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2020高考物理一轮复习学案：第二章第2讲力的合成与分解
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第2讲 力的合成与分解
主干梳理 对点激活
知识点 力的合成 Ⅱ
1．合力与分力
(1)定义：如果几个力共同作用产生的效果与一个力的作用效果相同，这一个力就叫做那几个力的合力，那几个力叫做这一个力的分力。
(2)关系：合力与分力是等效替代关系。
2．共点力
作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的几个力。如图1所示均为共点力。
3．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程。
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向，如图2甲所示。
②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的首到第二个矢量的尾的有向线段为合矢量。
如图2乙所示。
知识点 力的分解 Ⅱ
1．定义
求一个力的分力的过程。
2．性质
力的分解是力的合成的逆运算。
3．遵循的原则
(1)平行四边形定则。
(2)三角形定则。
4．分解方法
(1)按力的作用效果分解。
(2)正交分解法。
如图3将O点受力进行分解。
知识点 矢量和标量 Ⅰ
1．矢量
既有大小又有方向的物理量，合成时遵循平行四边形定则。如速度、力等。
2．标量
只有大小没有方向的物理量，求和时按算术法则相加。如路程、质量等。
一 思维辨析
1．两个力的合力一定大于这两个力中的任一个。( )
2．力的分解必须按作用效果分解。( )
3．两个分力大小一定，夹角越大，合力越大。( )
4．两个力的合力一定，夹角越大，分力越大。( )
5．既有大小又有方向的量一定是矢量。( )
6．合力及其分力均为作用于同一物体上的力。( )
答案 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.× 6.×
二 对点激活
1．(人教版必修1·P64·T4改编)(多选)两个力F1和F2间的夹角为θ，两力的合力为F，以下说法正确的是( )
A．若F1、F2的大小和方向一定，则F的大小和方向一定
B．若F1与F2大小不变，θ角越小，合力F就越大
C．如果夹角θ不变，F1大小不变，只要增大F2，合力F就必然增大
D．合力F的作用效果与两个分力F1和F2共同产生的作用效果是相同的
答案 ABD
解析 根据平行四边形定则，若F1、F2的大小和方向一定，则F的大小和方向一定，A正确；若F1与F2大小不变，θ角越小，合力F就越大，故B正确；当θ角为钝角时，F1大小不变，增大F2时，合力F可能先变小后增大，如图所示，故C错误；合力与分力的作用效果是相同的，故D正确。
2．(人教版必修1·P64·T2改编)有两个力，它们的合力为0。现在把其中一个向东6 N的力改为向南(大小不变)，它们的合力大小为( )
A．6 N B．6 N C．12 N D．0
答案 B
解析 两个力合力为0，其中一个向东的力为6 N，则另一个向西的力也为6 N，将向东的6 N的力改为向南，则变为向西的6 N的力与向南的6 N的力的合力，合力大小为6 N，故B正确。
3．(人教版必修1·P66·T2改编)一个竖直向下的180 N的力分解为两个分力，一个分力在水平方向上并等于240 N，则另一个分力的大小为( )
A．60 N B．240 N C．300 N D．420 N
答案 C
解析 将竖直向下的180 N的力分解，其中一个方向水平，大小为240 N，由力的三角形定则作图如图所示，其中F＝180 N，F1＝240 N，则另一个分力F2＝ N＝300 N，故C正确。
4.(人教版必修1·P65·例题改编)如图所示，重力为G的物体静止在倾角为α的斜面上，将重力G分解为垂直斜面向下的力F1和平行斜面向下的力F2，那么( )
A．F1就是物体对斜面的压力
B．物体对斜面的压力方向与F1方向相同，大小为Gcosα
C．F2就是物体受到的静摩擦力
D．物体受到重力、斜面对物体的支持力、静摩擦力、F1和F2共五个力的作用
答案 B
解析 F1是重力的一个分力，性质不能改变，所以A错误。物体对斜面的压力与F1方向相同，大小等于F1，且F1＝Gcosα，所以B正确。F2与物体受到的静摩擦力等大反向，故C错误。物体受重力、支持力、静摩擦力三个力的作用，故D错误。
考点细研 悟法培优
考点1 共点力的合成
1．共点力合成的常用方法
(1)作图法：从力的作用点O起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点O的对角线，量出对角线的长度，计算出合力F的大小，量出对角线与某一分力的夹角确定合力F的方向(如图所示)。
(2)计算法：若两个力F1、F2的夹角为θ，如图所示，合力的大小可由余弦定理得：
F＝，
tanα＝。
几种特殊情况的共点力的合成
2．合力大小的范围
(1)两个共点力的合成：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。
即两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两个力同向时，合力最大，为F1＋F2。
(2)三个共点力的合成
①三个力共线且同向时，其合力最大，为F＝F1＋F2＋F3。
②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力最小值为零；如果第三个力不在这个范围内，则合力最小值等于最大的力减去另外两个力。
例1 如图所示是剪式千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起。当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°，则下列判断正确的是( )
A．此时两臂受到的压力大小均为5.0×104 N
B．此时千斤顶对汽车的支持力为2.0×105 N
C．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将增大
D．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将减小
解题探究 (1)两个分力大小相等且夹角为120°时，合力与分力的大小关系如何？
提示：合力大小等于分力大小。
(2)当合力一定，夹角越小，则分力________。
提示：越小
尝试解答 选D。
千斤顶受到的压力大小等于两臂受到的压力的合力，由于夹角θ＝120°，所以两臂受到的压力大小均为1.0×105 N，A错误；由牛顿第三定律可知，千斤顶对汽车的支持力大小为1.0×105 N，B错误；若继续摇动把手，两臂间的夹角减小，而合力不变，故两分力减小，即两臂受到的压力减小，C错误，D正确。
总结升华
两种求解合力的方法的比较
(1)作图法求合力，需严格用同一标度作出力的图示，作出规范的平行四边形，才能较精确地求出合力的大小和方向。
(2)计算法求合力，只需作出力的示意图，对平行四边形的作图要求也不太严格，重点是利用数学方法求解，往往适用于两力的夹角是特殊角的情况。
[变式1－1] (多选)两个共点力F1、F2大小不同，它们的合力大小为F，则( )
A．F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍
B．F1、F2同时增加10 N，F也增加10 N
C．F1增加10 N，F2减少10 N，F一定不变
D．若F1、F2中的一个共点力增大，F不一定增大
答案 AD
解析 根据求合力的公式F＝(θ为F1、F2的夹角)，若F1、F2都变为原来的2倍，合力也一定变为原来的2倍，A正确；对于B、C两种情况，力的变化不是按比例增加或减少的，不能判断合力的变化情况，B、C错误；若F1与F2共线反向，F1>F2，则F＝F1－F2，F1增大时，F增大，F2增大且小于F1时，F减小，所以D正确。
[变式1－2] 如图所示，F1、F2为有一定夹角的两个力，L为过O点的一条直线，当L取什么方向时，F1、F2在L上的分力之和最大( )
A．F1、F2合力的方向 B．F1、F2中较大力的方向
C．F1、F2中较小力的方向 D．任意方向均可
答案 A
解析 F1和F2在L上的分力之和等效于F1和F2的合力在L上的分力，而要使F1和F2的合力在L上的分力最大，就应该取这个合力本身的方向，故A正确，B、C、D错误。
考点2 力的分解
1．力的分解的两种常用方法
(1)按力的作用效果分解
按作用效果分解力的一般思路
如图所示，物体的重力G按产生的效果分解为两个分力，F1使物体下滑，F2使物体压紧斜面。
(2)正交分解法
①定义：将已知力沿互相垂直的两个方向进行分解的方法。
②建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即使尽量多的力在坐标轴上)；在动力学中，一般以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。
③方法：物体受到多个力F1、F2、F3…作用，求合力F时，把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。
x轴上的合力：
Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力：
Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小：F＝
合力方向：与x轴夹角为θ，则tanθ＝。
2．力的分解的唯一性和多解性
(1)已知两个不平行分力的方向，可以唯一地作出力的平行四边形，对力进行分解，其解是唯一的。
(2)已知一个分力的大小和方向，力的分解也是唯一的。
(3)已知一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小，对力F进行分解，如图所示，有三种可能：(F1与F的夹角为θ)
①F2
③Fsinθ
事实上，以F为轴在空间将该平行四边形转动一周，每一个平面分力方向均有变化，都是一个解，因此，此情景应有无数组解。
例2 如图所示，楔形凹槽的截面是一个直角三角形ABC，∠CAB＝30°，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，在凹槽中放有一个光滑的金属球，当金属球静止时，其对凹槽AB边的压力为F1，对BC边的压力为F2，则的值为( )
