2020届高考数学一轮复习课时训练：第11章 统计与统计案例 57(含解析)

【课时训练】第57节　变量间的相关关系、统计案例

一、选择题

1.(2018长沙模拟)表中提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据.根据下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x＋0.35，那么表中t的值为(　　)

A.3 B.3.15

C.3.5  D.4.5

答案为：A

解析：因为线性回归方程过样本中心点，所以由回归方程=0.7x＋0.35，可知=0.7＋0.35，

又==，==，所以=0.7×＋0.35，解得t=3.故选A.

2.(2018泰安模拟)登山族为了了解某山高y(km)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了4次山高与相应的气温，并制作了对照表：

由表中数据，得到线性回归方程=－2x＋(∈R).由此估计山高为72(km)处气温的度数为(　　)

A.－10  B.－8

C.－6  D.－4

答案为：C　因为=10，=40，所以样本中心点为(10,40)，因为回归直线过样本中心点，所以40=－20＋，即=60，所以线性回归方程为=－2x＋60，所以山高为72(km)处气温的度数为－6.故选C.

3.(2018南昌模拟)某商品的销售量y(件)与销售价格x(元/件)存在线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i=1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为=－10x＋200，则下列结论正确的是(　　)

A.y与x具有正的线性相关关系

B.若r表示变量y与x之间的线性相关系数，则r=－10

C.当销售价格为10元时，销售量为100件

D.当销售价格为10元时，销售量为100件左右

答案为：D　y与x具有负的线性相关关系，所以A错误；当销售价格为10元时，销售量在100件左右，因此C错误，D正确；B项中－10是回归直线方程的斜率，B错误.

4.(2018山东潍坊二模)为了研究某大型超市当天销售额与开业天数的关系，随机抽取了5天，其当天销售额与开业天数的数据如下表所示：

根据上表提供的数据，求得y关于x的线性回归方程为=0.67x＋54.9，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为(　　)

A.67  B.68

C.68.3  D.71

答案为：B　设表中模糊看不清的数据为m.因为==30，又样本中心点(，)在回归直线=0.67x＋54.9上，所以==0.67×30＋54.9，得m=68.故选B.

5.(2018湖南师大附中模拟)设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi，yi)(i=1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是(　　)

A.y与x具有正的线性相关关系

B.回归直线过样本点的中心(，)

C.若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg

D.若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg

答案为：D　由于线性回归方程中x的系数为0.85，因此y与x具有正的线性相关关系，故A正确；又线性回归方程必过样本点的中心(，)，故B正确；由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1 cm，其体重约增加0.85 kg，故C正确；当某女生的身高为170 cm时，其体重估计值是58.79 kg，而不是具体值，因此D不正确.

6.(2018河南新乡三模)某医疗机构通过抽样调查(样本容量n=1 000)，利用2×2列联表和 K2统计量研究患肺病是否与吸烟有关.计算得K2=4.453，经查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05，现给出四个结论，其中正确的是(　　)

A.在100个吸烟的人中约有95个人患肺病

B.若某人吸烟，那么他有95%的可能性患肺病

C.有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”

D.只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”

答案为：C

解析：由已知数据可知，有1－0.05=95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”.

7.(2018湖北十校联考)某产品的广告费用x(万元)与销售额y(万元)的统计数据如下表：

根据上表可得回归方程=b^x＋中的b^=10.6，据此模型预测广告费用为10万元时销售额为(　　)

A.112.1万元   B.113.1万元

C.111.9万元   D.113.9万元

答案为：C　由题意知，==3.5，==43，将(，)代入=10.6x＋中，得43=10.6×3.5＋，解得=5.9，所以=10.6x＋5.9.当x=10时，=111.9.

二、填空题

8.(2018山西临汾二模)对具有线性相关关系的变量x，y有一组观测数据(xi，yi)(i=1,2，…，8)，其回归直线方程是=x＋a，且x1＋x2＋x3＋…＋x8=2 (y1＋y2＋y3＋…＋y8)=6，则实数a的值为________.

