2019届高考数学二轮复习查漏补缺练习：小题必刷卷6《解三角形》(含解析)

小题必刷卷(六)　解三角形

考查范围:第22讲~第23讲

题组一　刷真题

角度1　正弦定理

1.[2017·全国卷Ⅰ] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=              (　　)

A. B.

C. D.

2.[2016·全国卷Ⅲ] 在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A= (　　)

A. B.

C. D.

3.[2016·全国卷Ⅱ] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=　　　　. 

角度2　余弦定理

4.[2016·全国卷Ⅰ] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a=,c=2,cos A=,则b= (　　)

A. B.

C.2 D.3

5.[2018·全国卷Ⅱ] 在△ABC中,cos=,BC=1,AC=5,则AB= (　　)

A.4 B.

C. D.2

6.[2016·山东卷] △ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=              (　　)

A. B.

C. D.

7.[2013·全国卷Ⅰ] 已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2 A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=              (　　)

A.10 B.9

C.8 D.5

8.[2016·北京卷] 在△ABC中,∠A=,a=c,则=　　　　. 

角度3　三角形的面积

9.[2018·全国卷Ⅲ] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为,则C= (　　)

A. B.

C. D.

10.[2013·全国卷Ⅱ] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为              (　　)

A.2+2 

B.+1

C.2-2 

D.-1

11.[2018·全国卷Ⅰ] △ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8,则△ABC的面积为　　　　. 

12.[2018·北京卷] 若△ABC的面积为(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B=　　　　;的取值范围是　　　　. 

角度4　正、余弦定理综合应用

13.[2018·浙江卷] 在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=,b=2,A=60°,则sin B=　　　　,c=　　　　. 

14.[2016·上海卷] 已知△ABC的三边长分别为3,5,7,则该三角形的外接圆半径等于　　　　. 

15.[2014·全国卷Ⅰ] 如图X6-1,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°,以及∠MAC=75°,从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=　　　　m. 

题组二　刷模拟

16.[2018·浙江绍兴3月模拟] 在△ABC中,内角C为钝角,sin C=,AC=5,AB=3,则BC= (　　)

A.2 B.3 C.5 D.10

17.[2018·新疆维吾尔自治区二模] 在△ABC中,“A>60°”是“sin A>”的  (　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

18.[2018·北京朝阳区二模] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,A=,B=,则c=              (　　)

A. B. C. D.

19.[2018·成都七中月考] 在△ABC中,角B为,BC边上的高恰为BC边长的一半,则cos A= (　　)

A. B. C. D.

20.[2018·广东茂名二模] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2bcos C+c=2a,且b=,c=3,则a=              (　　)

A.1 B. C.2 D.4

21.[2018·合肥三模] △ABC的三个内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若sin(C-A)=sin B,且b=4,则c2-a2=               (　　)

A.10 B.8 C.7 D.4

22.[2018·山东潍坊二模] 在△ABC中, a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且=,则A=  (　　)

A. B. C. D.

23.[2018·云南保山二模] 在△ABC中,若3(·+·)=2||2,则tan A+的最小值为 (　　)

A. B.2 C. D.

24.[2018·广东江门一模] 已知平面四边形ABCD中,AB=AD=2,BC=CD,∠BCD=90°,则四边形ABCD面积的最大值为               (　　)

A. B.2+2 C.2+2 D.4

25.[2018·广西钦州三模] △ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=b,A=2B,则cos B=　　　　　 . 

26.[2018·东北三省四市二模] 如图X6-2,测量河对岸的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C,D,测得∠BCD=15°,∠CBD=30°,CD=10 m,并在C处测得塔顶A的仰角为45°,则塔高AB=　　　　m. 

27.[2018·昆明二模] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若cos C=,c=3,且=,则△ABC的面积等于　　　　. 

28.[2018·马鞍山二模] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若cos 2A+3cos A=1,b=5,△ABC的面积S=5,则△ABC的周长为　　　　. 

29.[2018·江西上饶二模] 在锐角三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b2=a(a+c),则的取值范围是　　　　. 

小题必刷卷(六)

1.B　[解析] 因为sin B+sin A(sin C-cos C)=sin(A+C)+sin Asin C-sin Acos C=(sin A+cos A)sin C=0,所以sin A=-cos A,得A=π.又由正弦定理=,得=,解得sin C=,所以C=.

2.D　[解析] 作AD⊥BC交BC于点D,设BC=3,则有AD=BD=1,AB=,由余弦定理得AC=.由正弦定理得=,解得sin A==.

3.　[解析] 因为cos A=,cos C=,且A,C为三角形内角,所以sin A=,sin C=,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,又因为=,所以b==.

4.D　[解析] 由余弦定理得5=b2+4-2×b×2×,解得b=3或b=-(舍去),故选D.

5.A　[解析] 由已知得cos C=2cos2-1=2×-1=-,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC×BC×cos C=25+1-2×5×1×=32,所以AB=4,故选A.

6.C　[解析] ∵b=c,a2=2b2(1-sin A),∴2b2sin A=b2+c2-a2=2bccos A=2b2cos A,∴tan A=1,即A=.

7.D　[解析] 由23cos 2A+cos 2A=0,得25cos 2A=1.因为△ABC为锐角三角形,所以cos A=.在△ABC中,根据余弦定理,得49=b2+36-12b×,即b2-b-13=0,解得b=5或-(舍去).

8.1　[解析] 由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A可得,3c2=b2+c2-2bccos,整理得2+-2=0,解得=1或=-2(舍去).

