2020届高考数学一轮复习：课时作业55《抛物线》(含解析) 练习

课时作业55　抛物线

1．(2019·广东珠海模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|＝4，则直线AF的倾斜角等于(　B　)

A.    B．

C.    D．

解析：由抛物线y2＝4x知焦点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1，由抛物线定义可知|PA|＝|PF|＝4，所以点P的坐标为(3,2)，因此点A的坐标为(－1,2)，所以kAF＝＝－，所以直线AF的倾斜角等于，故选B.

2．(2019·湖北四地七校联考)已知抛物线y2＝2px(p＞0)，点C(－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为24，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是(　D　)

A．y2＝4x    B．y2＝－4x

C．y2＝8x    D．y2＝－8x

解析：因为AB⊥x轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦，且|AB|＝2p，所以S△CAB＝×2p×＝24，解得p＝4或－12(舍)，所以抛物线方程为y2＝8x，所以直线AB的方程为x＝2，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y2＝－8x，故选D.

3．已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)，若直线y＝2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为(　C　)

A．x2＝8y    B．x2＝4y

C．x2＝2y    D．x2＝y

解析：由得或

即两交点坐标为(0,0)和(4p,8p)，

则＝4，得p＝1(舍去负值)，

故抛物线C的方程为x2＝2y.

4．(2019·河南百校联盟联考)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|＝|MF|＝(O为坐标原点)，则·＝(　A　)

A．－    B．

C.    D．－

解析：不妨设M(m，)(m＞0)，

易知抛物线C的焦点F的坐标为，

因为|MO|＝|MF|＝，

所以解得m＝，p＝2，

所以＝，＝，

所以·＝－2＝－.故选A.

5．如图，设抛物线y2＝4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是(　A　)

A.    B．

C.    D．

解析：过A，B点分别作y轴的垂线，垂足分别为M，N，

则|AM|＝|AF|－1，|BN|＝|BF|－1.

可知＝＝＝＝，故选A.

6．(2019·江西六校联考)已知抛物线C：y2＝2x，过焦点F且斜率为的直线与C交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的射影分别为M，N两点，则S△MFN＝(　B　)

A．8    B．2

C．4    D．8

解析：法一：不妨设点P在x轴上方，如图，由抛物线定义可知|PF|＝|PM|，|QF|＝|QN|，

设直线PQ的倾斜角为θ，则tanθ＝，所以θ＝，

由抛物线焦点弦的性质可知，

|PF|＝＝＝2，

|QF|＝＝＝，

所以|MN|＝|PQ|·sinθ＝(|PF|＋|QF|)·sin＝×＝4，

所以S△MFN＝×|MN|×p＝×4×＝2，故选B.

法二：由题意可得直线PQ：

y＝＝x－，与抛物线方程y2＝2x联立，得2＝2x，即3x2－5x＋＝0，

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝，

所以|PQ|＝x1＋x2＋p＝＋＝，

所以|MN|＝|PQ|sin＝4，

所以S△MNF＝×4×＝2，故选B.

7．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．当水面宽为2 m时，水位下降了　1　m.

解析：以抛物线的顶点为坐标原点，水平方向为x轴建立平面直角坐标系，设抛物线的标准方程为x2＝－2py(p＞0)，把(2，－2)代入方程得p＝1，即抛物线的标准方程为x2＝－2y.将x＝代入x2＝－2y得：y＝－3，又－3－(－2)＝－1，所以水面下降了1 m.

8．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a＜b)，原点O为AD的中点，抛物线y2＝2px(p＞0)经过C，F两点，则＝　1＋　.

解析：|OD|＝，|DE|＝b，|DC|＝a，|EF|＝b，

故C，F，

又抛物线y2＝2px(p＞0)经过C、F两点，

从而有即

∴b2＝a2＋2ab，∴2－2·－1＝0，

又＞1，∴＝1＋.

9．已知抛物线C1：y＝ax2(a＞0)的焦点F也是椭圆C2：＋＝1(b＞0)的一个焦点，点M，P分别为曲线C1，C2上的点，则|MP|＋|MF|的最小值为　2　.

解析：将P代入到＋＝1中，可得＋＝1，∴b＝，∴c＝1，∴抛物线的焦点F为(0,1)，

∴抛物线C1的方程为x2＝4y，准线为直线y＝－1，设点M在准线上的射影为D，根据抛物线的定义可知|MF|＝|MD|，∴要求|MP|＋|MF|的最小值，即求|MP|＋|MD|的最小值，易知当D，M，P三点共线时，|MP|＋|MD|最小，最小值为1－(－1)＝2.

10．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．若直线AF的斜率k＝－，则线段PF的长为　6　.

解析：由抛物线方程为y2＝6x，

所以焦点坐标F，准线方程为x＝－，

因为直线AF的斜率为－，

所以直线AF的方程为y＝－，画图象如图．

当x＝－时，y＝3，

所以A，

因为PA⊥l，A为垂足，所以点P的纵坐标为3，

可得点P的坐标为，

根据抛物线的定义可知

|PF|＝|PA|＝－＝6.

11．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：

(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；

(2)＋为定值；

(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

证明：(1)由已知得抛物线焦点坐标为.