答案为：

解析：由题意可知样本点的中心为，则=×＋a，解得a=.

9.(2018唐山模拟)为了研究某种细菌在特定环境下随时间变化的繁殖规律，得如下实验数据，计算得回归直线方程为=0.85x－0.25.由以上信息，得到下表中c的值为________.

答案为：6

解析：==5，==，代入回归直线方程中，得=0.85×5－0.25，解得c=6.

10.(2018河南百校联盟质检)某班主任对全班30名男生进行了作业量多少的调查，数据如下表：

该班主任据此推断男生认为作业多与喜欢玩电脑游戏有关系，则这种推断犯错误的概率不超过__________________________.

答案为：0.05

解析：计算得K2的观测值k=≈4.286＞3.841，则推断犯错误的概率不超过0.05.

三、解答题

11.(2018黑龙江大庆质量检测)为了解高校学生平均每天使用手机的时间长短是否与性别有关，某调查小组随机抽取了25名男生，10名女生进行为期一周的跟踪调查，调查结果如表所示：

(1)在参与调查的平均每天使用手机不超过3小时的7名女生中，有4人使用国产手机，从这7名女生中任意选取2人，求至少有1人使用国产手机的概率；

(2) 根据列联表，是否有90%的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关(K2的观测值k精确到0.01).

附：

参考公式： K2=(n=a＋b＋c＋d)

【解】(1)设7名女生中，使用国产手机的4人分别为a1，a2，a3，a4，使用非国产手机的3人为b1，b2，b3.从7人中任选2人，共有21种情况，分别是a1a2，a1a3，a1a4，a2a3，a2a4，a3a4, b1b2，b1b3，b2b3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，a4b1，a4b2，a4b3.

其中，事件A “至少有1人使用国产手机”包含18种情况，

所以P(A)==，

所以至少有1人使用国产手机的概率为.

(2)由列联表得，K2==≈2.57.

由于2.57<2.706，所以没有90%的把握认为学生使用手机的时间长短与性别有关.

12.(2018安徽安庆二模)在党的十九大报告中，习近平总书记提出“绿水青山就是金山银山”，为响应习总书记的号召，某旅游局计划共投入4千万元对各景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值作了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值，工作人员绘制了下面的频率分布直方图(如图所示)，由于操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从0开始计数的.

(1)频率分布直方图中各小长方形的宽度相等，求这个宽度.

(2)旅游局在投入4千万元的治理经费下，估计全旅游景区收益增加值的平均数为多少万元？ (以各组的区间中点值代表该组的取值)

(3)若旅游局投入不同数额的治理经费，按照以上的研究方法，得到以下数据：

请将(2)的答案填入上表的空白栏，结果显示x与y之间存在线性相关关系.在优化环境的同时，旅游局还计划使全旅游景区收益的总额至少增加10万元，试估计旅游局应该对全市旅游景区至少投入多少千万元的治理经费？(答案精确到0.01)

附：回归方程=x＋中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

==，=－.

【解】(1)设各小长方形的宽度为m，由频率分布直方图各小长方形面积总和为1可得，

(0.08＋0.10＋0.14＋0.12＋0.04＋0.02)×m=1，故m=2.

(2)由(1)知各小组依次是[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10)，[10,12]，其中点分别为1,3,5,7,9,11，对应的频率分别为0.16，0.20，0.28,0.24,0.08,0.04，故可估计平均数为1×0.16＋3×0.2＋5×0.28＋7×0.24＋9×0.08＋11×0.04=5.

(3)空白栏中填5.

由题意可知，==4，==5，

iyi=1×2＋2×3＋3×2＋4×5＋5×7＋6×7＋7×9=174，

=12＋22＋32＋42＋52＋62＋72=140.根据公式可求得

==≈1.214，=－≈5－1.214×4=0.144，

所以回归方程为=1.214x＋0.144.

当y≥10时，x≥8.12.

即旅游局应该对全市旅游景区至少投入8.12千万元的治理经费.