2020届高考数学一轮复习课时训练：第7章 不 等 式 34(含解析)

【课时训练】第34节　基本不等式及其应用

一、选择题

1.(2018厦门一中检测)设0<a<b，则下列不等式中正确的是(　　)

A.a<b<<　 B.a<<<b

C.a<<b< D.<a<<b

答案为：B

解析：因为0<a<b，所以a－=(－)<0，故a＜；b－=＞0，故b>；由基本不等式知>.综上所述，a<<<b.故选B.

2.(2018兰州模拟)在下列各函数中，最小值等于2的函数是(　　)

A.y=x＋  

B.y=cos x＋

C.y=  

D.y=ex＋－2

答案为：D

解析：当x＜0时，y=x＋≤－2，故A错误；因为0＜x＜，所以0＜cos x＜1，所以y=cos x＋＞2，故B错误；因为y==＋≥2，当且仅当x2＋2=1时取等号，此时x无解，故C错误；因为ex＞0，所以y=ex＋－2≥2－2=2，当且仅当ex=，即ex=2时等号成立，故选D.

3.(2019长春质检)设正实数a，b满足a＋b=1，则(　　)

A.＋有最大值4  B.有最小值

C.＋有最大值  D.a2＋b2有最小值

答案为：C

解析：由于a>0，b>0，由基本不等式得1=a＋b≥2，当且仅当a=b时，等号成立，∴≤，答案为：B错误；∵≤，∴ab≤，∴＋==≥4，因此＋的最小值为4，A错误；a2＋b2=(a＋b)2－2ab=1－2ab≥1－=，D错误；(＋)2=a＋b＋2=1＋2≤1＋1=2，所以＋有最大值.故选C.

4.(2018贵阳模拟)已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy=8，则x＋2y的最小值是(　　)

A.3　　 B.4　　

C. D.

答案为：B

解析：由题意得x＋2y=8－x·2y≥8－2，当且仅当x=2y时，等号成立，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y＞0，所以x＋2y≥4.故选B.

5.(2018重庆巴蜀中学模拟)若正数a，b满足a＋b=2，则＋的最小值是(　　)

A.1　　 B.

C.9  D.16

答案为：B

解析：＋=·=≥(5＋2　)=，当且仅当=，即a=，b=时取等号.故选B.

6.(2018四川泸州二模)已知x，y∈(0，＋∞)，且log2x＋log2y=2，则＋的最小值是(　　)

A.4　　 B.3　　

C.2  D.1

答案为：D

解析：＋=≥=，当且仅当x=y时取等号.

∵log2x＋log2y=log2(xy)=2，∴xy=4.

∴＋≥=1.

7.(2018河北唐山一模)设x，y∈R，a＞1，b＞1.若ax=by=2,2a＋b=8，则＋的最大值为(　　)

A.2　　  B.3　　

C.4  D.log23

答案为：B

解析：由ax=by=2得x=loga2，y=logb2，

∴＋=＋=log2a＋log2b=log2(ab).

又a>1，b>1，∴8=2a＋b≥2，即ab≤8，当且仅当2a=b，即a=2，b=4时取等号，

所以＋=log2(ab)≤log28=3.故max=3.

8.(2018北京东城区联考)设x，y均为正实数，且＋=1，则xy的最小值为(　　)

A.4　　 B.4　

C.9  D.16

答案为：D

解析：由＋=1可得xy=8＋x＋y.

∵x，y均为正实数，

∴xy=8＋x＋y≥8＋2(当且仅当x=y时等号成立)，

即xy－2－8≥0，解得≥4，即xy≥16，故xy的最小值为16.

9.(2018东莞模拟)已知a>0，b>0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为(　　)

A.4　　 B.16　　

C.9  D.3

答案为：B

解析：因为a>0，b＞0，所以－－≤0恒成立等价于m≤(3a＋b)=10＋＋恒成立.因为＋≥2=6，当且仅当a=b时等号成立，所以10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值为16.故选B.

10.(2018咸宁模拟)已知第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1=0上，则代数式＋的最小值为(　　)

A.24　　  B.25　　

C.26  D.27

答案为：B

解析：因为第一象限的点(a，b)在直线2x＋3y－1=0上，所以2a＋3b－1=0，即2a＋3b=1，所以＋=(2a＋3b)=4＋9＋＋≥13＋2=25，当且仅当=，即a=b=时取等号，所以＋的最小值为25.故选B.

11.(2018河南五校联考)设a＞0，b＞1，若a＋b=2，则＋的最小值为(　　)

A.3＋2　　 B.6　　

C.4　  D.2　

答案为：A

解析：∵a＋b=2，∴a＋b－1=1，∴＋=(a＋b－1)=2＋＋＋1≥3＋2，当且仅当=，即a=2－，b=时取等号.

12.(2018南昌调研)不等式x2＋2x＜＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，则实数x的取值范围是(　　)

A.(－2,0)　　  B.(－∞，－2)∪(0，＋∞)

C.(－4,2)　　 D.(－∞，－4)∪(2，＋∞)

答案为：C

解析：不等式x2＋2x＜＋对任意a，b∈(0，＋∞)恒成立，等价于x2＋2x＜min，由于＋≥2=8(当且仅当a=4b时等号成立)，∴x2＋2x＜8，解得－4＜x＜2.故选C.

二、填空题

13.(2018青岛模拟)已知实数x，y均大于零，且x＋2y=4，则log2x＋log2y的最大值为________.

答案为：1

解析：因为log2x＋log2y=log2xy=log2=log2(2xy)－log22=log2(2xy)－1≤log22－1=2－1=1，

当且仅当x=2y=2，即x=2，y=1时等号成立，所以log2x＋log2y的最大值为1.

14.(2018河北唐山一模)设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为________.

答案为： 9

解析：=5＋＋4x2y2≥5＋2=9，当且仅当x2y2=时等号成立.所以·的最小值为9.

三、解答题

15.(2018安徽黄山一模)已知函数f(x)=k－|x－4|，x∈R，且f(x＋4)≥0的解集为[－1,1].

(1)求k的值；

(2)若a，b，c是正实数，且＋＋=1，求证：a＋b＋c≥1.

(1)【解】因为f(x)=k－|x－4|，所以f(x＋4)≥0等价于|x|≤k.

由|x|≤k有解得k≥0，且其解集为{x|－k≤x≤k}.

又f(x＋4)≥0的解集为[－1,1]，故k=1.

(2)【证明】由(1)知＋＋=1，

又a，b，c是正实数，由均值不等式得

a＋2b＋3c=(a＋2b＋3c)

=3＋＋＋≥3＋2＋2＋2=9，

当且仅当a=2b=3c时取等号，所以a＋b＋c≥1.