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    2020版江苏高考数学一轮复习学案:第15章 第5课《计数原理与排列、组合》(含解析)

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    2020版江苏高考数学一轮复习学案:第15章 第5课《计数原理与排列、组合》(含解析)

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    第二章 计数原理与概率

    ____5__计数原理与排列、组合____

     

     

    1. 理解分类计数原理与分步计数原理,理解排列和组合的意义.

    2. 运用计数原理分析、处理问题,但不机械套用公式.同时,应避免繁琐的、技巧性过高的计数问题.

     

     

     

     

     

    1. 阅读:选修23525页.

    2. 解悟:分类计数原理;分步计数原理;分类计数原理的与分步计数原理的之间的关系是怎样的;理解排列数公式A,组合数公式C.

    3. 践习:在教材空白处,完成第9页习题第5题,第17页练习第12题;第21页练习第7.

     

     基础诊断 

    1. 5本不同的外语书,4本不同的数学书,3本不同的物理书.

    (1) 从中任取一本,有________种不同的取法;

    (2) 若取外语、数学、物理各一本,有________种不同的取法.

    2. 5名男生和2名女生中选出3名志愿者,其中至少有1名女生的选法共有________种.

    3. 高二(1)班有4位同学,从甲、乙、丙3门课程中选一门,则恰好有2人选修甲课程的不同选法________种.

    4. 3封信投入6个信箱内,不同的投法有______种.

     范例导航 

    考向

    直接利用分类计数、分步计数原理解决问题

      1 已知集合M{3,-2,-1012}P(ab)表示平面上的点(abM),问:

    (1)  P可表示平面上多少个不同的点?

    (2)  P可表示平面上多少个第二象限的点?

    (3)  P可表示多少个不在直线yx上的点?

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    某班共有男生28名,女生20名,从该班选出学生代表参加学生代表大会.

    (1) 若学校分配给该班1名代表,则有多少种不同的选法?

    (2) 若学校分配给该班2名代表,且男、女各一名,则有多少种不同的选法?

     

     

     

    考向

    区别分类、分步问题,合理选用计数原理解题

      2 海岛上信号站的值班员用红、黄、白三色各三面旗向附近海域出示旗语,在旗标上纵排挂,可以是一面、两面、三面,则这样的旗语有多少种?

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    5天内安排3次不同的考试,若每天至多安排一次考试,则有________种不同的方法;若不限制每天考试的次数,则有________种不同的方法.

     

     

     

    考向

    综合利用两个计数原理解题

      3 有六名同学报名参加三个智力竞赛项目,在下列情况下各有多少种不同的报名方法(不一定六名同学都能参加)?

    (1) 每人恰好参加一项,每项人数不限;

    (2) 每项限报一人(每项均有人参加),且每人至多参加一项;

    (3) 每项限报一人(每项均有人参加),但每人参加的项目不限.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     自测反馈 

    1. 某外商计划在4个候选城市中投资3个不同项目,且在同一城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有________种.

    2. 甲有3本不同的书,乙去借阅,至少借1本的方法有________种.

    3. 4封信投入3个信箱中,则不同的方法共有________种.

    4. 4个同学,争夺3项竞赛的冠军,冠军获得的可能情况有________种.

     

     

     

    1. 要分清分类和分步原理:前者针对分类问题,后者针对分步问题.

    2. 解决复杂问题时,需要灵活运用两个原理进行解题,即可先分类,在某一类中再分步,在某一步中再分类.

    3. 你还有哪些体悟,写下来:

                                        

                                        


    5课 计数原理与排列、组合

     基础诊断 

    1. (1) 12 解析:任取一本,则外语书5种,数学书4种,物理书3种,则共有54312()

    (2) 60 解析:各取一本时的共有5×4×360()

    2. 25 解析:7人中任选3人共有C种方法,如果选出三人无女生,有C种方法,因此至少选1名女生的共有CC25()方法.