A. B. C. D.
解题探究 (1)金属球的重力产生哪两个作用效果？
提示：压紧BC面和压紧AB面。
(2)金属球对凹槽AB边和BC边的压力F1和F2是金属球重力的分力吗？
提示：不是。
尝试解答 选C。
金属球受到的重力产生两个作用效果，压紧AB面和压紧BC面，如图所示，将金属球所受的重力分解为压紧AB面的力F1′和压紧BC面的力F2′，又由题意知，F1＝F1′，F2＝F2′，故＝tan30°＝，故C项正确。
总结升华
力的合成与分解方法的选择
力的效果分解法、正交分解法、合成法都是常见的解题方法。一般情况下，物体只受三个力的情形下，力的效果分解法、合成法解题较为简单，在三角形中找几何关系，利用几何关系或三角形相似求解；而物体受三个以上力的情况多用正交分解法，但也要视题目具体情况而定。
[变式2] 如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比为( )
A．cosθ＋μsinθ B．cosθ－μsinθ
C．1＋μtanθ D．1－μtanθ
答案 B
解析 对甲图中的物体进行受力分析，然后正交分解，列平衡方程：
F1＝mgsinθ＋Ff1①
Ff1＝μFN1②
FN1＝mgcosθ③
联立①②③式得F1＝mgsinθ＋μmgcosθ。
对乙图中的物体用同种方法进行分析有：
F2cosθ＝mgsinθ＋Ff2④
Ff2＝μFN2⑤
FN2＝F2sinθ＋mgcosθ⑥
联立④⑤⑥式得
F2＝。
所以＝cosθ－μsinθ，故B正确。
考点3 “死结”和“活结”模型
1．“死结”可理解为把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。
2．“活结”可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结点。“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线。
例3 如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°角，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：
(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力。
解题探究 (1)图中杆上的力一定沿杆吗？
提示：甲图杆上的力不沿杆，乙图杆上的力沿杆。
(2)两图中分别以谁为研究对象？
提示：C点、G点。
尝试解答 (1) (2)M1g，方向与水平方向成30°指向右上方 (3)M2g，方向水平向右
题图甲和乙中的两个物体都处于平衡状态，根据平衡条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图甲和乙所示，根据平衡条件可求解。
(1)图甲中细绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，细绳AC段的拉力
FTAC＝FTCD＝M1g
图乙中由FTEGsin30°＝M2g，得FTEG＝2M2g。
所以＝。
(2)图甲中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡条件有FNC＝FTAC＝M1g，方向与水平方向成30°指向右上方。
(3)图乙中，根据平衡方程有FTEGsin30°＝M2g，
FTEGcos30°＝FNG，
所以FNG＝M2gcot30°＝M2g，方向水平向右。
总结升华
绳上的“死结”与“活结”模型的答题技巧
(1)无论“死结”还是“活结”一般均以结点为研究对象进行受力分析。
(2)如果题目搭配杆出现，一般情况是“死结”搭配有转轴的杆即动杆，“活结”搭配无转轴的杆即定杆。
[变式3－1] 如图所示，在水平天花板的A点处固定一根轻杆a，杆与天花板保持垂直。杆的下端有一个轻滑轮O。另一根细线上端固定在该天花板的B点处，细线跨过滑轮O，下端系一个重为G的物体，BO段细线与天花板的夹角为θ＝30°。系统保持静止，不计一切摩擦。下列说法中正确的是( )
A．细线BO对天花板的拉力大小是
B．a杆对滑轮的作用力大小是
C．a杆和细线对滑轮的合力大小是G
D．a杆对滑轮的作用力大小是G
答案 D
解析 细线上的弹力处处相等，因此细线BO对天花板的拉力大小是G，A错误。两段细线上弹力均为G，构成菱形，合力为2Gsin30°＝G，大小等于a杆对滑轮的作用力，B错误，D正确。a杆和细线对滑轮的合力大小是0，C错误。
[变式3－2] (多选)如图所示，重物A被绕过小滑轮P的细线所悬挂，重物B放在粗糙的水平桌面上；小滑轮P被一根斜拉短线系于天花板上的O点；O′是三根线的结点，bO′水平拉着B物体，cO′沿竖直方向拉着弹簧；弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略，整个装置处于静止状态，g＝10 m/s2。若悬挂小滑轮的斜线OP的张力是20 N，则下列说法中正确的是( )
A．弹簧的弹力为10 N
B．重物A的质量为2 kg
C．桌面对B物体的摩擦力为10 N
D．OP与竖直方向的夹角为60°
答案 ABC
解析 O′点是三根线的结点，属于“死结”，而小滑轮重力不计且与细线间的摩擦力可忽略，故P处为“活结”。由mAg＝FO′a，FOP＝2FO′acos30°解得：FO′a＝20 N，mA＝2 kg，B正确；OP的方向沿绳子张角的角平分线方向，故OP与竖直方向间夹角为30°，D错误；对O′受力分析，由平衡条件得：F弹＝FO′asin30°，FO′b＝FO′a·cos30°，对物体B有：fB＝FO′b，联立解得：F弹＝10 N，fB＝10 N，A、C均正确。
高考模拟 随堂集训
1．(2018·天津高考)(多选)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可。一游僧见之曰：无烦也，我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则( )
A．若F一定，θ大时FN大 B．若F一定，θ小时FN大
C．若θ一定，F大时FN大 D．若θ一定，F小时FN大
答案 BC
解析 木楔受到水平向左的力F，在两侧产生的推力如图所示，由于木楔是等腰三角形，所以FN＝FN1＝FN2，F＝2FNcos(90°－)＝2FNsin，故解得FN＝，所以F一定时，θ越小，FN越大；θ一定时，F越大，FN越大，故A、D错误，B、C正确。
2．(2018·南京一模)减速带是交叉路口常见的一种交通设施，车辆驶过减速带时要减速，以保障行人的安全。当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F，下图中弹力F画法正确且分解合理的是( )
答案 B
