2019届高考数学二轮复习查漏补缺练习：小题必刷卷9《不等式、推理与证明》(含解析)

小题必刷卷(九)　不等式、推理与证明

考查范围:第33讲~第38讲

题组一　刷真题

角度1　一元二次不等式及其解法

1.[2018·全国卷Ⅰ] 已知集合A={x|x2-x-2>0},则∁RA= (　　)

A.{x|-1<x<2}

B.{x|-1≤x≤2}

C.{x|x<-1}∪{x|x>2}

D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2}

2.[2014·全国卷] 不等式组的解集为 (　　)

A.{x|-2<x<-1} B.{x|-1<x<0}

C.{x|0<x<1} D.{x|x>1}

3.[2016·全国卷Ⅰ] 若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是              (　　)

A.[-1,1] B.-1,

C.-, D.-1,-

4.[2016·江苏卷] 函数y=的定义域是　　　　. 

角度2　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

5.[2014·全国卷Ⅰ] 设x,y满足约束条件且z=x+ay的最小值为7,则a=(　　)

A.-5 B.3

C.-5或3 D.5或-3

6.[2016·浙江卷] 在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影,由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=              (　　)

A.2 B.4

C.3 D.6

7.[2018·全国卷Ⅰ] 若x,y满足约束条件则z=3x+2y的最大值为　　　　. 

8.[2016·全国卷Ⅰ] 某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg,乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为　　　　元. 

9.[2016·江苏卷] 已知实数x,y满足则x2+y2的取值范围是　　　　. 

角度3　基本不等式及其应用

10.[2018·天津卷] 已知a,b∈R,且a-3b+6=0,则2a+的最小值为　　　　. 

11.[2017·江苏卷] 某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是　　　　. 

12.[2017·山东卷] 若直线+=1(a>0,b>0) 过点(1,2),则2a+b的最小值为　　　　. 

角度4　推理与证明

13.[2017·全国卷Ⅱ] 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则              (　　)

A.乙可以知道四人的成绩

B.丁可以知道四人的成绩

C.乙、丁可以知道对方的成绩

D.乙、丁可以知道自己的成绩

14.[2014·全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市.乙说:我没去过C城市.丙说:我们三人去过同一城市.

由此可判断乙去过的城市为　　　　. 

15.[2016·山东卷] 观察下列等式:

sin-2+sin-2=×1×2;

sin-2+sin-2+sin-2+sin-2=×2×3;

sin-2+sin -2+sin-2+…+sin-2=×3×4;

sin-2+sin-2+sin-2+…+sin-2=×4×5;

……照此规律,sin-2+sin-2+sin-2+…+sin-2=　　　　. 

题组二　刷模拟

16.[2018·石家庄二中模拟] 已知集合A=x≥0,B={-1,0,1,2,3},则A∩B= (　　)

　A.{-1,0,3} B.{0,1} C.{0,1,2} D.{0,2,3}

17.[2018·福建莆田3月质检] “干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.干支是天干和地支的总称.把干支顺序相配正好六十为一周,周而复始,循环记录,这就是俗称的“干支表”.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸称为天干;子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥称为地支.如:公元1984年农历为甲子年、公元1985年农历为乙丑年,公元1986年农历为丙寅年.则公元2047年农历为              (　　)

A.乙丑年 B.丙寅年 C.丁卯年 D.戊辰年

18.[2018·甘肃西北师大附中月考] 已知点P(x,y)在不等式组表示的平面区域内运动,则z=x-y的取值范围是              (　　)

A.[-2,-1] B.[-2,1] C.[-1,2] D.[1,2]

19.[2018·江西赣州模拟] 下列说法正确的是 (　　)

A. 若a>b,则ac2>bc2 B. 若a2>b2,则a>b

C. 若a>b,c<0,则a+c<b+c D. 若<,则a<b

20.[2018·郑州三模] 将标号为1,2,…,20的20张卡片放入下列表格中,一个格放入一张卡片,选出每列标号最小的卡片,将这些卡片中标号最大的数设为a;选出每行标号最大的卡片,将这些卡片中标号最小的数设为b.

