2020版江苏高考数学一轮复习学案：第46课《椭圆的标准方程》(含解析)

第46课　椭圆的标准方程

1. 熟练掌握椭圆的定义、几何性质.

2. 会利用定义法、待定系数法求椭圆方程.

3. 重视数学思想方法的应用，体会解析几何的本质——用代数方法求解几何问题.

1. 阅读：选修11第25～26页，选修11第28～29页(理科阅读选修21相应内容).

2. 解悟：①椭圆是一个平面斜截圆锥面(与母线不平行、与轴不垂直)而形成的，并理解椭圆上的点到两个定点的距离之和是常数；②椭圆的一般定义以及椭圆的焦点、焦距的含义是什么？③理解化简过程中设a2－c2＝b2的合理性与必要性.

3. 践习：①将选修11第28页，化简椭圆方程的过程亲手做一遍；②在教材空白处，完成选修11第30页练习第2、3、4题(理科完成选修21相应任务).

　基础诊断　

1. 已知下列方程：①＋＝1；②4x2＋3y2＝12；③2x2＋2y2＝5；④＋＝1.其中表示焦点为F(0，1)的椭圆的有　②④　.(填序号)

解析：①的方程表示焦点在x轴上的椭圆；将②的方程4x2＋3y2＝12化为＋＝1，它表示焦点为F(0，1)的椭圆；③是圆；④表示焦点为F(0，1)的椭圆.

2. 已知M(1，0)，N(0，1)，动点P满足PM＋PN＝2，则点P的轨迹是　椭圆　.

3. 已知椭圆＋＝1，其焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则PF1＝　　，PF2＝　　.

解析：由题意得c＝＝3，所以F2(3，0).设PF1的中点为Q，则OQ∥PF2，所以PF2垂直于x轴，故可设P(3，y0)，所以＋＝1，所以y0＝±，所以PF2＝.又因为PF1＋PF2＝4，所以PF1＝.

4. 已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是　(1，2)　.

解析：由题意得2k－1>2－k>0，所以1<k<2.

　范例导航　

考向❶  求椭圆的标准方程

例1　求适合下列条件的椭圆的标准方程：

(1) 两个焦点的坐标分别是(－4，0)、(4，0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；

(2) 两个焦点的坐标分别是(0，－2)、(0，2)，并且椭圆经过点.

解析：(1) 因为椭圆的焦点在x轴上，

故设椭圆方程为＋＝1(a>b>0).

由题意知2a＝10，c＝4，所以a＝5，

所以b2＝a2－c2＝9，

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

(2) 因为椭圆的焦点在y轴上，

故设椭圆方程为＋＝1(a>b>0).

由题意及椭圆定义知2a＝＋＝2，　　

所以a＝. 

又因为c＝2，所以b2＝a2－c2＝6，

所以椭圆的标准方程为＋＝1.

求满足下列条件椭圆的标准方程：

(1)  长轴长是短轴长的3倍且经过点A(3，0)；

(2)  经过两点A(0，2)和B.

解析：(1)  若椭圆的焦点在x轴上，

设方程为＋＝1 (a>b>0).

因为椭圆过点A(3，0)，所以＝1，所以a＝3.

又2a＝3·2b，所以b＝1，

所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.

若椭圆的焦点在y轴上，设方程为＋＝1 (a>b>0).

因为椭圆过点A(3，0)，所以＝1，所以b＝3.

又2a＝3·2b，

所以a＝9，所以椭圆的标准方程为＋＝1.

综上可知，椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1.　

(2)  设经过两点A(0，2)，B的椭圆的方程为mx2＋ny2＝1，

将A，B两点的坐标代入方程得

解得

所以椭圆的标准方程为x2＋＝1.

考向❷  椭圆的定义及应用

例2　求过点A(2，0)且与圆x2＋4x＋y2－32＝0内切的圆的圆心的轨迹方程.

解析：将圆的方程化简为(x＋2)2＋y2＝62，圆心B(－2，0)，r＝6.

设动圆圆心M的坐标为(x，y)，动圆与已知圆的切点为C，如图所示.

则BC－MC＝BM，而BC＝6，所以BM＋CM＝6.

又CM＝AM，所以BM＋AM＝6>AB＝4，

所以点M的轨迹是以点B(－2，0)，A(2，0)为焦点、线段AB的中点(0，0)为中心的椭圆，

所以a＝3，c＝2，b＝，

所以所求轨迹方程为＋＝1.

已知定圆M：(x＋)2＋y2＝16，动圆N过点F(，0)且与圆M相切，记圆心N的轨迹为E.

(1)  求轨迹E的方程；

(2) 设点A，B，C在E上运动，A与B关于原点对称，且AC＝CB，当△ABC的面积最小时，求直线AB的方程.

解析：(1)  因为点F(，0)在圆M：(x＋)2＋y2＝16内，所以圆N内切于圆M.

因为NM＋NF＝4＞FM，

所以点N的轨迹E是以M(－，0)，F(，0)为焦点的椭圆，且2a＝4，c＝，所以b＝1，

所以轨迹E的方程为＋y2＝1.

(2)  ①当AB为长轴(或短轴)时，依题意知，点C就是椭圆的上下顶点(或左右顶点)，

此时S△ABC＝·OC·AB＝2.

②当直线AB的斜率存在且不为0时，

设其斜率为k，直线AB的方程为y＝kx，

联立方程

可得x＝，y＝，

所以OA2＝x＋y＝.

由AC＝CB知，△ABC为等腰三角形，O为AB的中点，OC⊥AB，

所以直线OC的方程为y＝－x，由

得x＝，y＝，

所以OC2＝.

S△ABC＝2S△OAC＝OA·OC＝·＝.

由于≤＝，

所以S△ABC≥，

当且仅当1＋4k2＝k2＋4，即k＝±1时等号成立，

此时△ABC面积的最小值是.

因为2＞，所以△ABC面积的最小值为，

此时直线AB的方程为y＝x或y＝－x.

　自测反馈　

1. 若椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是(0，2)，则k＝　1　Ｗ.

解析：把椭圆方程化为标准方程得x2＋＝1，因为焦点坐标为(0，2)，所以长半轴在y轴上，则c＝＝2，解得k＝1.

2. 已知P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2是它的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为　　Ｗ.

解析：因为椭圆＋＝1，所以a＝5，b＝4，所以c＝3.设PF1＝t1，PF2＝t2，则t1＋t2＝10，t＋t－2t1t2cos 60°＝36，即t＋t－t1t2＝36，所以t1t2＝[(t1＋t2)2－(t＋t－t1t2)]＝，所以S△PF1F2＝t1t2sin 60°＝.

3. 已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边BC上，则△ABC的周长是　4　Ｗ.

解析：由椭圆＋y2＝1，所以a2＝3，解得a＝.设椭圆的另一个焦点为A1，由椭圆的定义可得BA＋BA1＝CA＋CA1＝2a，所以△ABC的周长为4a＝4.

4. 过两点(2，－)，，中心在原点，焦点在坐标轴上椭圆的方程为　＋＝1　Ｗ.

解析：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1，将点(2，－)，代入，得解得所以椭圆的方程为＋＝1.

1. 椭圆定义中的条件：2a>F1F2＝2c，否则其轨迹不是椭圆；当2a＝2c时，其轨迹是线段；当2a<2c时，轨迹不存在.

2. 求椭圆标准方程时，要先确定焦点的位置，再确定a，b，c，由于有a2－c2＝b2，因此，只要能够确定a，b，c中的两个即可.

3. 你还有哪些体悟，写下来：