2020届高考数学一轮复习课时训练：第11章 统计与统计案例 56(含解析)

【课时训练】第56节　用样本估计总体

一、选择题

1.(2018山西四校联考)某学校组织学生参加数学测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是(　　)

A.45 B.50

C.55 D.60

答案为：B

解析：∵[20,40)，[40,60)的频率和为(0.005＋0.01)×20=0.3，∴该班的学生人数是=50.

2.(2018江西南昌一模)若数据x1，x2，x3，…，xn的平均数为=5，方差s2=2，则数据3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的平均数和方差分别为(　　)

A.5,2 B.16,2

C.16,18 D.16,9

答案为：C

解析：∵x1，x2，x3，…，xn的平均数为5，

∴=5.

∴＋1=3×5＋1=16.

∵x1，x2，x3，…，xn的方差为2，∴3x1＋1,3x2＋1,3x3＋1，…，3xn＋1的方差是32×2=18.故选C.

3.(2018武汉质检)某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，抽取了总成绩在350分到650分之间的10 000名学生的成绩，并根据这10 000名学生的总成绩画了样本的频率分布直方图，则总成绩在[400,500)内的学生共有(　　)

A.5 000人 B.4 500人

C.3 250人 D.2 500人

答案为：B

解析：由频率分布直方图可求得a=0.005，故[400,500)对应的频率为(0.005＋0.004)×50=0.45，故总成绩在[400,500)内的学生共有10 000×0.45=4 500(人).故选B.

4.(2018吉林长春质检)已知某班级部分同学一次测验的成绩统计如图，则其中位数和众数分别为(　　)

A.95,94 B.92,86

C.99,86 D.95,91

答案为：B

解析：由茎叶图可知，此组数据由小到大排列依次为76,79,81,83,86,86,87,91,92,94,95,96,98,99,101,103,114，共17个，故92为中位数，出现次数最多的为众数，故众数为86，故选B.

5.(2018陕西质检)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x的值等于(　　)

A.0.12 B.0.012

C.0.18 D.0.018

答案为：D

解析：由题意知0.054×10＋10×x＋0.01×10＋0.006×10×3=1，解得x=0.018.

6.(2018中山模拟)某项测试成绩满分为10分，现随机抽取30名学生参加测试，得分如图所示，假设得分值的中位数为me，平均值为，众数为m0，则(　　)

A.me=m0= B.me=m0＜

C.me＜m0＜ D.m0＜me＜

答案为：D

解析：由图可知m0=5.由中位数的定义知应该是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从小到大排，第15个数是5，第16个数是6，所以me==5.5.=(3×2＋4×3＋5×10＋6×6＋7×3＋8×2＋9×2＋10×2)≈5.97＞5.5，所以m0＜me＜.故选D.

二、填空题

7.(2018广州检测)在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形.若中间一个小长方形的面积等于其他10个小长方形的面积和的，且样本容量为160，则中间一组的频数为________.

答案为：32

解析：由题意可设中间小长方形的面积为x，则其余小长方形的面积和为4x，所以5x=1，x=0.2，则中间一组的频数为160×0.2=32.

8.(2018南昌模拟)若1,2,3,4，m这五个数的平均数为3，则这五个数的方差为________.

答案为：2

解析：由=3，得m=5，所以这五个数的方差为[(1－3)2＋(2－3)2＋(3－3)2＋(4－3)2＋(5－3)2]=2.

9.(2018安徽合肥一模)某学校共有教师300人，其中中级教师有192人，高级教师与初级教师的人数比为5∶4.为了解教师专业发展需求，现采用分层抽样的方法进行调查，在抽取的样本中有中级教师64人，则该样本中的高级教师人数为________.

答案为：20

解析：由题意可知，高级教师有(300－192)×=60(人)，抽样比k===.故该样本中高级教师的人数为60×=20.

10.(2018河北衡水中学调研)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：

若以上两组数据的方差中较小的一个为s2，则s2=________.

答案为：

解析：由数据表可得出乙班的数据波动性较大，则其方差较大，甲班的数据波动性较小，其方差较小，其平均值为7，方差s2=(1＋0＋0＋1＋0)=.

三、解答题

11.(2018广东湛江调研)为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量，抽查了其中20台的无故障连续使用时限(单位：小时)如下：

248　256　232　243　188　268　278　266　289　312

274　296　288　302　295　228　287　217　329　283

(1)完成下面的频率分布表，并做出频率分布直方图；

(2)估计8 万台电风扇中有多少台无故障连续使用时限不低于280小时；

(3)用组中值(同一组中的数据在该组区间的中点值)估计样本的平均无故障连续使用时限.

【解】(1)频率分布表及频率分布直方图如下所示：

(2)由题意可得8×(0.30＋0.10＋0.05)=3.6，所以估计8万台电风扇中有3.6万台无故障连续使用时限不低于280小时.

(3)由频率分布直方图可知

=190×0.05＋210×0.05＋230×0.10＋250×0.15＋270×0.20＋290×0.30＋310×0.10＋330×0.05=269(小时)，所以样本的平均无故障连续使用时限为269小时.

12.(2018湖北孝感联考)随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机应用软件层出不穷.现从使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取50个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：

(1)试估计使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数及平均数；

(2)根据以上抽样调查数据，将频率视为概率，回答下列问题：

①能否认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%?

②如果你要从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？说明理由.

【解】(1)依题意可得，使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的众数为55.

使用A款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.06＋25×0.34＋×0.12＋45×0.04＋55×0.4＋65×0.04=40.

(2)①使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家的比例估计值为0.04＋0.20＋0.56=0.80=80%>75%.

故可以认为使用B款订餐软件“平均送达时间”不超过40分钟的商家达到75%.

②使用B款订餐软件的50个商家的“平均送达时间”的平均数为15×0.04＋25×0.2＋35×0.56＋45×0.14＋55×0.04＋65×0.02=35<40，

所以选B款订餐软件.