甲同学认为a一定比b大,乙同学认为a和b有可能相等.那么甲、乙两位同学的说法中(　　)

A.甲对乙不对 B.乙对甲不对 C.甲乙都对 D.甲乙都不对

21.[2018·安徽宿州一检] 若圆C:x2+y2-4x-2y+1=0关于直线l:ax+by-2=0(a>0,b>0)对称,则+的最小值为              (　　)

A.1 B.5 C.4 D.4

22.[2018·太原模拟] 已知命题p:∃x0∈R,-x0+1≥0;命题q:若a<b,则>.则下列为真命题的是               (　　)

A.p∧q B.p∧?q C.?p∧q D.?p∧?q

23.[2018·天津一中月考] 已知实数a>0,b>0,+=1,则a+2b的最小值是 (　　)

A.3 B.2 C.3 D.2

24.[2018·辽宁大连二模] 在社会生产生活中,经常会遇到这样的问题:某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示,如果生产 1吨甲、乙产品可获利润分别为4万元、6万元,问怎样设计生产方案,该企业每天可获得最大利润?我们在解决此类问题时,设x,y分别表示每天生产甲、乙产品的吨数,则x,y应满足的约束条件是              (　　)

A. B. C. D.

25.[2018·北京朝阳区一模] 某学校举办科技节活动,有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人”项目比赛,该项目只设置一个一等奖.在评奖揭晓前,小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下:

小张说:“甲或乙团队获得一等奖”;小王说:“丁团队获得一等奖”;

小李说:“乙、丙两个团队均未获得一等奖”; 小赵说:“甲团队获得一等奖”.

若这四位同学中只有两位同学的预测结果是正确的,则获得一等奖的团队是 (　　)

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

26.[2018·河南八市一联] 观察下列关系式:1+x=1+x;(1+x)2≥1+2x;(1+x)3≥1+3x……由此规律,得到的第n个关系式为　　　　. 

27.[2018·安徽芜湖五月模拟] 已知实数x,y满足约束条件则z=x+y-2的最大值为　　　　. 

28.[2018·菏泽一模] 若实数x,y满足|x-3|+|y-2|≤1,则z=的最小值是　　　　. 

29.[2018·重庆调研] 已知实数x,y满足若目标函数z=ax+y在点(3,2)处取得最大值,则实数a的取值范围为　　　　. 

30.[2018·山东枣庄二模] 已知实数x,y满足则的最大值为　　　　. 

小题必刷卷(九)

1.B　[解析] 因为A={x|x2-x-2>0}={x|x>2或x<-1},所以∁RA={x|-1≤x≤2}.

2.C　[解析] 由得即0<x<1.

3.C　[解析] 方法一:对函数f(x)求导得f'(x)=1-cos 2x+acos x=-cos2x+acos x+,因为函数f(x)在R上单调递增,所以f'(x)≥0,即-cos2x+acos x+≥0恒成立.设t=cos x∈[-1,1],则g(t)=4t2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,所以有解得-≤a≤.

方法二:取a=-1,则f(x)=x-sin 2x-sin x,f'(x)=1-cos 2x-cos x,但f'(0)=1--1=-<0,不满足f(x)在(-∞,+∞)单调递增,排除A,B,D,故选C.

4.[-3,1]　[解析] 令3-2x-x2≥0可得x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1,故所求函数的定义域为[-3,1].

5.B　[解析] 当a<0时,作出相应的可行域,可知目标函数z=x+ay不存在最小值.

当a≥0时,作出可行域如图,易知当->-1,即a>1时,目标函数在A点取得最小值.由A,知zmin=+=7,解得a=3或-5(舍去).

6.C　[解析] 易知线性区域为图中三角形MNP(包括边界),且MN与AB平行,故|AB|=|MN|,易得M(-1,1),N(2,-2),则|MN|=3,故|AB|=3.

7.6　[解析] 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,当直线y=-x+经过点A(2,0)时,z最大,所以zmax=3×2+2×0=6.

8.216 000　[解析] 设生产产品A、产品B分别为x件、y件,利润之和为z元,则即目标函数为z=2100x+900y.

作出二元一次不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点,即可行域.

由图可知当直线z=2100x+900y经过点M时,z取得最大值.解方程组得M的坐标为(60,100),所以当x=60,y=100时,zmax=2100×60+900×100=216 000.

9.,13　[解析] 可行域如图中阴影部分所示,x2+y2为可行域中任一点(x,y)到原点(0,0)的距离的平方.由图可知,x2+y2的最小值为原点到直线AC的距离的平方,即2=,最大值为OB2=22+32=13.

10.　[解析] 由已知得a-3b=-6,由基本不等式得2a+≥2==(当且仅当a=-3b=-3时取等号).

11.30　[解析] 总费用为×6+4x=4≥4×2=240,当且仅当x=30时等号成立,故x的值是30.

12.8　[解析] 由条件可得+=1,所以2a+b=(2a+b)+=4++≥4+2=8,当且仅当=,即b=2a时取等号,所以最小值为8.

