2020届高考数学一轮复习课时训练：第9章 平面解析几何 47(含解析)

第47节　椭　圆一、选择题1.(2018江西景德镇模拟)椭圆＋=1的焦距为2，则m的值等于(　　)A.5 B.3 C.5或3 D.8答案为：C解析：当m>4时，m－4=1，∴m=5；当0<m<4时，4－m=1，∴m=3.综上，m的值为5或3.2.(2018江苏南通一模)“2<m<6”是“方程＋=1表示椭圆”的(　　)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案为：B解析：若＋=1表示椭圆，则有∴2<m<6且m≠4.故“2<m<6”是“＋=1表示椭圆”的必要不充分条件.3.(2018山东临沂一模)设椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为(　　)A. B.C. D.答案为：D解析：在Rt△PF2F1中，令|PF2|=1，因为∠PF1F2=30°，所以|PF1|=2，|F1F2|=.故e===.故选D.4.(2018江西师大附中模拟)椭圆ax2＋by2=1(a＞0，b＞0)与直线y=1－x交于A，B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为，则的值为(　　)A. B.C. D.答案为：B解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则ax＋by=1，ax＋by=1，即ax－ax=－(by－by)，=－1，=－1，∴×(－1)×=－1.∴=.故选B.5.(2018海沧实验中学模拟)已知直线l：y=kx＋2过椭圆＋=1(a＞b＞0)的上顶点B和左焦点F，且被圆x2＋y2=4截得的弦长为L.若L≥，则椭圆离心率e的取值范围是(　　)A. B.C. D.答案为：B解析：由题意知b=2，kc=2. 设圆心到直线l的距离为d，则L=2≥，解得d2≤.又因为d=，所以≤，解得k2≥.于是e2===，所以0＜e2≤，解得0＜e≤.故选B.二、填空题6.(2018江西临川一中月考)焦距是8，离心率等于0.8的椭圆的标准方程为______________________.答案为：＋=1或＋=1解析：由题意知解得又b2=a2－c2，∴b2=9.∴b=3.当焦点在x轴上时，椭圆的方程为＋=1；当焦点在y轴上时，椭圆的方程为＋=1.7.(2018昆明质检)椭圆＋=1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，当m取最大值时，点P的坐标是________.答案为：(－3,0)或(3,0)解析：记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|=2a=10.则m=|PF1|·|PF2|≤2=25，当且仅当|PF1|=|PF2|=5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25，∴点P的坐标为(－3,0)或(3,0).8.(2018乌鲁木齐调研)已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋=1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点，且·=c2，则此椭圆离心率的取值范围是__________.答案为：解析：设P(x，y)，则·=(－c－x，－y)·(c－x，－y)=x2－c2＋y2=c2，①将y2=b2－x2代入①式，解得x2==，又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2.∴e=∈.9.(2018江苏如皋一模)椭圆＋y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上一动点.若∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围是__________.答案为：解析：设椭圆上一点P的坐标为(x，y)，则=(x＋，y)，=(x－，y).∵∠F1PF2为钝角，∴·<0，即x2－3＋y2<0.①∵y2=1－，代入①，得x2－3＋1－<0，即x2<2，∴x2<.解得－<x<，∴x∈.三、解答题10.(2018湖南衡阳八中质检)设F1，F2分别是椭圆C：＋=1(a＞b＞0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b的值.【解】(1)根据c=及题设，知M，2b2=3ac.将b2=a2－c2代入2b2=3ac，解得=或=－2(舍去)，故C的离心率为.(2)由题意知，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故=4，即b2=4a.①由|MN|=5|F1N|，得|DF1|=2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1＜0，则即代入C的方程，得＋=1.②将①及c=代入②，得＋=1.解得a=7，b2=4a=28，故a=7，b=2　.11.(2018兴义月考)已知点M(，)在椭圆C：＋=1(a＞b＞0)上，且椭圆的离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为1的直线l与椭圆C交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)，求△PAB的面积.【解】(1)由已知得解得故椭圆C的方程为＋=1.(2)设直线l的方程为y=x＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为D(x0，y0).由消去y，整理得4x2＋6mx＋3m2－12=0，则x0==－m，y0=x0＋m=m，即D.因为AB是等腰三角形PAB的底边，所以PD⊥AB，即PD的斜率k==－1，解得m=2.此时x1＋x2=－3，x1x2=0，则|AB|=|x1－x2|=·=3　，又点P到直线l：x－y＋2=0的距离为d=，所以△PAB的面积为S=|AB|·d=×3　×=.