解析 减速带对车轮的弹力方向垂直车轮和减速带的接触面，指向受力物体，故A、C错误；按照力的作用效果分解，将F可以分解为水平方向和竖直方向的力，水平方向的分力产生减慢汽车的速度的效果，竖直方向上分力产生向上运动的作用效果，故B正确，D错误。
3.(2018·石家庄模拟)如图所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片。若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L(弹性限度内)，则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为( )
A．kL B．2kL
C.kL D.kL
答案 D
解析 设发射弹丸瞬间两橡皮条间的夹角为2θ，则sinθ＝＝，cosθ＝＝。发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为F合＝2Fcosθ，F＝kx＝kL，故F合＝2kL·＝kL，D正确。
4.(2018·上海模拟)如图所示，作用于坐标原点O的三个力平衡，已知三个力均位于xOy平面内，其中力F1的大小不变，方向沿y轴负方向；力F2的大小未知，方向与x轴正方向的夹角为θ，则下列关于力F3的判断正确的是( )
A．力F3只能在第二象限
B．力F3与F2的夹角越小，则F2与F3的合力越小
C．力F3的最小值为F1cosθ
D．力F3可能在第三象限的任意区域
答案 C
解析 因三力平衡，所以三个力中任意两个力的合力与第三个力等大、反向、共线，力F3只能在F1与F2之间的某个方向的反向延长线上，可能在第二象限，也可能
在第三象限内，A、D错误；由于三力平衡，F2与F3的合力大小始终等于F1的大小，B错误；利用力的合成可知，当F1、F2的合力F与F2垂直时合力F最小，等于F1cosθ，由F3＝－F可知，C正确。
5.(2016·全国卷Ⅲ)如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球。在a和b之间的细线上悬挂一小物块。平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦。小物块的质量为( )
A. B.m C．m D．2m
答案 C
解析 由于物块通过挂钩悬挂在线上，细线穿过圆环且所有摩擦都不计，可知线上各处张力都等于小球重力mg。如图所示，由对称性可知a、b位于同一水平线上，物块处于圆心O点正上方，则∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＝∠5。因圆弧对轻环的弹力沿圆弧半径方向，且轻环重力不计，由平衡条件知环两侧细线关于圆弧半径对称，即∠5＝∠6，由几何关系得∠1＝∠2＝∠5＝∠6＝30°，∠3＝∠4＝60°。再由物块与挂钩的受力平衡有mgcos60°＋mgcos60°＝Mg，故有M＝m，C正确。
配套课时作业
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～7为单选，8～10为多选)
1．某物体同时受到同一平面内的三个共点力作用，在如图所示的四种情况中(坐标纸中每格的边长表示1 N大小的力)，该物体所受的合外力大小正确的是( )
A．图甲中物体所受的合外力大小等于4 N
B．图乙中物体所受的合外力大小等于2 N
C．图丙中物体所受的合外力等于0
D．图丁中物体所受的合外力等于0
答案 D
解析 图甲中，先将F1与F3合成，然后再由勾股定理求得合力大小等于5 N，A错误；图乙中，先将F1与F3正交分解，再合成，求得合力大小等于5 N，B错误；图丙中，可将F3正交分解，求得合力大小等于6 N，C错误；根据三角形定则知，图丁中合力等于0，D正确。
2.如图所示是两个共点力的合力F跟它的两个分力之间的夹角θ的关系图象，则这两个分力的大小分别是( )
A．1 N和4 N
B．2 N和3 N
C．1 N和5 N
D．2 N和4 N
答案 B
解析 设两个分力分别为F1、F2，F1>F2，当两个分力的夹角为180°时，合力为1 N，则F1－F2＝1 N ①，当两个分力的夹角为0°时，合力为5 N，则F1＋F2＝5 N ②。联立①②解得F1＝3 N，F2＝2 N，故A、C、D错误，B正确。
3.(2018·河南新乡质检)如图所示，一根不可伸长的轻绳穿过轻滑轮，两端系在高度相等的A、B两点，滑轮下挂一物体，不计绳和滑轮之间的摩擦。现让B缓慢向右移动，则下列说法正确的是( )
A．随着B向右缓慢移动，绳子的张力减小
B．随着B向右缓慢移动，绳子的张力不变
C．随着B向右缓慢移动，滑轮受绳AB的合力变小
D．随着B向右缓慢移动，滑轮受绳AB的合力不变
答案 D
解析 绳AB在滑轮处的结点为活结，因此，整段绳AB上的拉力都相等，将B缓慢右移，绳子之间夹角变大，滑轮受绳AB的合力大小不变，等于物体的重力大小，故D正确，C错误；合力一定，夹角越大，分力越大，故绳子的张力变大，A、B错误。
4．(2018·广州综合测试)如图是悬绳对称且长度可调的自制降落伞。用该伞挂上重为G的物体进行两次落体实验，悬绳的长度l1
A．F1F2
C．F1＝F2G
答案 B
解析 设悬绳与竖直方向的夹角为α，每根悬绳的拉力大小为F，则有G＝nFcosα，得F＝，可得当α越小时，cosα越大，F越小。由于l1α2，F1>F2，故B正确，A、C、D错误。
5．(2018·嘉兴模拟)科技的发展正在不断地改变着我们的生活，如图甲是一款手机支架，其表面采用了纳米微吸材料，用手触碰无粘感，接触到平整光滑的硬性物体时，会牢牢吸附在物体上，如图乙是手机静止吸附在支架上的侧视图，若手机的重力为G，则下列说法正确的是( )
A．手机受到的支持力大小为Gcosθ
B．手机受到的支持力不可能大于G
C．纳米材料对手机的作用力大小为Gsinθ
D．纳米材料对手机的作用力竖直向上
答案 D
解析 对手机进行受力分析如图，将重力正交分解，则手机受到的支持力大小为FN＝Gcosθ＋F吸，可能大于G，故A、B错误；除重力G以外，其余三个力均为纳米材料对手机的作用力，因手机静止，故三个力合力方向竖直向上，与重力等大，故C错误，D正确。
6.(2018·铜仁模拟)如图所示，两根相距为L的竖直固定杆上各套有质量为m的小球，小球可以在杆上无摩擦地自由滑动，两球用长为2L的轻绳相连，今在轻绳中点施加一个竖直向上的拉力F，恰能使两球沿竖直杆向上匀速运动。则每个小球所受的拉力大小为(重力加速度为g)( )
A.mg B．mg C.F D．F
答案 C
解析 两根轻绳与竖直杆间距正好组成等边三角形，对结点进行受力分析，由平衡条件得F＝2F′cos30°，绳的拉力F′＝F，故C正确，D错误；以小球为研究对象，有F′cos30°＝mg，得F′＝mg，故A、B错误。
