2020届高考数学一轮复习：课时作业43《空间点、直线、平面之间的位置关系》(含解析) 练习

课时作业43　空间点、直线、平面之间的位置关系

1．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是(　D　)

解析：A、B、C图中四点一定共面，D中四点不共面．

2．(2019·烟台质检)a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是(　C　)

A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面

B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交

C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等

D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c

解析：若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．

3．若m，n为两条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面，则下列命题中正确的是(　A　)

①若直线m，n都平行于平面α，则m，n一定不是相交直线；

②若直线m，n都垂直于平面α，则m，n一定是平行直线；

③已知平面α，β互相垂直，且直线m，n也互相垂直，若m⊥α，则n⊥β；

④若直线m，n在平面α内的射影互相垂直，则m⊥n.

A．②   B．②③

C．①③   D．②④

解析：对于①，m与n可能平行，可能相交，也可能异面，①错误；

对于②，由线面垂直的性质定理可知，m与n一定平行，故②正确；

对于③，还有可能n∥β，n⊂β或n与β相交，③错误；

对于④，把m，n放入正方体中，如图，取A1B为m，B1C为n，平面ABCD为平面α，则m与n在α内的射影分别为AB与BC，且AB⊥BC.而m与n所成的角为60°，故④错误．

4．过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作(　D　)

A．1条   B．2条

C．3条   D．4条

解析：如图，连接体对角线AC1，

显然AC1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，所成角的正切值都为.

联想正方体的其他体对角线，

如连接BD1，则BD1与棱BC，BA，BB1所成的角都相等，

∵BB1∥AA1，BC∥AD，

∴体对角线BD1与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，

同理，体对角线A1C，DB1也与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，过A点分别作BD1，A1C，DB1的平行线都满足题意，故这样的直线l可以作4条．

5．如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，长为2的线段MN的一个端点M在棱DD1上运动，点N在正方体的底面ABCD内运动，则MN的中点P的轨迹的面积是(　D　)

A．4π   B．π

C．2π   D.

解析：连接DN，则△MDN为直角三角形，

在Rt△MDN中，MN＝2，P为MN的中点，

连接DP，则DP＝1，

所以点P在以D为球心，半径R＝1的球面上，

又因为点P只能落在正方体上或其内部，所以点P的轨迹的面积等于该球面面积的，

故所求面积S＝×4πR2＝.

6．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是(　D　)

A．0＜θ＜   B．0＜θ≤

C．0≤θ≤   D．0＜θ≤

解析：连接CD1，CA.

∵A1B∥D1C，∴异面直线CP与A1B所成的角即为CP与D1C所成的角．

∵△AD1C是正三角形，

∴当P与A重合时，所成角最大，为.

又∵P不能与D1重合(此时D1C与A1B平行，不是异面直线)，

∴θ∈，故选D.

7．如图，ABCD-A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　A　)

A．A，M，O三点共线  B．A，M，O，A1不共面

C．A，M，C，O不共面  D．B，B1，O，M共面

解析：连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，

所以A1，C1，C，A四点共面，

所以A1C⊂平面ACC1A1，

因为M∈A1C，

所以M∈平面ACC1A1，

又M∈平面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，

因为平面ACC1A1∩平面AB1D1＝AO，所以M∈AO，所以A，M，O三点共线．

8．直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　C　)

A.   B.

C.   D.

解析：解法一：取BC的中点Q，连接QN，AQ，易知BM∥QN，

则∠ANQ或其补角的余弦值即为所求，

设BC＝CA＝CC1＝2，

则AQ＝，AN＝，QN＝，

∴cos∠ANQ＝＝＝＝.

解法二：以C1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设BC＝CA＝CC1＝2，

则A(2,0,2)，N(1,0,0)，M(1,1,0)，B(0,2,2)，

∴＝(－1,0，－2)，＝(1，－1，－2)，

∴cos〈，〉＝＝＝＝.故选C.

9．(2019·西安模拟)如图是正四面体的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中，①GH与EF平行；②BD与MN为异面直线；③GH与MN成60°角；④DE与MN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是　②③④　.

解析：还原成正四面体A-DEF，其中H与N重合，A，B，C三点重合．如图所示．

易知GH与EF异面，BD与MN异面．

又△GMH为等边三角形，

∴GH与MN成60°角，

易证DE⊥AF，MN∥AF，

∴MN⊥DE.

因此正确的序号是②③④.

10．如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为　　.

解析：取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，如图．

因为C是圆柱下底面弧AB的中点，

所以AD∥BC，所以直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD.

因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，

所以C1D＝AD，

所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.

11．如图所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点.

已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：

(1)三棱锥P-ABC的体积；

(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．

解：(1)S△ABC＝×2×2＝2，

三棱锥P-ABC的体积为

V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.

(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，

则ED∥BC，所以∠ADE是异面直线BC与AD所成的角(或其补角)．

在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，

cos∠ADE＝＝.