9.C　[解析] 由三角形的面积公式可得,=absin C,由余弦定理得=cos C,所以cos C=sin C,又C∈(0,π),所以C=.

10.B　[解析] =⇒c=2.又A+B+C=π,∴A=π,∴△ABC的面积为×2×2×sin=2×=+1.

11.　[解析] 由b2+c2-a2=8 得2bccos A=8,可知A为锐角,且bccos A=4.由已知及正弦定理得sin Bsin C+sin Csin B=4sin Asin Bsin C,因为sin B≠0,sin C≠0,所以可得sin A=,所以A=30°,所以bccos 30°=4,即bc=,所以△ABC 的面积S=bcsin A=××=.

12.　(2,+∞)　[解析] 由正弦定理得S△ABC=acsin B=(a2+c2-b2),即sin B=cos B,∵∠B为三角形的内角,∴∠B=.由正弦定理得===·+,又∵∠C为钝角,∴+A<,即A<,∴0<tan A<,∴>2.

13.　3　[解析] 由正弦定理=,得sin B==.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得c2-2c-3=0,则c=3.

14.　[解析] 利用余弦定理可求得最大边7所对角的余弦值为=-,所以此角的正弦值为.设三角形外接圆的半径为R,由正弦定理得2R=,所以R=.

15.150　[解析] 在Rt△ABC中,BC=100(m),∠CAB=45°,所以AC=100(m).在△MAC中,∠MAC=75°,∠MCA=60°,所以∠AMC=45°,由正弦定理有=,即AM=×100 =100(m),于是在Rt△AMN中,有MN=sin 60°×100=150(m).

16.A　[解析] 因为C为钝角,sin C=,所以cos C=-,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BCcos C,即45=25+BC2-2×5×BC×,解得BC=2(舍去BC=-10).故选A.

17.B　[解析] 由“A>60°”不一定推出“sin A>”,如A=135°>60°,但sin 135°<sin 120°=,反之,若sin A>,则有A>60°.故选B.

18.A　[解析] 在△ABC中,a=1,A=,B=,由正弦定理可得b==.由余弦定理得cos A==,可得c2-c+1=0,所以c=或c=,又因为C>B,所以c>b,所以c=.故选A.

19.A　[解析] 作AH⊥BC,垂足H在CB的延长线上,易知△AHB为等腰直角三角形,设BC=2a,则AB=a,AH=a,CH=3a,由勾股定理得AC=a,由余弦定理得cos A==,故选A.

20.D　[解析] 因为2bcos C+c=2a, 由正弦定理可得2sin Bcos C+sin C=2sin A=2sin(B+C)=2sin Bcos C+2cos Bsin C,所以sin C=2cos Bsin C,因为sin C≠0,所以cos B=,又0<B<π,所以B=. 由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B,又因为b=,c=3,所以a2-3a-4=0,可得a=4(负值舍去).故选D.

21.B　[解析] sin(C-A)=sin B=sin(A+C),即2sin Ccos A-2cos Csin A=sin Acos C+cos Asin C,即sin Ccos A=3sin Acos C,由正弦定理和余弦定理得c·=3a·,即b2+c2-a2=3a2+3b2-3c2,即4c2-4a2=2b2=2×16=32,则c2-a2=8,故选B.

22.C　[解析] 利用正、余弦定理将已知等式化为=,化简整理得b2+c2-a2=bc,所以cos A==,因为A是三角形的内角,所以A=.故选C.

23.B　[解的] 设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则有3(·+·)=3(-bccos A+accos B)=2c2,由正弦定理得sin Acos B=5cos Asin B,所以tan A=5tan B,则tan A+=5tan B+≥2,当且仅当tan B=时,等号成立,故选B.

24.C　[解析] 如图,设∠DAB=θ,BC=CD=x,则BD=x.在△ABD中,由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos θ,即(x)2=4+4-8cos θ=8-8cos θ,所以x2=4-4cos θ.所以四边形ABCD的面积S=×22×sin θ+x2=2sin θ+(2-2cos θ)=2sinθ-+2,因为0<θ<π,所以-<θ-<,所以当θ-=,即θ=时,S有最大值,且Smax=2+2.故选C.

25.　[解析] 因为△ABC中,a=b,A=2B,根据正弦定理,得sin A=sin B,又sin A=sin 2B=2sin Bcos B,所以cos B=.

26.20　[解析] D=180°-15°-30°=135°,在△BCD中,=,即=,得BC==20(m),因为△ABC是直角三角形,且∠ACB=45°,所以AB=BC=20(m).

27.　[解析] 由题意得=,即tan A=tan B,所以A=B,即a=b,由余弦定理得c2=2a2-2a2cos C=a2=9,得a=(负值舍去),易得sin C=,所以S△ABC=×6×=.

28.9+　[解析] 由cos 2A+3cos A=1,得2cos2A+3cos A-2=0,解得cos A=或cos A=-2(舍去),所以sin A=,又因为S=5,b=5,所以bcsin A=×5×c×=5,所以c=4,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+16-2×5×4×=21,即a=,所以△ABC的周长为5+4+=9+.

29.(1,2)　[解析] 因为b2=a(a+c),所以cos B===,由正弦定理得=cos B,又sin C=sin(A+B),所以sin(A+B)-sin A-2sin Acos B=0,得sin(B-A)=sin A.因为A,B为△ABC的内角,所以B-A=A或B-A+A=π(舍),故B=2A.因为△ABC为锐角三角形,所以得<A<,故<B<,则0<cos B<,即0<<,解得1<<2.