7.某压榨机的结构示意图如图所示，其中B为固定铰链，若在A铰链处作用一垂直于墙壁的力F，则由于力F的作用，使滑块C压紧物体D，设C与D光滑接触，杆的重力及滑块C的重力不计，图中a＝0.5 m，b＝0.05 m，则物体D所受压力的大小与力F的比值为( )
A．4 B．5 C．10 D．1
答案 B
解析 如图甲所示，力F可分解为沿AC、AB杆方向的F1、F2，则F1＝F2＝，由几何知识得tanθ＝＝10。如图乙所示，再按力的作用效果将F1沿水平向左和竖直向下分解为F3、F4，则F4＝F1sinθ，联立得F4＝5F，即物体D所受压力的大小与力F的比值为5，B正确。
8.一件行李重为G，被绳OA和OB吊在空中，OA绳和OB绳的拉力分别为F1、F2，如图所示，则( )
A．F1、F2的合力是G
B．F1、F2的合力是F
C．行李对绳OA的拉力方向与F1方向相反、大小相等
D．行李受到重力G、OA绳的拉力F1、OB绳的拉力F2，还有F共四个力作用
答案 BC
解析 图中F1、F2的合力为F，合力与分力是等效替代的关系，所以两个绳子的拉力的合力不是重力，故A错误，B正确；行李对绳OA的拉力与绳OA对行李的拉力F1是作用力与反作用力，大小相等，方向相反，故C正确；F不是物体实际受到的力，行李受重力和两绳的拉力，共受3个力作用，故D错误。
9．一物体静止于水平桌面上，与桌面间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N。下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是( )
A．物体所受静摩擦力可能为2 N
B．物体所受静摩擦力可能为4 N
C．物体可能仍保持静止
D．物体一定被拉动
答案 ABC
解析 两个2 N的力的合力范围为0～4 N，然后与3 N的力合成，则三力的合力范围为0～7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判定A、B、C正确，D错误。
10．已知力F，且它的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是( )
A.F B.F C.F D.F
答案 AC
解析 根据题意作出矢量三角形如图，因为F>，从图上可以看出，F1有两个解，由直角三角形OAD可知FOA＝＝F。由直角三角形ABD得FBA＝＝F。由图的对称性可知FAC＝FBA＝F，则分力F1＝F－F＝F，F1′＝F＋F＝F，故选A、C。
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11．(14分)有些人，比如电梯修理员、牵引专家和赛艇运动员，常需要知道绳或金属线中的张力，可又不可能到那些绳、线的自由端去测量。一个英国公司制造出一种夹在绳子上的仪表，用一个杠杆使绳子的某点有一个微小偏移量，如图所示。仪表很容易测出垂直于绳的恢复力。如果偏移量为12 mm，恢复力为300 N，计算绳中张力。
答案 1562.5 N
解析 如图所示，将力F沿着拉伸的方向分解成FT1和FT2，显然FT1＝FT2＝FT，sinθ＝；
而由于θ角很小，所以sinθ约等于tanθ，而tanθ＝，因此FT＝＝1562.5 N。
12．(16分)拱券结构是古代人们解决建筑跨度问题的有效方法，比如罗马的万神庙，我国的赵州桥都是拱券结构的典型代表。拱券结构的特点是利用石块的楔形结构，将重力和压力沿拱向两边分解，最后由拱券两端的基石来承受。现有六块大小、形状相同，质量相等的楔块组成一个半圆形实验拱券，如图乙所示。如果每块楔块的质量m＝3 kg，则：
(1)六块楔块组成的拱券对其一边的支撑物的压力是多大？
(2)如果在中间两块楔块3、4上加一个方向向下且大小为50 N的压力F，如图乙所示，那么楔块2对楔块3和楔块5对楔块4的弹力F1、F2分别是多大？(g取9.8 m/s2)
答案 (1)88.2 N (2)均为108.8 N
解析 (1)六块楔块受到的总重力为
G＝6mg＝176.4 N
拱券对其一边支撑物的压力为，即88.2 N。
(2)以楔块3、4组成的整体为研究对象，其受力如图所示。
由几何知识可知F1和F2间的夹角为120°，由对称性可知F1＝F2，由互成120°角的二力合成的特点知F1＝F2＝2mg＋F＝108.8 N。
主干梳理 对点激活
知识点 力的合成 Ⅱ
1．合力与分力
(1)定义：如果几个力共同作用产生的效果与一个力的作用效果相同，这一个力就叫做那几个力的合力，那几个力叫做这一个力的分力。
(2)关系：合力与分力是等效替代关系。
2．共点力
作用在物体的同一点，或作用线的延长线交于一点的几个力。如图1所示均为共点力。
3．力的合成
(1)定义：求几个力的合力的过程。
(2)运算法则
①平行四边形定则：求两个互成角度的共点力的合力，可以用表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就表示合力的大小和方向，如图2甲所示。
②三角形定则：把两个矢量的首尾顺次连接起来，第一个矢量的首到第二个矢量的尾的有向线段为合矢量。
如图2乙所示。
知识点 力的分解 Ⅱ
1．定义
求一个力的分力的过程。
2．性质
力的分解是力的合成的逆运算。
3．遵循的原则
(1)平行四边形定则。
(2)三角形定则。
4．分解方法
(1)按力的作用效果分解。
(2)正交分解法。
如图3将O点受力进行分解。
知识点 矢量和标量 Ⅰ
1．矢量
既有大小又有方向的物理量，合成时遵循平行四边形定则。如速度、力等。
2．标量
只有大小没有方向的物理量，求和时按算术法则相加。如路程、质量等。
一 思维辨析
1．两个力的合力一定大于这两个力中的任一个。( )
2．力的分解必须按作用效果分解。( )
3．两个分力大小一定，夹角越大，合力越大。( )
4．两个力的合力一定，夹角越大，分力越大。( )
5．既有大小又有方向的量一定是矢量。( )
6．合力及其分力均为作用于同一物体上的力。( )
答案 1.× 2.× 3.× 4.√ 5.× 6.×
二 对点激活
1．(人教版必修1·P64·T4改编)(多选)两个力F1和F2间的夹角为θ，两力的合力为F，以下说法正确的是( )
A．若F1、F2的大小和方向一定，则F的大小和方向一定
B．若F1与F2大小不变，θ角越小，合力F就越大
C．如果夹角θ不变，F1大小不变，只要增大F2，合力F就必然增大
D．合力F的作用效果与两个分力F1和F2共同产生的作用效果是相同的
答案 ABD
解析 根据平行四边形定则，若F1、F2的大小和方向一定，则F的大小和方向一定，A正确；若F1与F2大小不变，θ角越小，合力F就越大，故B正确；当θ角为钝角时，F1大小不变，增大F2时，合力F可能先变小后增大，如图所示，故C错误；合力与分力的作用效果是相同的，故D正确。
2．(人教版必修1·P64·T2改编)有两个力，它们的合力为0。现在把其中一个向东6 N的力改为向南(大小不变)，它们的合力大小为( )
A．6 N B．6 N C．12 N D．0