故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.

12．如图，已知二面角α-MN-β的大小为60°，菱形ABCD在平面β内，A，B两点在棱MN上，∠BAD＝60°，E是AB的中点，DO⊥平面α，垂足为O.

(1)证明：AB⊥平面ODE；

(2)求异面直线BC与OD所成角的余弦值．

解：(1)证明，∵DO⊥α，AB⊂α，

∴DO⊥AB.

连接BD，由题意知，△ABD是正三角形．

又E是AB的中点，∴DE⊥AB.

而DO∩DE＝D，∴AB⊥平面ODE.

(2)∵BC∥AD，∴BC与OD所成的角等于AD与OD所成的角，即∠ADO是异面直线BC与OD所成的角．

由(1)知，AB⊥平面ODE，所以AB⊥OE.

又DE⊥AB，∴∠DEO是二面角α-MN-β的平面角，即∠DEO＝60°.

不妨设AB＝2，则AD＝2，易知DE＝.

在Rt△DOE中，DO＝DE·sin60°＝.

连接AO，在Rt△AOD中，cos∠ADO＝＝＝.故异面直线BC与OD所成角的余弦值为.

13．正四棱锥P-ABCD中，四条侧棱长均为2，底面ABCD是正方形，E为PC的中点，若异面直线PA与BE所成的角为45°，则该四棱锥的体积是(　D　)

A．4   B．2

C.   D.

解析：如图所示，连接AC，BD.

设AC∩BD＝O，连接PO，OE，

∵O，E分别是AC和PC的中点，

∴OE∥PA，OE＝PA＝1，

则∠BEO或其补角即为异面直线PA与BE所成的角．

∵底面ABCD是正方形，∴BO⊥AC，

又PO⊥OB，PO∩AC＝O，

∴BO⊥平面PAC，则BO⊥OE，

∴△BOE是等腰直角三角形，∴OB＝OE＝1，

PO＝＝，BC＝，

则四棱锥P-ABCD的体积V＝×()2×＝，故选D.

14．如图是三棱锥D-ABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于(　A　)

A.   B.

C.   D.

解析：由三视图及题意得如图所示的直观图，

从A出发的三条线段AB，AC，AD两两垂直且AB＝AC＝2，AD＝1，O是BC的中点，取AC中点E，连接DE，DO，OE，则OE＝1，又可知AE＝1，由于OE∥AB，故∠DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角．在直角三角形DAE中，DE＝，由于O是BC的中点，在直角三角形ABC中可以求得AO＝，在直角三角形DAO中可以求得DO＝.在三角形DOE中，由余弦定理得cos∠DOE＝＝，故所求异面直线DO与AB所成角的余弦值为，故选A.

15．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下列四个命题中不正确的是　③　.(填序号)

①BM是定值；

②点M在某个球面上运动；

③存在某个位置，使DE⊥A1C；

④存在某个位置，使MB∥平面A1DE.

解析：取DC的中点F，连接MF，BF，

则MF∥A1D且MF＝A1D，FB∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B为球心，MB为半径的球面上，可得①②正确；由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正确；若存在某个位置，使DE⊥A1C，则因为DE2＋CE2＝CD2，即CE⊥DE，因为A1C∩CE＝C，则DE⊥平面A1CE，所以DE⊥A1E，与DA1⊥A1E矛盾，故③不正确．

16．如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AC⊥BC,2AC＝2BC＝CC1＝4，点N为CC1的中点，P为线段AC(包含端点)上一动点，给出以下四个结论：

①直线BP与直线B1A1为异面直线；

②P到平面A1B1N的距离是定值；

③A1P与B1N所成角最小为45°；

④B1P与平面A1PN所成角余弦值的最小值为.

其中正确结论的序号为　③④　.

解析：①若P点与A点重合，则BP∥B1A1，故①错；

②记P到平面A1B1N的距离为h1，平面三角形A1PN的面积S△A1PN在变化，点B1到平面A1PN1的距离h2为定值，又三角形A1B1N的面积S△A1B1N为定值，所以VP-A1B1N＝VB1-A1PN，即S△A1B1N·h1＝

S△A1PN·h2，

所以h1不是定值，②错．

③如图所示，建立空间直角坐标系，A1(0,0,0)，P(0，y0,4)，B1(2,2,0)，N(0,2,2)，

＝(0，y0,4)，＝(－2,0,2)，

记A1P与B1N所成角为θ，

则cosθ＝＝(0≤y0≤2)，(cosθ)max＝，

所以θ的最小值为45°.

④连接PC1.B1C1⊥平面AA1C1C，则∠B1PC1即为线面角，tan∠B1PC1＝，B1C1为定值，当tan∠B1PC1最大时，PC1最小，cos∠B1PC1最小，所以当P与C重合时，(cos∠B1PC1)min＝.