2020届高考数学一轮复习：课时作业23《简单的三角恒等变换》(含解析) 练习

课时作业23　简单的三角恒等变换1．已知270°＜α＜360°，则三角函数式 的化简结果是(　D　)A．sin   B．－sinC．cos   D．－cos解析： ＝＝ ＝，由于135°＜＜180°，所以cos＜0，所以化简结果为－cos.2.等于(　C　)A．－   B．C．   D．1解析：原式＝＝＝＝.3．(2019·广州模拟)已知f(x)＝sin，若sinα＝，则f＝(　B　)A．－   B．－C．   D．解析：因为sinα＝，所以cosα＝－，f＝sin＝sin＝sinα＋cosα＝－.4．(2019·合肥质检)已知函数f(x)＝sin4x＋cos4x，x∈，若f(x1)＜f(x2)，则一定有(　D　)A．x1＜x2   B．x1＞x2C．x＜x   D．x＞x解析：f(x)＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2xcos2x＝cos4x＋，4x∈[－π，π]，所以函数f(x)是偶函数，且在上单调递减，根据f(x1)＜f(x2)，可得f(|x1|)＜f(|x2|)，所以|x1|＞|x2|，即x＞x.5．已知α∈R，sinα＋2cosα＝，则tan2α＝(　C　)A．   B．C．－   D．－解析：因为sinα＋2cosα＝，所以sin2α＋4cos2α＋4sinαcosα＝(sin2α＋cos2α)，整理得3sin2α－3cos2α－8sinαcosα＝0，则－3cos2α＝4sin2α，所以tan2α＝－.6．(2019·豫北名校联考)若函数f(x)＝5cosx＋12sinx在x＝θ时取得最小值，则cosθ等于(　B　)A．   B．－C．   D．－解析：f(x)＝5cosx＋12sinx＝13＝13sin(x＋α)，其中sinα＝，cosα＝，由题意知θ＋α＝2kπ－(k∈Z)，得θ＝2kπ－－α(k∈Z)，所以cosθ＝cos＝cos＝－sinα＝－.7．(2019·湖南湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log2等于(　C　)A．2   B．3C．4   D．5解析：由sin(α＋β)＝，得sinαcosβ＋cosαsinβ＝，①由sin(α－β)＝，得sinαcosβ－cosαsinβ＝，②由①②可得sinαcosβ＝，cosαsinβ＝.∴＝＝＝5.∴log2＝log25＝4，故选C．8．(2019·武汉模拟)在△ABC中，A，B，C是△ABC的内角，设函数f(A)＝2sinsin＋sin2－cos2，则f(A)的最大值为.解析：f(A)＝2cossin＋sin2－cos2＝sinA－cosA＝sin，因为0＜A＜π，所以－＜A－＜.所以当A－＝，即A＝时，f(A)有最大值.9．已知α，β∈，tan(α＋β)＝9tanβ，则tanα的最大值为.解析：∵α，β∈，∴tanα＞0，tanβ＞0，∴tanα＝tan(α＋β－β)＝＝＝≤＝(当且仅当＝9tanβ时等号成立)，∴tanα的最大值为.10．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a＞1)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈，则α＋β＝－.解析：依题意有∴tan(α＋β)＝＝＝1.又∴tanα＜0且tanβ＜0，∴－＜α＜0且－＜β＜0，即－π＜α＋β＜0，结合tan(α＋β)＝1，得α＋β＝－.11．(2019·泉州模拟)已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．(1)求sin2α－tanα的值；(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα，求函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域．解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，)，∴sinα＝，cosα＝－，tanα＝－.∴sin2α－tanα＝2sinαcosα－tanα＝－＋＝－.(2)∵f(x)＝cos(x－α)cosα－sin(x－α)sinα＝cosx，x∈R，∴g(x)＝cos－2cos2x＝sin2x－1－cos2x＝2sin－1，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.∴－≤sin≤1，∴－2≤2sin－1≤1，故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]．12．(2019·湛江一模)已知函数f(x)＝Acos(A＞0，ω＞0)图象相邻两条对称轴的距离为，且f(0)＝1.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α，β∈，f＝－，f＝，求tan(2α－2β)的值．解：(1)∵函数f(x)＝Acos(A＞0，ω＞0)图象相邻两条对称轴的距离为，∴＝＝，∴ω＝2，又f(0)＝1，∴A＝1，∴A＝2，∴f(x)＝2cos.(2)∵α∈，f＝2cos＝2cos(2α－π)＝－2cos2α＝－，∴cos2α＝，sin2α＝＝，则tan2α＝＝.∵β∈，f＝2cos＝2cos2β＝，∴cos2β＝，sin2β＝＝，则tan2β＝＝.∴tan(2α－2β)＝＝＝.13．(2019·山西临汾模拟)已知函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx，当x＝θ时函数y＝f(x)取得最小值，则＝(　C　)A．－3   B．3C．－   D．解析：f(x)＝sin2x＋sinxcosx＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x＝θ时函数y＝f(x)取得最小值，即2θ－＝2kπ－，k∈Z，那么2θ＝2kπ－，k∈Z，则＝＝＝－.故选C．14．(2019·江西赣中南五校模拟)已知f(x)＝sin＋cos的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立，则A|x1－x2|的最小值为(　B　)A．   B．C．   D．解析：∵f(x)＝sin＋cos＝sin2 019xcos＋cos2 019xsin＋cos2 019xcos＋sin2 019xsin＝sin2 019x＋cos2 019x＋cos2 019x＋sin2 019x＝sin2 019x＋cos2 019x＝2sin，∴f(x)的最大值为A＝2；由题意，得|x1－x2|的最小值为＝，∴A|x1－x2|的最小值为.故选B．15．定义运算＝ad－bC．若cosα＝，＝，0＜β＜α＜，则β＝　.解析：由题意有sinαcosβ－cosαsinβ＝sin(α－β)＝，又0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，故cos(α－β)＝＝，而cosα＝，∴sinα＝，于是sinβ＝sin[α－(α－β)]＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)＝×－×＝.又0＜β＜，故β＝.16．已知函数f(x)＝2cos2ωx－1＋2sinωxcosωx(0＜ω＜1)，直线x＝是函数f(x)的图象的一条对称轴．(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)已知函数y＝g(x)的图象是由y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到的，若g＝，α∈，求sinα的值．解：(1)f(x)＝cos2ωx＋sin2ωx＝2sin，由于直线x＝是函数f(x)＝2sin的图象的一条对称轴，所以ω＋＝kπ＋(k∈Z)，解得ω＝k＋(k∈Z)，又0＜ω＜1，所以ω＝，所以f(x)＝2sin.由2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．(2)由题意可得g(x)＝2sin，即g(x)＝2cos，由g＝2cos＝2cos＝，得cos＝，又α∈，故＜α＋＜，所以sin＝，所以sinα＝sin＝sin·cos－cos·sin＝×－×＝.