答案 B
解析 两个力合力为0，其中一个向东的力为6 N，则另一个向西的力也为6 N，将向东的6 N的力改为向南，则变为向西的6 N的力与向南的6 N的力的合力，合力大小为6 N，故B正确。
3．(人教版必修1·P66·T2改编)一个竖直向下的180 N的力分解为两个分力，一个分力在水平方向上并等于240 N，则另一个分力的大小为( )
A．60 N B．240 N C．300 N D．420 N
答案 C
解析 将竖直向下的180 N的力分解，其中一个方向水平，大小为240 N，由力的三角形定则作图如图所示，其中F＝180 N，F1＝240 N，则另一个分力F2＝ N＝300 N，故C正确。
4.(人教版必修1·P65·例题改编)如图所示，重力为G的物体静止在倾角为α的斜面上，将重力G分解为垂直斜面向下的力F1和平行斜面向下的力F2，那么( )
A．F1就是物体对斜面的压力
B．物体对斜面的压力方向与F1方向相同，大小为Gcosα
C．F2就是物体受到的静摩擦力
D．物体受到重力、斜面对物体的支持力、静摩擦力、F1和F2共五个力的作用
答案 B
解析 F1是重力的一个分力，性质不能改变，所以A错误。物体对斜面的压力与F1方向相同，大小等于F1，且F1＝Gcosα，所以B正确。F2与物体受到的静摩擦力等大反向，故C错误。物体受重力、支持力、静摩擦力三个力的作用，故D错误。
考点细研 悟法培优
考点1 共点力的合成
1．共点力合成的常用方法
(1)作图法：从力的作用点O起，按同一标度作出两个分力F1和F2的图示，再以F1和F2的图示为邻边作平行四边形，画出过作用点O的对角线，量出对角线的长度，计算出合力F的大小，量出对角线与某一分力的夹角确定合力F的方向(如图所示)。
(2)计算法：若两个力F1、F2的夹角为θ，如图所示，合力的大小可由余弦定理得：
F＝，
tanα＝。
几种特殊情况的共点力的合成
2．合力大小的范围
(1)两个共点力的合成：|F1－F2|≤F≤F1＋F2。
即两个力的大小不变时，其合力随夹角的增大而减小，当两个力反向时，合力最小，为|F1－F2|；当两个力同向时，合力最大，为F1＋F2。
(2)三个共点力的合成
①三个力共线且同向时，其合力最大，为F＝F1＋F2＋F3。
②任取两个力，求出其合力的范围，如果第三个力在这个范围之内，则三个力的合力最小值为零；如果第三个力不在这个范围内，则合力最小值等于最大的力减去另外两个力。
例1 如图所示是剪式千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起。当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°，则下列判断正确的是( )
A．此时两臂受到的压力大小均为5.0×104 N
B．此时千斤顶对汽车的支持力为2.0×105 N
C．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将增大
D．若继续摇动把手，将汽车顶起，两臂受到的压力将减小
解题探究 (1)两个分力大小相等且夹角为120°时，合力与分力的大小关系如何？
提示：合力大小等于分力大小。
(2)当合力一定，夹角越小，则分力________。
提示：越小
尝试解答 选D。
千斤顶受到的压力大小等于两臂受到的压力的合力，由于夹角θ＝120°，所以两臂受到的压力大小均为1.0×105 N，A错误；由牛顿第三定律可知，千斤顶对汽车的支持力大小为1.0×105 N，B错误；若继续摇动把手，两臂间的夹角减小，而合力不变，故两分力减小，即两臂受到的压力减小，C错误，D正确。
总结升华
两种求解合力的方法的比较
(1)作图法求合力，需严格用同一标度作出力的图示，作出规范的平行四边形，才能较精确地求出合力的大小和方向。
(2)计算法求合力，只需作出力的示意图，对平行四边形的作图要求也不太严格，重点是利用数学方法求解，往往适用于两力的夹角是特殊角的情况。
[变式1－1] (多选)两个共点力F1、F2大小不同，它们的合力大小为F，则( )
A．F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍
B．F1、F2同时增加10 N，F也增加10 N
C．F1增加10 N，F2减少10 N，F一定不变
D．若F1、F2中的一个共点力增大，F不一定增大
答案 AD
解析 根据求合力的公式F＝(θ为F1、F2的夹角)，若F1、F2都变为原来的2倍，合力也一定变为原来的2倍，A正确；对于B、C两种情况，力的变化不是按比例增加或减少的，不能判断合力的变化情况，B、C错误；若F1与F2共线反向，F1>F2，则F＝F1－F2，F1增大时，F增大，F2增大且小于F1时，F减小，所以D正确。
[变式1－2] 如图所示，F1、F2为有一定夹角的两个力，L为过O点的一条直线，当L取什么方向时，F1、F2在L上的分力之和最大( )
A．F1、F2合力的方向 B．F1、F2中较大力的方向
C．F1、F2中较小力的方向 D．任意方向均可
答案 A
解析 F1和F2在L上的分力之和等效于F1和F2的合力在L上的分力，而要使F1和F2的合力在L上的分力最大，就应该取这个合力本身的方向，故A正确，B、C、D错误。
考点2 力的分解
1．力的分解的两种常用方法
(1)按力的作用效果分解
按作用效果分解力的一般思路
如图所示，物体的重力G按产生的效果分解为两个分力，F1使物体下滑，F2使物体压紧斜面。
(2)正交分解法
①定义：将已知力沿互相垂直的两个方向进行分解的方法。
②建立坐标轴的原则：一般选共点力的作用点为原点，在静力学中，以少分解力和容易分解力为原则(即使尽量多的力在坐标轴上)；在动力学中，一般以加速度方向和垂直加速度方向为坐标轴建立坐标系。
③方法：物体受到多个力F1、F2、F3…作用，求合力F时，把各力沿相互垂直的x轴、y轴分解。
x轴上的合力：
Fx＝Fx1＋Fx2＋Fx3＋…
y轴上的合力：
Fy＝Fy1＋Fy2＋Fy3＋…
合力大小：F＝
合力方向：与x轴夹角为θ，则tanθ＝。
2．力的分解的唯一性和多解性
(1)已知两个不平行分力的方向，可以唯一地作出力的平行四边形，对力进行分解，其解是唯一的。
(2)已知一个分力的大小和方向，力的分解也是唯一的。
(3)已知一个分力F1的方向和另一个分力F2的大小，对力F进行分解，如图所示，有三种可能：(F1与F的夹角为θ)
①F2
③Fsinθ
事实上，以F为轴在空间将该平行四边形转动一周，每一个平面分力方向均有变化，都是一个解，因此，此情景应有无数组解。
例2 如图所示，楔形凹槽的截面是一个直角三角形ABC，∠CAB＝30°，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，在凹槽中放有一个光滑的金属球，当金属球静止时，其对凹槽AB边的压力为F1，对BC边的压力为F2，则的值为( )