由题意可设直线方程为x＝my＋，代入y2＝2px，

得y2＝2p，

即y2－2pmy－p2＝0.(*)

因为在抛物线内部，

所以直线与抛物线必有两交点．

则y1，y2是方程(*)的两个实数根，

所以y1y2＝－p2.

因为y＝2px1，y＝2px2，

所以yy＝4p2x1x2，

所以x1x2＝＝＝.

(2)＋＝＋

＝.

因为x1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，得＋＝＝(定值)．

(3)设AB的中点为M(x0，y0)，如图所示，

分别过A，B作准线l的垂线，垂足为C，D，过M作准线l的垂线，垂足为N，

则|MN|＝(|AC|＋|BD|)

＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|.

所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．

12．(2019·武汉调研)已知直线y＝k(x－2)与抛物线Γ：y2＝x相交于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作y轴的垂线交Γ于点N.

(1)证明：抛物线Γ在点N处的切线与直线AB平行；

(2)是否存在实数k使·＝0？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．

解：(1)证明：由消去y并整理，得2k2x2－(8k2＋1)x＋8k2＝0.

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

则x1＋x2＝，x1x2＝4，

∴xM＝＝，

yM＝k(xM－2)＝k＝.

由题设条件可知，yN＝yM＝，xN＝2y＝，

∴N.

设抛物线Γ在点N处的切线l的方程为

y－＝m，

将x＝2y2代入上式，

得2my2－y＋－＝0.

∵直线l与抛物线Γ相切，

∴Δ＝1－4×2m×＝＝0，

∴m＝k，即l∥AB.

(2)假设存在实数k，使·＝0，

则NA⊥NB.

∵M是AB的中点，∴|MN|＝|AB|.

由(1)，得|AB|＝|x1－x2|

＝·

＝·

＝·.

∵MN⊥y轴，

∴|MN|＝|xM－xN|＝－＝.

∴＝·，

解得k＝±.

故存在k＝±，使得·＝0.

13．(2019·福建六校联考)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C，MN⊥y轴于点N.若四边形CMNF的面积等于7，则抛物线E的方程为(　C　)

A．y2＝x    B．y2＝2x

C．y2＝4x    D．y2＝8x

解析：由题意，得F，直线AB的方程为y＝x－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，联立y＝x－和y2＝2px得，y2－2py－p2＝0，则y1＋y2＝2p，所以y0＝＝p，故N(0，p)，又因为点M在直线AB上，所以x0＝，即M，因为MC⊥AB，所以kAB·kMC＝－1，故kMC＝－1，从而直线MC的方程为y＝－x＋p，令y＝0，得x＝p，故C，四边形CMNF的面积可以看作直角梯形CMNO与直角三角形NOF的面积之差，

即S四边形CMNF＝S梯形CMNO－S△NOF＝

·p－p·＝p2＝7，∴p2＝4，又p＞0，∴p＝2，故抛物线E的方程为y2＝4x，故选C.

14．抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB＝120°，过AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为(　A　)

A.    B．1

C.    D．2

解析：过A，B分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为A1，B1，如图，

由题意知|MN|＝(|AA1|＋|BB1|)＝(|AF|＋|BF|)，

在△AFB中，|AB|2＝|AF|2＋|BF|2－2|AF||BF|·cos120°＝|AF|2＋|BF|2＋|AF||BF|，

∴2＝·

＝

＝

≤×＝，

当且仅当|AF|＝|BF|时取等号，

∴的最大值为.

15．设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB的中点．若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是　(2,4)　.

解析：如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，

则两式相减得，(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)．

当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条．

当k存在时，x1≠x2，

则有·＝2，

又y1＋y2＝2y0，所以y0k＝2.

由CM⊥AB，得k·＝－1，

即y0k＝5－x0，因此2＝5－x0，x0＝3，

即M必在直线x＝3上．

将x＝3代入y2＝4x，

得y2＝12，则有－2＜y0＜2.

因为点M在圆上，所以(x0－5)2＋y＝r2，

故r2＝y＋4＜12＋4＝16.

又y＋4＞4(为保证有4条，在k存在时，y0≠0)，

所以4＜r2＜16，即2＜r＜4.

16．(2019·武汉调研)已知抛物线C：x2＝2py(p＞0)和定点M(0,1)，设过点M的动直线交抛物线C于A，B两点，抛物线C在A，B处的切线交点为N.

(1)若N在以AB为直径的圆上，求p的值；

(2)若△ABN面积的最小值为4，求抛物线C的方程．

解：(1)可设AB：y＝kx＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

将AB的方程代入抛物线C，得

x2－2pkx－2p＝0，显然方程有两个不等实根，

则x1＋x2＝2pk，x1x2＝－2p.①

又x2＝2py，得y′＝，

则A，B处的切线斜率乘积为＝－＝－1，

则有p＝2.

(2)设切线AN为y＝x＋b，

又切点A在抛物线y＝上，

∴y1＝，∴b＝－＝－，

∴yAN＝x－.同理yBN＝x－.

又∵N在yAN和yBN上，

∴解得N.

∴N(pk，－1)．

|AB|＝|x2－x1|＝·，

点N到直线AB的距离d＝＝，

S△ABN＝·|AB|·d＝≥2，

∴2＝4，∴p＝2.

故抛物线C的方程为x2＝4y.