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2020版新高考数学一轮(鲁京津琼)精练:第8章第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系 (含解析)
展开第3讲 空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1.(2015·湖北卷)l1,l2表示空间中的两条直线,若p:l1,l2是异面直线;q:l1,l2不相交,则( )A.p是q的充分条件,但不是q的必要条件B.p是q的必要条件,但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件解析 直线l1,l2是异面直线,一定有l1与l2不相交,因此p是q的充分条件;若l1与l2不相交,那么l1与l2可能平行,也可能是异面直线,所以p不是q的必要条件.故选A.答案 A2.(2017·郑州联考)已知直线a和平面α,β,α∩β=l,a⊄α,a⊄β,且a在α,β内的射影分别为直线b和c,则直线b和c的位置关系是( )A.相交或平行 B.相交或异面C.平行或异面 D.相交、平行或异面解析 依题意,直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面,选D.答案 D3.给出下列说法:①梯形的四个顶点共面;②三条平行直线共面;③有三个公共点的两个平面重合;④三条直线两两相交,可以确定1个或3个平面.其中正确的序号是( )A.① B.①④ C.②③ D.③④解析 显然命题①正确.由于三棱柱的三条平行棱不共面,②错.命题③中,两个平面重合或相交,③错.三条直线两两相交,可确定1个或3个平面,则命题④正确.答案 B4.(2017·济南模拟)a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是( )A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交C.若a∥b,则a,b与c所成的角相等D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c解析 若直线a,b异面,b,c异面,则a,c相交、平行或异面;若a,b相交,b,c相交,则a,c相交、平行或异面;若a⊥b,b⊥c,则a,c相交、平行或异面;由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.答案 C5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BB1,CC1的中点,那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为( )A. B. C. D.解析 连接DF,则AE∥DF,∴∠D1FD为异面直线AE与D1F所成的角.设正方体棱长为a,则D1D=a,DF=a,D1F=a,∴cos∠D1FD==.答案 B二、填空题6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,有以下四个结论:①直线AM与CC1是相交直线;②直线AM与BN是平行直线;③直线BN与MB1是异面直线;④直线MN与AC所成的角为60°.其中正确的结论为________(填序号).解析 A,M,C1三点共面,且在平面AD1C1B中,但C∉平面AD1C1B,C1∉AM,因此直线AM与CC1是异面直线,同理AM与BN也是异面直线,①②错;M,B,B1三点共面,且在平面MBB1中,但N∉平面MBB1,B∉MB1,因此直线BN与MB1是异面直线,③正确;连接D1C,因为D1C∥MN,所以直线MN与AC所成的角就是D1C与AC所成的角,且角为60°.答案 ③④7.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.解析 取CD的中点H,连接EH,FH.在正四面体CDEF中,由于CD⊥EH,CD⊥HF,且EH∩FH=H,所以CD⊥平面EFH,所以AB⊥平面EFH,则平面EFH与正方体的左右两侧面平行,则EF也与之平行,与其余四个平面相交.答案 48.(2014·全国Ⅱ卷改编)直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为________.解析 如图所示,取BC中点D,连接MN,ND,AD.∵M,N分别是A1B1,A1C1的中点,∴MN綉B1C1.又BD綉B1C1,∴MN綉BD,则四边形BDNM为平行四边形,因此ND∥BM,∴∠AND为异面直线BM与AN所成的角(或其补角).设BC=2,则BM=ND=,AN=,AD=,在△ADN中,由余弦定理得cos∠AND==.故异面直线BM与AN所成角的余弦值为.答案 三、解答题9.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问:(1)AM和CN是否是异面直线?说明理由;(2)D1B和CC1是否是异面直线?说明理由.解 (1)AM,CN不是异面直线.理由:连接MN,A1C1,AC.因为M,N分别是A1B1,B1C1的中点,所以MN∥A1C1.又因为A1A綉C1C,所以四边形A1ACC1为平行四边形,所以A1C1∥AC,所以MN∥AC,所以A,M,N,C在同一平面内,故AM和CN不是异面直线.(2)直线D1B和CC1是异面直线.理由:因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以B,C,C1,D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线,则存在平面α,使D1B⊂平面α,CC1⊂平面α,所以D1,B,C,C1∈α,这与B,C,C1,D1不共面矛盾.所以假设不成立,即D1B和CC1是异面直线.10.(2017·成都月考)如图所示,在三棱锥P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中点.已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求:(1)三棱锥P-ABC的体积;(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值.解 (1)S△ABC=×2×2=2,三棱锥P-ABC的体积为V=S△ABC·PA=×2×2= .(2)如图,取PB的中点E,连接DE,AE,则ED∥BC,所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角).在△ADE中,DE=2,AE=,AD=2,cos∠ADE==.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.11.以下四个命题中,①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则点A,B,C,D,E共面;③若直线a,b共面,直线a,c共面,则直线b,c共面;④依次首尾相接的四条线段必共面.正确命题的个数是( )A.0 B.1 C.2 D.3解析 ①假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面,这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A,B,C,但是若A,B,C共线,则结论不正确;③不正确;④不正确,因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上,如空间四边形.答案 B12.若空间中四条两两不同的直线l1,l2,l3,l4,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,则下列结论一定正确的是( )A.l1⊥l4 B.l1∥l4C.l1与l4既不垂直也不平行 D.l1与l4的位置关系不确定解析 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,记l1=DD1,l2=DC,l3=DA.若l4=AA1,满足l1⊥l2,l2⊥l3,l3⊥l4,此时l1∥l4,可以排除选项A和C.若取C1D为l4,则l1与l4相交;若取BA为l4,则l1与l4异面;取C1D1为l4,则l1与l4相交且垂直.因此l1与l4的位置关系不能确定.答案 D13.如图,正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直,且AC=BC=2,∠ACB=90°,F,G分别是线段AE,BC的中点,则AD与GF所成的角的余弦值为________.解析 取DE的中点H,连接HF,GH.由题设,HF綉AD.∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角).在△GHF中,可求HF=,GF=GH=,∴cos∠HFG==.答案 14.如图,在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.(1)求四棱锥O-ABCD的体积;(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值.解 (1)由已知可求得正方形ABCD的面积S=4,所以四棱锥O-ABCD的体积V=×4×2=.(2)如图,连接AC,设线段AC的中点为E,连接ME,DE.又M为OA中点,∴ME∥OC,则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角,由已知可得DE=,EM=,MD=,∵()2+()2=()2,∴△DEM为直角三角形,∴tan∠EMD===.∴异面直线OC与MD所成角的正切值为.