A. B. C. D.
解题探究 (1)金属球的重力产生哪两个作用效果？
提示：压紧BC面和压紧AB面。
(2)金属球对凹槽AB边和BC边的压力F1和F2是金属球重力的分力吗？
提示：不是。
尝试解答 选C。
金属球受到的重力产生两个作用效果，压紧AB面和压紧BC面，如图所示，将金属球所受的重力分解为压紧AB面的力F1′和压紧BC面的力F2′，又由题意知，F1＝F1′，F2＝F2′，故＝tan30°＝，故C项正确。
总结升华
力的合成与分解方法的选择
力的效果分解法、正交分解法、合成法都是常见的解题方法。一般情况下，物体只受三个力的情形下，力的效果分解法、合成法解题较为简单，在三角形中找几何关系，利用几何关系或三角形相似求解；而物体受三个以上力的情况多用正交分解法，但也要视题目具体情况而定。
[变式2] 如图所示，质量为m的物体置于倾角为θ的固定斜面上，物体与斜面之间的动摩擦因数为μ，先用平行于斜面的推力F1作用于物体上使其能沿斜面匀速上滑，若改用水平推力F2作用于物体上，也能使物体沿斜面匀速上滑，则两次的推力之比为( )
A．cosθ＋μsinθ B．cosθ－μsinθ
C．1＋μtanθ D．1－μtanθ
答案 B
解析 对甲图中的物体进行受力分析，然后正交分解，列平衡方程：
F1＝mgsinθ＋Ff1①
Ff1＝μFN1②
FN1＝mgcosθ③
联立①②③式得F1＝mgsinθ＋μmgcosθ。
对乙图中的物体用同种方法进行分析有：
F2cosθ＝mgsinθ＋Ff2④
Ff2＝μFN2⑤
FN2＝F2sinθ＋mgcosθ⑥
联立④⑤⑥式得
F2＝。
所以＝cosθ－μsinθ，故B正确。
考点3 “死结”和“活结”模型
1．“死结”可理解为把绳子分成两段，且不可以沿绳子移动的结点。“死结”两侧的绳因结而变成了两根独立的绳，因此由“死结”分开的两段绳子上的弹力不一定相等。
2．“活结”可理解为把绳子分成两段，且可以沿绳子移动的结点。“活结”一般是由绳跨过滑轮或者绳上挂一光滑挂钩而形成的。绳子虽然因“活结”而弯曲，但实际上是同一根绳，所以由“活结”分开的两段绳子上弹力的大小一定相等，两段绳子合力的方向一定沿这两段绳子夹角的平分线。
例3 如图甲所示，细绳AD跨过固定的水平轻杆BC右端的定滑轮挂住一个质量为M1的物体，∠ACB＝30°；图乙中轻杆HG一端用铰链固定在竖直墙上，另一端G通过细绳EG拉住，EG与水平方向也成30°角，轻杆的G点用细绳GF拉住一个质量为M2的物体，求：
(1)细绳AC段的张力FTAC与细绳EG的张力FTEG之比；
(2)轻杆BC对C端的支持力；
(3)轻杆HG对G端的支持力。
解题探究 (1)图中杆上的力一定沿杆吗？
提示：甲图杆上的力不沿杆，乙图杆上的力沿杆。
(2)两图中分别以谁为研究对象？
提示：C点、G点。
尝试解答 (1) (2)M1g，方向与水平方向成30°指向右上方 (3)M2g，方向水平向右
题图甲和乙中的两个物体都处于平衡状态，根据平衡条件，首先判断与物体相连的细绳，其拉力大小等于物体的重力；分别取C点和G点为研究对象，进行受力分析如图甲和乙所示，根据平衡条件可求解。
(1)图甲中细绳AD跨过定滑轮拉住质量为M1的物体，物体处于平衡状态，细绳AC段的拉力
FTAC＝FTCD＝M1g
图乙中由FTEGsin30°＝M2g，得FTEG＝2M2g。
所以＝。
(2)图甲中，三个力之间的夹角都为120°，根据平衡条件有FNC＝FTAC＝M1g，方向与水平方向成30°指向右上方。
(3)图乙中，根据平衡方程有FTEGsin30°＝M2g，
FTEGcos30°＝FNG，
所以FNG＝M2gcot30°＝M2g，方向水平向右。
总结升华
绳上的“死结”与“活结”模型的答题技巧
(1)无论“死结”还是“活结”一般均以结点为研究对象进行受力分析。
(2)如果题目搭配杆出现，一般情况是“死结”搭配有转轴的杆即动杆，“活结”搭配无转轴的杆即定杆。
[变式3－1] 如图所示，在水平天花板的A点处固定一根轻杆a，杆与天花板保持垂直。杆的下端有一个轻滑轮O。另一根细线上端固定在该天花板的B点处，细线跨过滑轮O，下端系一个重为G的物体，BO段细线与天花板的夹角为θ＝30°。系统保持静止，不计一切摩擦。下列说法中正确的是( )
A．细线BO对天花板的拉力大小是
B．a杆对滑轮的作用力大小是
C．a杆和细线对滑轮的合力大小是G
D．a杆对滑轮的作用力大小是G
答案 D
解析 细线上的弹力处处相等，因此细线BO对天花板的拉力大小是G，A错误。两段细线上弹力均为G，构成菱形，合力为2Gsin30°＝G，大小等于a杆对滑轮的作用力，B错误，D正确。a杆和细线对滑轮的合力大小是0，C错误。
[变式3－2] (多选)如图所示，重物A被绕过小滑轮P的细线所悬挂，重物B放在粗糙的水平桌面上；小滑轮P被一根斜拉短线系于天花板上的O点；O′是三根线的结点，bO′水平拉着B物体，cO′沿竖直方向拉着弹簧；弹簧、细线、小滑轮的重力和细线与滑轮间的摩擦力均可忽略，整个装置处于静止状态，g＝10 m/s2。若悬挂小滑轮的斜线OP的张力是20 N，则下列说法中正确的是( )
A．弹簧的弹力为10 N
B．重物A的质量为2 kg
C．桌面对B物体的摩擦力为10 N
D．OP与竖直方向的夹角为60°
答案 ABC
解析 O′点是三根线的结点，属于“死结”，而小滑轮重力不计且与细线间的摩擦力可忽略，故P处为“活结”。由mAg＝FO′a，FOP＝2FO′acos30°解得：FO′a＝20 N，mA＝2 kg，B正确；OP的方向沿绳子张角的角平分线方向，故OP与竖直方向间夹角为30°，D错误；对O′受力分析，由平衡条件得：F弹＝FO′asin30°，FO′b＝FO′a·cos30°，对物体B有：fB＝FO′b，联立解得：F弹＝10 N，fB＝10 N，A、C均正确。
高考模拟 随堂集训
