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    2020版新高考数学一轮(鲁京津琼)精练:第8章第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 (含解析)

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    3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.(2015·湖北卷)l1l2表示空间中的两条直线pl1l2是异面直线;ql1l2不相交,则(  )A.pq的充分条件但不是q的必要条件B.pq的必要条件但不是q的充分条件C.pq的充分必要条件D.p既不是q的充分条件也不是q的必要条件解析 直线l1l2是异面直线一定有l1l2不相交因此pq的充分条件;若l1l2不相交那么l1l2可能平行也可能是异面直线所以p不是q的必要条件.故选A. A2.(2017·郑州联考)已知直线a和平面αβαβlaαaβaαβ内的射影分别为直线bc则直线bc的位置关系是(  )A.相交或平行   B.相交或异面C.平行或异面    D.相交、平行或异面解析 依题意直线bc的位置关系可能是相交、平行或异面D.答案 D3.给出下列说法:梯形的四个顶点共面;三条平行直线共面;有三个公共点的两个平面重合;三条直线两两相交可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是(  )A.   B.①④   C.②③   D.③④解析 显然命题正确.由于三棱柱的三条平行棱不共面.命题两个平面重合或相交.三条直线两两相交可确定1个或3个平面则命题正确.答案 B4.(2017·济南模拟)abc是两两不同的三条直线下面四个命题中真命题是(  )A.若直线ab异面bc异面ac异面B.若直线ab相交bc相交ac相交C.ababc所成的角相等D.abbcac解析 若直线ab异面bc异面ac相交、平行或异面;若ab相交bc相交ac相交、平行或异面;若abbcac相交、平行或异面;由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.答案 C5.已知正方体ABCDA1B1C1D1EF分别为BB1CC1的中点那么异面直线AED1F所成角的余弦值为(  )A.   B.   C.   D.解析 连接DFAEDF∴∠D1FD为异面直线AED1F所成的角.设正方体棱长为aD1DaDFaD1FacosD1FD.答案 B二、填空题6.如图在正方体ABCDA1B1C1D1MN分别为棱C1D1C1C的中点有以下四个结论:直线AMCC1是相交直线;直线AMBN是平行直线;直线BNMB1是异面直线;直线MNAC所成的角为60°.其中正确的结论为________(填序号).解析 AMC1三点共面且在平面AD1C1BC平面AD1C1BC1AM因此直线AMCC1是异面直线同理AMBN也是异面直线①②错;MBB1三点共面且在平面MBB1N平面MBB1BMB1,因此直线BNMB1是异面直线正确;连接D1C因为D1CMN所以直线MNAC所成的角就是D1CAC所成的角且角为60°.答案 ③④7.如图正方体的底面与正四面体的底面在同一平面αABCD则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.解析 CD的中点H连接EHFH.在正四面体CDEF由于CDEHCDHFEHFHH所以CD平面EFH所以AB平面EFH则平面EFH与正方体的左右两侧面平行EF也与之平行与其余四个平面相交.答案 48.(2014·全国卷改编)直三棱柱ABCA1B1C1BCA90°MN分别是A1B1A1C1的中点BCCACC1BMAN所成角的余弦值为________.解析 如图所示BC中点D连接MNNDAD.MN分别是A1B1A1C1的中点MNB1C1.BDB1C1MNBD则四边形BDNM为平行四边形因此NDBM∴∠AND为异面直线BMAN所成的角(或其补角).BC2BMNDANADADN由余弦定理得cosAND.故异面直线BMAN所成角的余弦值为.答案 三、解答题9.如图所示正方体ABCDA1B1C1D1MN分别是A1B1B1C1的中点.问:(1)AMCN是否是异面直线?说明理由;(2)D1BCC1是否是异面直线?说明理由. (1)AMCN不是异面直线.理由:连接MNA1C1AC.因为MN分别是A1B1B1C1的中点所以MNA1C1.又因为A1AC1C所以四边形A1ACC1为平行四边形所以A1C1AC所以MNAC所以AMNC在同一平面内AMCN不是异面直线.(2)直线D1BCC1是异面直线.理由:因为ABCDA1B1C1D1是正方体所以BCC1D1不共面.假设D1BCC1不是异面直线则存在平面α使D1B平面αCC1平面α所以D1BCC1α这与BCC1D1不共面矛盾.所以假设不成立D1BCC1是异面直线.10.(2017·成都月考)如图所示在三棱锥PABCPA底面ABCDPC的中点.已知BACAB2AC2PA2.求:(1)三棱锥PABC的体积;(2)异面直线BCAD所成角的余弦值.解 (1)SABC×2×22三棱锥PABC的体积为VSABC·PA×2×2 .(2)如图PB的中点E连接DEAEEDBC所以ADE是异面直线BCAD所成的角(或其补角).ADEDE2AEAD2cosADE.故异面直线BCAD所成角的余弦值为.11.以下四个命题中不共面的四点中其中任意三点不共线;若点ABCD共面ABCE共面则点ABCDE共面;若直线ab共面直线ac共面则直线bc共面;依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是(  )A.0   B.1 C.2   D.3解析 假设其中有三点共线则该直线和直线外的另一点确定一个平面这与四点不共面矛盾故其中任意三点不共线所以正确.从条件看出两平面有三个公共点ABC但是若ABC共线则结论不正确;不正确;不正确因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上,如空间四边形.答案 B12.若空间中四条两两不同的直线l1l2l3l4满足l1l2l2l3l3l4则下列结论一定正确的是(  )A.l1l4  B.l1l4C.l1l4既不垂直也不平行 D.l1l4的位置关系不确定解析 如图在长方体ABCDA1B1C1D1l1DD1l2DCl3DA.l4AA1满足l1l2l2l3l3l4此时l1l4可以排除选项AC.若取C1Dl4l1l4相交;若取BAl4l1l4异面;取C1D1l4l1l4相交且垂直.因此l1l4的位置关系不能确定.答案 D13.如图正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直ACBC2ACB90°FG分别是线段AEBC的中点ADGF所成的角的余弦值为________.解析 DE的中点H连接HFGH.由题设HFAD.∴∠GFH为异面直线ADGF所成的角(或其补角).GHF可求HFGFGHcosHFG.答案 14.如图在四棱锥OABCD底面ABCD是边长为2的正方形OA底面ABCDOA2MOA的中点.(1)求四棱锥OABCD的体积;(2)求异面直线OCMD所成角的正切值.解 (1)由已知可求得正方形ABCD的面积S4所以四棱锥OABCD的体积V×4×2.(2)如图连接AC设线段AC的中点为E连接MEDE.MOA中点MEOCEMD(或其补角)为异面直线OCMD所成的角由已知可得DEEMMD()2()2()2∴△DEM为直角三角形tanEMD.异面直线OCMD所成角的正切值为. 

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