2020届高考数学一轮复习：课时作业51《圆的方程》(含解析) 练习

课时作业51　圆的方程

1．(2019·福建厦门联考)若a∈，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为(　B　)

A．0   B．1

C．2   D．3

解析：方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件为a2＋4a2－4(2a2＋a－1)＞0，即3a2＋4a－4＜0，解得－2＜a＜.又a∈，∴仅当a＝0时，方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，故选B.

2．若圆x2＋y2＋2ax－b2＝0的半径为2，则点(a，b)到原点的距离为(　B　)

A．1   B．2

C.   D．4

解析：由半径r＝＝＝2，得＝2.∴点(a，b)到原点的距离d＝＝2，故选B.

3．(2019·广东珠海四校联考)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的标准方程为(　B　)

A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2   B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2

C．(x－1)2＋(y－1)2＝2   D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2

解析：由题意设圆心坐标为(a，－a)，

则有＝，

即|a|＝|a－2|，解得a＝1.

故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝＝，

所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2，故选B.

4．圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a＞0，b＞0)对称，则＋的最小值是(　D　)

A．2   B.

C．4   D.

解析：由圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知，其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，

∵圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a＞0，b＞0)对称，

∴该直线经过圆心(－1,3)，

即－a－3b＋3＝0，∴a＋3b＝3(a＞0，b＞0)，

∴＋＝(a＋3b)

＝≥＝，

当且仅当＝，即a＝b时取等号，故选D.

5．(2019·河南豫西五校联考)在平面直角坐标系xOy中，以点(0,1)为圆心且与直线x－by＋2b＋1＝0相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为(　B　)

A．x2＋(y－1)2＝4   B．x2＋(y－1)2＝2

C．x2＋(y－1)2＝8   D．x2＋(y－1)2＝16

解析：法一　由题意可得圆心(0,1)到直线x－by＋2b＋1＝0的距离d＝＝＝≤ ≤，当且仅当b＝1时取等号，

所以半径最大的圆的半径r＝，

此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2.

法二　直线x－by＋2b＋1＝0过定点P(－1,2)，如图．

∴圆与直线x－by＋2b＋1＝0相切于点P时，圆的半径最大，为，此时圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝2，故选B.

6．(2019·福建三明第一中学月考)若对圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)，|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是(　D　)

A．(－∞，－4]   B．[－4,6]

C．(－∞，－4]∪[6，＋∞)   D．[6，＋∞)

解析：设z＝|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|＝5，故|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|可看作点P到直线m：3x－4y＋a＝0与直线l：3x－4y－9＝0距离之和的5倍，

∵取值与x，y无关，∴这个距离之和与P无关，

如图所示，可知直线m向上平移时，P点到直线m，l间的距离之和均为m，l间的距离，即此时与x，y的值无关，当直线m与圆相切时，＝1，化简得|a－1|＝5，

解得a＝6或a＝－4(舍去)，∴a≥6，故选D.

7．(2019·河南新乡模拟)若圆C：x2＋2＝n的圆心为椭圆M：x2＋my2＝1的一个焦点，且圆C经过M的另一个焦点，则圆C的标准方程为　x2＋(y＋1)2＝4　.

解析：∵圆C的圆心为，

∴ ＝，m＝.

又圆C经过M的另一个焦点，

则圆C经过点(0,1)，从而n＝4.

故圆C的标准方程为x2＋(y＋1)2＝4.

8．(2019·东北三省四校联考)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点．记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0,1)，B(0，－1)，则d的最大值为　74　.

解析：设P(x0，y0)，d＝|PB|2＋|PA|2＝x＋(y0＋1)2＋x＋(y0－1)2＝2(x＋y)＋2.

x＋y为圆上任一点到原点距离的平方，

∴(x＋y)max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.

9．设点P是函数y＝－图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为　－2　.

解析：函数y＝－的图象表示圆(x－1)2＋y2＝4在x轴及下方的部分，令点Q的坐标为(x，y)，则得y＝－3，即x－2y－6＝0，作出图象如图所示，

由于圆心(1,0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝＝＞2，

所以直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，

因此|PQ|的最小值是－2.

10．(2019·安徽“江南十校”联考)已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，则圆C的方程为　(x－1)2＋(y＋1)2＝2　.

解析：解法一：∵所求圆的圆心在直线x＋y＝0上，

∴设所求圆的圆心为(a，－a)．

又∵所求圆与直线x－y＝0相切，

∴半径r＝＝|a|.

又所求圆在直线x－y－3＝0上截得的弦长为，圆心(a，－a)到直线x－y－3＝0的距离d＝，

∴d2＋2＝r2，即＋＝2a2，解得a＝1.

∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.

解法二：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，则圆心(a，b)到直线x－y－3＝0的距离d＝.

∴r2＝＋，

即2r2＝(a－b－3)2＋3.①

由于所求圆与直线x－y＝0相切，

∴(a－b)2＝2r2.②

又∵圆心在直线x＋y＝0上，∴a＋b＝0.③

联立①②③，解得

故圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.

解法三：设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则圆心为，半径r＝，

∵圆心在直线x＋y＝0上，

∴－－＝0，即D＋E＝0，①

又∵圆C与直线x－y＝0相切，

∴＝，

即(D－E)2＝2(D2＋E2－4F)，

∴D2＋E2＋2DE－8F＝0.②

又知圆心到直线x－y－3＝0的距离d＝

，

由已知得d2＋2＝r2，

∴(D－E＋6)2＋12＝2(D2＋E2－4F)，③

联立①②③，解得

故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋2y＝0，

即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.

11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2，在y轴上截得线段长为2.

(1)求圆心P的轨迹方程；

(2)若P点到直线y＝x的距离为，求圆P的方程．

解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.

由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，从而y2＋2＝x2＋3.

故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.

(2)设P(x0，y0)．由已知得＝.

又P点在双曲线y2－x2＝1上，

从而得由得

此时，圆P的半径r＝.

由得

此时，圆P的半径r＝.

故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.

12．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．

(1)求|MQ|的最大值和最小值；

(2)若M(m，n)，求的最大值和最小值．

解：(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，

可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，

所以圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2.

又|QC|＝＝4＞2.

所以点Q在圆C外，

所以|MQ|max＝4＋2＝6，

|MQ|min＝4－2＝2.

(2)可知表示直线MQ的斜率，

设＝k，则直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，

即kx－y＋2k＋3＝0，

因为直线MQ与圆C有交点，

所以≤2，可得2－≤k≤2＋，

所以的最大值为2＋，最小值为2－.

13．已知点P(t，t)，t∈R，点M是圆x2＋(y－1)2＝上的动点，点N是圆(x－2)2＋y2＝上的动点，则|PN|－|PM|的最大值是(　B　)

A.－1   B．2

C．3   D.

解析：易知圆x2＋(y－1)2＝的圆心为A(0,1)，圆(x－2)2＋y2＝的圆心为B(2,0)，P(t，t)在直线y＝x上，A(0,1)关于直线y＝x的对称点为A′(1,0)，

则|PN|－|PM|≤|PB|＋－＝|PB|－|PA|＋1＝|PB|－|PA′|＋1≤|A′B|＋1＝2，故选B.

14．(2019·厦门模拟)已知两点A(0，－3)，B(4,0)，若点P是圆C：x2＋y2－2y＝0上的动点，则△ABP的面积的最小值为(　B　)

A．6   B.

C．8   D.

解析：x2＋y2－2y＝0可化为x2＋(y－1)2＝1，

则圆C为以(0,1)为圆心，1为半径的圆．

如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，

连接BP，AP，这时△ABP的面积最小，直线AB的方程为＋＝1，即3x－4y－12＝0，圆心C到直线AB的距离d＝，

又|AB|＝＝5，∴△ABP的面积的最小值为×5×＝.

15．如图，在等腰△ABC中，已知|AB|＝|AC|，B(－1,0)，AC边的中点为D(2,0)，则点C的轨迹所包围的图形的面积为　4π　.

解析：由已知|AB|＝2|AD|，设点A(x，y)，

则(x＋1)2＋y2＝4[(x－2)2＋y2]，

所以点A的轨迹方程为(x－3)2＋y2＝4(y≠0)，

设C(x′，y′)，由AC边的中点为D(2,0)知A(4－x′，－y′)，

所以C的轨迹方程为(4－x′－3)2＋(－y′)2＝4，

即(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，

所以点C的轨迹所包围的图形面积为4π.

16．(2017·全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．

(1)证明：坐标原点O在圆M上；

(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．

解：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2.

由可得y2－2my－4＝0，则y1y2＝－4.

又x1＝，x2＝，故x1x2＝＝4.

因此OA的斜率与OB的斜率之积为·＝＝－1，

所以OA⊥OB.

故坐标原点O在圆M上．

(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4.

故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径r＝.

由于圆M过点P(4，－2)，因此·＝0，

故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，

即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.

由(1)可得y1y2＝－4，x1x2＝4.

所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－.

当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为，圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.

当m＝－时，直线l的方程为2x＋y－4＝0，圆心M的坐标为，圆M的半径为，圆M的方程为2＋2＝.