1．(2018·天津高考)(多选)明朝谢肇淛的《五杂组》中记载：“明姑苏虎丘寺塔倾侧，议欲正之，非万缗不可。一游僧见之曰：无烦也，我能正之。”游僧每天将木楔从塔身倾斜一侧的砖缝间敲进去，经月余扶正了塔身。假设所用的木楔为等腰三角形，木楔的顶角为θ，现在木楔背上加一力F，方向如图所示，木楔两侧产生推力FN，则( )
A．若F一定，θ大时FN大 B．若F一定，θ小时FN大
C．若θ一定，F大时FN大 D．若θ一定，F小时FN大
答案 BC
解析 木楔受到水平向左的力F，在两侧产生的推力如图所示，由于木楔是等腰三角形，所以FN＝FN1＝FN2，F＝2FNcos(90°－)＝2FNsin，故解得FN＝，所以F一定时，θ越小，FN越大；θ一定时，F越大，FN越大，故A、D错误，B、C正确。
2．(2018·南京一模)减速带是交叉路口常见的一种交通设施，车辆驶过减速带时要减速，以保障行人的安全。当汽车前轮刚爬上减速带时，减速带对车轮的弹力为F，下图中弹力F画法正确且分解合理的是( )
答案 B
解析 减速带对车轮的弹力方向垂直车轮和减速带的接触面，指向受力物体，故A、C错误；按照力的作用效果分解，将F可以分解为水平方向和竖直方向的力，水平方向的分力产生减慢汽车的速度的效果，竖直方向上分力产生向上运动的作用效果，故B正确，D错误。
3.(2018·石家庄模拟)如图所示，一个“Y”形弹弓顶部跨度为L，两根相同的橡皮条自由长度均为L，在两橡皮条的末端用一块软羊皮(长度不计)做成裹片。若橡皮条的弹力与形变量的关系满足胡克定律，且劲度系数为k，发射弹丸时每根橡皮条的最大长度为2L(弹性限度内)，则发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为( )
A．kL B．2kL
C.kL D.kL
答案 D
解析 设发射弹丸瞬间两橡皮条间的夹角为2θ，则sinθ＝＝，cosθ＝＝。发射过程中裹片对弹丸的最大作用力为F合＝2Fcosθ，F＝kx＝kL，故F合＝2kL·＝kL，D正确。
4.(2018·上海模拟)如图所示，作用于坐标原点O的三个力平衡，已知三个力均位于xOy平面内，其中力F1的大小不变，方向沿y轴负方向；力F2的大小未知，方向与x轴正方向的夹角为θ，则下列关于力F3的判断正确的是( )
A．力F3只能在第二象限
B．力F3与F2的夹角越小，则F2与F3的合力越小
C．力F3的最小值为F1cosθ
D．力F3可能在第三象限的任意区域
答案 C
解析 因三力平衡，所以三个力中任意两个力的合力与第三个力等大、反向、共线，力F3只能在F1与F2之间的某个方向的反向延长线上，可能在第二象限，也可能
在第三象限内，A、D错误；由于三力平衡，F2与F3的合力大小始终等于F1的大小，B错误；利用力的合成可知，当F1、F2的合力F与F2垂直时合力F最小，等于F1cosθ，由F3＝－F可知，C正确。
5.(2016·全国卷Ⅲ)如图，两个轻环a和b套在位于竖直面内的一段固定圆弧上；一细线穿过两轻环，其两端各系一质量为m的小球。在a和b之间的细线上悬挂一小物块。平衡时，a、b间的距离恰好等于圆弧的半径。不计所有摩擦。小物块的质量为( )
A. B.m C．m D．2m
答案 C
解析 由于物块通过挂钩悬挂在线上，细线穿过圆环且所有摩擦都不计，可知线上各处张力都等于小球重力mg。如图所示，由对称性可知a、b位于同一水平线上，物块处于圆心O点正上方，则∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠1＝∠5。因圆弧对轻环的弹力沿圆弧半径方向，且轻环重力不计，由平衡条件知环两侧细线关于圆弧半径对称，即∠5＝∠6，由几何关系得∠1＝∠2＝∠5＝∠6＝30°，∠3＝∠4＝60°。再由物块与挂钩的受力平衡有mgcos60°＋mgcos60°＝Mg，故有M＝m，C正确。
配套课时作业
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～7为单选，8～10为多选)
1．某物体同时受到同一平面内的三个共点力作用，在如图所示的四种情况中(坐标纸中每格的边长表示1 N大小的力)，该物体所受的合外力大小正确的是( )
A．图甲中物体所受的合外力大小等于4 N
B．图乙中物体所受的合外力大小等于2 N
C．图丙中物体所受的合外力等于0
D．图丁中物体所受的合外力等于0
答案 D
解析 图甲中，先将F1与F3合成，然后再由勾股定理求得合力大小等于5 N，A错误；图乙中，先将F1与F3正交分解，再合成，求得合力大小等于5 N，B错误；图丙中，可将F3正交分解，求得合力大小等于6 N，C错误；根据三角形定则知，图丁中合力等于0，D正确。
2.如图所示是两个共点力的合力F跟它的两个分力之间的夹角θ的关系图象，则这两个分力的大小分别是( )
A．1 N和4 N
B．2 N和3 N
C．1 N和5 N
D．2 N和4 N
答案 B
解析 设两个分力分别为F1、F2，F1>F2，当两个分力的夹角为180°时，合力为1 N，则F1－F2＝1 N ①，当两个分力的夹角为0°时，合力为5 N，则F1＋F2＝5 N ②。联立①②解得F1＝3 N，F2＝2 N，故A、C、D错误，B正确。
3.(2018·河南新乡质检)如图所示，一根不可伸长的轻绳穿过轻滑轮，两端系在高度相等的A、B两点，滑轮下挂一物体，不计绳和滑轮之间的摩擦。现让B缓慢向右移动，则下列说法正确的是( )
A．随着B向右缓慢移动，绳子的张力减小
B．随着B向右缓慢移动，绳子的张力不变
C．随着B向右缓慢移动，滑轮受绳AB的合力变小
D．随着B向右缓慢移动，滑轮受绳AB的合力不变
答案 D
解析 绳AB在滑轮处的结点为活结，因此，整段绳AB上的拉力都相等，将B缓慢右移，绳子之间夹角变大，滑轮受绳AB的合力大小不变，等于物体的重力大小，故D正确，C错误；合力一定，夹角越大，分力越大，故绳子的张力变大，A、B错误。
4．(2018·广州综合测试)如图是悬绳对称且长度可调的自制降落伞。用该伞挂上重为G的物体进行两次落体实验，悬绳的长度l1