13.D　[解析] 由于四人中有2位优秀,2位良好,甲看了乙、丙的成绩后不知道自己的成绩,说明乙、丙2位中优秀、良好各1位,所以甲、丁2位中也是优秀、良好各1位,所以乙看了丙的成绩后一定知道自己的成绩,同样,丁看了甲的成绩后一定知道自己的成绩.

14.A　[解析] 由甲没去过B城市,乙没去过C城市,而三人去过同一城市,可知三人去过城市A,又由甲最多去过两个城市,且去过的城市比乙多,故乙只去过A城市.

15.n(n+1)　[解析] 第一个等式中,1=,2=;第二个等式中,2=,3=;第三个等式中,3=,4=.由此可推得第n个等式等于××=n(n+1).

16.B　[解析] 由≥0,得≤0,解得0≤x<2,因此A∩B={0,1},故选B.

17.C　[解析] 记公元1984年为第1年,则公元2047年为第64年,即天干循环了6次多4个为“丁”,地支循环了5次多4个为“卯”,所以公元2047年农历为丁卯年.故选C.

18.C　[解析] 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.

由z=x-y得y=x-z,由图可知,当直线y=x-z经过点C(2,0)时,直线y=x-z在y轴上的截距最小,此时z取得最大值,即zmax=2-0=2.当直线y=x-z经过点A(0,1)时,直线y=x-z在y轴上的截距最大,此时z取得最小值,即zmin=0-1=-1.故-1≤z≤2.故选C.

19.D　[解析] 选项A中,当c=0时,ac2=bc2,所以A中说法错误;选项B中,当a=-2,b=-1时,满足a2>b2,但不满足a>b,所以B中说法错误;选项C中,a+c>b+c,所以C中说法错误;选项D中,由0≤<两边平方,得()2<()2,即a<b,所以D中说法正确.故选D.

20.B　[解析] 每列最小数中的最大数的最大值是17,即a≤17,每行最大数中的最小数的最小值是5,即b≥,所以乙对甲不对.故选B.

21.D　[解析] 由题知直线ax+by-2=0(a>0,b>0)过圆心C(2,1),即2a+b=2,因此+=+(2a+b)=2+++2≥×(4+4)=4,当且仅当b=2a=1时取等号,故选D.

22.B　[解析] 当x0=0时,-x0+1=1≥0,∴命题p为真命题.∵-2<2,-<,∴命题q为假命题.故p∧?q为真命题,故选B.

23.B　[解析] ∵a>0,b>0,+=1,∴a+2b=(a+1)+2(b+1)-3=[(a+1)+2(b+1)]·+-3=1+2++-3≥3+2-3=2,当且仅当=,即a=,b=时取等号.故选B.

24.C　[解析] 由原料A的每天限额为21吨,得3x+5y≤21,由原料B的每天限额为13吨,得2x+3y≤13,又x≥0,y≥0,故选C.

25.D　[解析] 若甲团队获得一等奖,则小张、小李、小赵的预测结果都正确,与题意不符;若乙团队获得一等奖,则只有小张的预测结果正确,与题意不符;若丙团队获得一等奖,则四人的预测结果都错误,与题意不符;若丁团队获得一等奖,则小王、小李的预测结果都正确,小张、小赵的预测结果都错误,符合题意.故选D.

26.(1+x)n≥1+nx　[解析] 左边为等比数列,右边为等差数列,所以第n个关系式为(1+x)n≥1+nx.

27.8　[解析] 要求目标函数的最大值,只需求t=x+y-2的最小值.画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示,由图可知,在直线x-3y+5=0和直线y=1的交点(-2,1)处,t取得最小值,即tmin=-2+1-2=-3,所以z=x+y-2的最大值为-3=8.

28.　[解析] |x-3|+|y-2|≤1表示的平面区域如图中阴影部分所示.

z=表示该区域内的点与坐标原点连线的斜率,由图可知,当x=3,y=1时,z=取得最小值.

29.-,+∞　[解析] 画出约束条件所表示的平面区域,如图中阴影部分所示.

把目标函数z=ax+y化为y=-ax+z,则当直线y=-ax+z在y轴上的截距最大时,目标函数取得最大值,直线x-3y+3=0的斜率为,又目标函数z=ax+y在点A(3,2)处取得最大值,所以由图可知-a≤,即a≥-,故实数a的取值范围是-,+∞.

30.2　[解析] 画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示.

表示可行域内的点到A(-1,0)的距离,由图可知,所求的最大距离为点P(1,0)到点A的距离,故的最大值为2.