不妨设a<b,则-2,a,b成等差数列,a,-2,b成等比数列,所以解得(负值舍去),所以p=5,q=4,即p+q=9.

17.D　[解析] an=,Sn==31-an=3-2an.

18.6　[解析] 由a1=2,an+1=2an可知数列{an}为等比数列,公比为2,所以Sn==126,得n=6.

19.-　[解析] 因为a1=-1,an+1=SnSn+1,所以S1=-1,Sn+1-Sn=SnSn+1,所以-=-1,所以数列是首项为-1,公差为-1的等差数列,所以=-n,所以Sn=-.

20.B　[解析] S7-S2=a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45,所以a5=9.

21.B　[解析] ∵等差数列{an}的前11项和S11=88,∴S11==88,∴a1+a11=16.根据等差数列的性质,可得a3+a9=a1+a11=16,故选B.

22.B　[解析] 若a,b,c,d依次成等差数列,则a+d=b+c,即必要性成立;若a=2,b=1,c=3,d=2,则满足a+d=b+c,但a,b,c,d不能依次成等差数列,即充分性不成立.故选B.

23.C　[解析] 因为a3++=21,所以1++=3,解得q=-或q=1,所以公比q的值是-或1.

24.D　[解析] 由S1=1得a1=1;由S2=a1+a2=2,得a2=1.∵Sn+1+2Sn-1=3Sn(n≥2且n∈N*),∴Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)(n≥2且n∈N*),∴an+1=2an(n≥2且n∈N*),当n=1时,上式不成立,∴数列{an}从第2项起是以2为公比的等比数列.故选D.

25.C　[解析] 因为a2a3a4=1,a6a7a8=64,所以=1,=64,即a3=1,a7=4,因此=a3a7=4,因为a5,a3同号,所以a5=2.

26.C　[解析] 由题意得2a3=a1+a5,即2(2a+1)=1+3a+2,解得a=1,所以公差d===1,所以Sk=k×1+×1=66,解得k=-12(舍去)或k=11.故选C.

27.C　[解析] ∵an+1-an=,∴an+2-an+1=,两式相加,得an+2-an=+=.∵a2-a1=-且a1=1,∴a2=,∴a2018=(a2018-a2016)+(a2016-a2014)+…+(a4-a2)+a2=×+×+…+×+=.

28.A　[解析] 设等差数列{an}的公差为d(d≠0),∵a2,a4,a8成等比数列,∴=a2·a8,即(a1+3d)2=(a1+d)·(a1+7d),∴(1+3d)2=(1+d)·(1+7d),解得d=1或d=0(舍去),∴Sn=n+=.

29.4　[解析] 设{log2an}的首项为a,则log2an=a+n-1,所以an=2n+a-1=2n-1·2a,所以{an}是首项为2a,公比为2的等比数列,故S5==31·2a=62,解得a=1,所以an=2n,a2=22=4.

30.30　[解析] 设等比数列{an}的公比为q>0,∵2S3=8a1+3a2,∴2(a1+a2+a3)=8a1+3a2,整理得2a3=6a1+a2,即2a1q2=6a1+a1q,即2q2-q-6=0,解得q=2或q=-(舍去),由a4=16,可得a1×23=16,解得a1=2,则S4==30.

31.　[解析] 由题意知an=,则==2-,所以++…+=2×1-+-+…+-=2×1-=.

32.-1005　[解析] ∵{a2n-1}是递增数列,∴a2n+1-a2n-1>0,∴(a2n+1-a2n)+(a2n-a2n-1)>0,∵2n+1>2n,∴|a2n+1-a2n|>|a2n-a2n-1|,∴a2n+1-a2n>0(n≥2),又|a3-a2|=3,∴a3=6或0,∵a3-a1>0,∴a3=6,∴a2n+1-a2n>0(n≥1)成立.由{a2n}是递减数列,可得a2n+2-a2n<0,同理可得a2n+2-a2n+1<0(n≥1).∴∴a2n+2-a2n=-1,∴{a2n}是首项为3,公差为-1的等差数列,故a2018=3+(1009-1)×(-1)=-1005.

33.8　[解析] 因为Sn+1-2(2an+1)=0(n∈N*),所以Sn+1=4an+2,所以S2=4a1+2,所以a2=3a1+2=8.因为an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1-4an,所以an+2-2an+1=2(an+1-2an),所以数列{an+1-2an}是以a2-2a1=4为首项,2为公比的等比数列,所以an+1-2an=4×2n-1=2n+1,即-=1,所以数列是以1为首项,1为公差的等差数列,所以=1+(n-1)=n,即an=n·2n.所以f(n)=(-2n+31)-1=-4n2+62n-1=-4n-2+,又n∈N*,所以当n=8时,f(n)取得最大值.