A．F1
C．F1＝F2
答案 B
解析 设悬绳与竖直方向的夹角为α，每根悬绳的拉力大小为F，则有G＝nFcosα，得F＝，可得当α越小时，cosα越大，F越小。由于l1
5．(2018·嘉兴模拟)科技的发展正在不断地改变着我们的生活，如图甲是一款手机支架，其表面采用了纳米微吸材料，用手触碰无粘感，接触到平整光滑的硬性物体时，会牢牢吸附在物体上，如图乙是手机静止吸附在支架上的侧视图，若手机的重力为G，则下列说法正确的是( )
A．手机受到的支持力大小为Gcosθ
B．手机受到的支持力不可能大于G
C．纳米材料对手机的作用力大小为Gsinθ
D．纳米材料对手机的作用力竖直向上
答案 D
解析 对手机进行受力分析如图，将重力正交分解，则手机受到的支持力大小为FN＝Gcosθ＋F吸，可能大于G，故A、B错误；除重力G以外，其余三个力均为纳米材料对手机的作用力，因手机静止，故三个力合力方向竖直向上，与重力等大，故C错误，D正确。
6.(2018·铜仁模拟)如图所示，两根相距为L的竖直固定杆上各套有质量为m的小球，小球可以在杆上无摩擦地自由滑动，两球用长为2L的轻绳相连，今在轻绳中点施加一个竖直向上的拉力F，恰能使两球沿竖直杆向上匀速运动。则每个小球所受的拉力大小为(重力加速度为g)( )
A.mg B．mg C.F D．F
答案 C
解析 两根轻绳与竖直杆间距正好组成等边三角形，对结点进行受力分析，由平衡条件得F＝2F′cos30°，绳的拉力F′＝F，故C正确，D错误；以小球为研究对象，有F′cos30°＝mg，得F′＝mg，故A、B错误。
7.某压榨机的结构示意图如图所示，其中B为固定铰链，若在A铰链处作用一垂直于墙壁的力F，则由于力F的作用，使滑块C压紧物体D，设C与D光滑接触，杆的重力及滑块C的重力不计，图中a＝0.5 m，b＝0.05 m，则物体D所受压力的大小与力F的比值为( )
A．4 B．5 C．10 D．1
答案 B
解析 如图甲所示，力F可分解为沿AC、AB杆方向的F1、F2，则F1＝F2＝，由几何知识得tanθ＝＝10。如图乙所示，再按力的作用效果将F1沿水平向左和竖直向下分解为F3、F4，则F4＝F1sinθ，联立得F4＝5F，即物体D所受压力的大小与力F的比值为5，B正确。
8.一件行李重为G，被绳OA和OB吊在空中，OA绳和OB绳的拉力分别为F1、F2，如图所示，则( )
A．F1、F2的合力是G
B．F1、F2的合力是F
C．行李对绳OA的拉力方向与F1方向相反、大小相等
D．行李受到重力G、OA绳的拉力F1、OB绳的拉力F2，还有F共四个力作用
答案 BC
解析 图中F1、F2的合力为F，合力与分力是等效替代的关系，所以两个绳子的拉力的合力不是重力，故A错误，B正确；行李对绳OA的拉力与绳OA对行李的拉力F1是作用力与反作用力，大小相等，方向相反，故C正确；F不是物体实际受到的力，行李受重力和两绳的拉力，共受3个力作用，故D错误。
9．一物体静止于水平桌面上，与桌面间的最大静摩擦力为5 N，现将水平面内三个力同时作用于物体的同一点，三个力的大小分别为2 N、2 N、3 N。下列关于物体的受力情况和运动情况判断正确的是( )
A．物体所受静摩擦力可能为2 N
B．物体所受静摩擦力可能为4 N
C．物体可能仍保持静止
D．物体一定被拉动
答案 ABC
解析 两个2 N的力的合力范围为0～4 N，然后与3 N的力合成，则三力的合力范围为0～7 N，由于最大静摩擦力为5 N，因此可判定A、B、C正确，D错误。
10．已知力F，且它的一个分力F1跟F成30°角，大小未知，另一个分力F2的大小为F，方向未知，则F1的大小可能是( )
A.F B.F C.F D.F
答案 AC
解析 根据题意作出矢量三角形如图，因为F>，从图上可以看出，F1有两个解，由直角三角形OAD可知FOA＝＝F。由直角三角形ABD得FBA＝＝F。由图的对称性可知FAC＝FBA＝F，则分力F1＝F－F＝F，F1′＝F＋F＝F，故选A、C。
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11．(14分)有些人，比如电梯修理员、牵引专家和赛艇运动员，常需要知道绳或金属线中的张力，可又不可能到那些绳、线的自由端去测量。一个英国公司制造出一种夹在绳子上的仪表，用一个杠杆使绳子的某点有一个微小偏移量，如图所示。仪表很容易测出垂直于绳的恢复力。如果偏移量为12 mm，恢复力为300 N，计算绳中张力。
答案 1562.5 N
解析 如图所示，将力F沿着拉伸的方向分解成FT1和FT2，显然FT1＝FT2＝FT，sinθ＝；
而由于θ角很小，所以sinθ约等于tanθ，而tanθ＝，因此FT＝＝1562.5 N。
12．(16分)拱券结构是古代人们解决建筑跨度问题的有效方法，比如罗马的万神庙，我国的赵州桥都是拱券结构的典型代表。拱券结构的特点是利用石块的楔形结构，将重力和压力沿拱向两边分解，最后由拱券两端的基石来承受。现有六块大小、形状相同，质量相等的楔块组成一个半圆形实验拱券，如图乙所示。如果每块楔块的质量m＝3 kg，则：
(1)六块楔块组成的拱券对其一边的支撑物的压力是多大？
(2)如果在中间两块楔块3、4上加一个方向向下且大小为50 N的压力F，如图乙所示，那么楔块2对楔块3和楔块5对楔块4的弹力F1、F2分别是多大？(g取9.8 m/s2)
答案 (1)88.2 N (2)均为108.8 N
解析 (1)六块楔块受到的总重力为
G＝6mg＝176.4 N
拱券对其一边支撑物的压力为，即88.2 N。
(2)以楔块3、4组成的整体为研究对象，其受力如图所示。
由几何知识可知F1和F2间的夹角为120°，由对称性可知F1＝F2，由互成120°角的二力合成的特点知F1＝F2＝2mg＋F＝108.8 N。
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