    3. 24 解析:分步计数,恰有2人选修课程甲,共有C6种结果,因此余下的两人各有两种选法,2×24种结果,因此共有6×424()结果.

    4. 216 解析:每一封信都有6种投法,则共有6×6×6216()投法.

     范例导航 

    1 解析:(1) 确定平面上的点P(ab)可分两步完成:

    第一步确定a的值,共有6种确定方法;

    第二步确定b的值,也有6种确定方法.

    根据分步计数原理,得到平面上的点的个数是6×636()

    (2) 确定第二象限的点,可分两步完成:

    第一步确定a,由于a<0,所以有3种确定方法;

    第二步确定b,由于b>0,所以有2种确定方法.

    由分步计数原理,得到第二象限的点的个数是3×26()

    (3) P(ab)在直线yx上的充要条件是ab.

    因此ab必须在集合M中取同一元素,共有6种取法,即在直线yx上的点有6个.

    (1)得不在直线yx上的点共有36630(). 

    解析:(1) 选出1名代表有2类方式:第1类从男生中选1名,有28种选法;第2类从女生中选1名,有20种选法.根据分类计数原理,共有282048()不同的选法.

    (2) 可分两个步骤完成:

    第一步:选出1名男生代表,共有28种不同的选法;第二步:选出1名女生代表,共有20种不同的选法.

    根据分步计数原理,共有28×20560()不同的选法.

    2 解析:悬挂一面旗共有3种旗语;悬挂两面旗共有3×39()旗语;悬挂三面旗共有3×3×327()旗语.由分类计数原理,共有392739()旗语.

    60 125 解析:若每天至多安排一次考试,先安排第一场考试,有5种方法;再安排第二场考试,有4种方法;最后安排第三场考试,有3种方法,共有5×4×360()方法.若不限制每天考试的次数,先安排第一场考试,有5种方法;再安排第二场考试,有5种方法;最后安排第三场考试,有5种方法,共有5×5×5125()方法.

    3 解析:(1) 每人都可以从这三项比赛项目中选报一项,各有3种办法,由分步计数原理,知共有报名方法36729()

    (2) 每项限报一人,且每人至多参加一项,因此可由项目选人,第一个项目有6种选法,第二个项目有5种选法,第三个项目有4种选法,由分步计数原理,共有报名方法6×5×4120()

    (3) 由于每人参加的项目不限,因此每个项目都可以从这六人中选出一人参赛,由分步计数原理,得共有不同报名方法63216()

    【变式题】某校艺术节期间欲举办一台大型文艺演出,需在2名老师,6名男生和8名女生中挑选节目主持人.

    (1) 若只需1人主持,有多少种不同的选法?

    (2) 若需老师、男生、女生各一人共同主持,有多少种不同的选法?

    (3) 若需师、生各一人主持,有多少种不同选法?

    解析:(1) 若只需一人主持,有26816()不同的选法.

    (2) 若需老师、男生、女生各一人共同主持,有2×6×896()不同的选法.

    (3) 若需师、生各1人主持,有2×(68)28()不同的选法.

     自测反馈 

    1. 60 解析:投资方案可分为两类情况,一是在一个城市投资两个项目,在另一个城市投资1个项目,将项目分成2个与1个,有3种;项目在4个城市选两个有4×312(),则这种情况有3×1236();二是在三个城市各投资一个项目,获得投资的城市有C4(),安排项目与城市对应,有3×2×16(),则这种情况有4×624().由分类计数原理共有362460()方案.

    2. 7 解析:借书方法可分为3类,第1类只借1本,有3种不同方法;第2类借2本,有C3()不同方法;第3类将3本书全部借走,有1种方法.根据分类计数原理可知有3317()不同的借书方法.

    3. 81 解析:由于每封信都有3种不同的投法,故由分步计数原理可得,4封信共有3481()投法.

    4. 64 解析:由于每项竞赛的冠军都有4种情况,故由分步计数原理可得,3项竞赛共有4364()冠军获得的情况.

     

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