2020高考物理一轮复习学案：第五章第3讲机械能守恒定律及其应用

第3讲　机械能守恒定律及其应用

主干梳理 对点激活
知识点　　重力势能　Ⅱ
1．定义
物体由于被举高而具有的能量，叫做重力势能。
2．表达式
Ep＝mgh，其中h是相对于参考平面的高度。
3．特点
(1)系统性：重力势能是物体与地球所共有的。
(2)相对性：重力势能的大小与所选参考平面有关。
(3)标量性：重力势能是标量，正负表示大小。
4．重力做功的特点
(1)重力做功与路径无关，只与始末位置的高度差有关。
(2)重力做功不引起物体机械能的变化。
5．重力做功与重力势能变化的关系
(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减小，重力对物体做负功，重力势能就增大。
(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即WG＝Ep1－Ep2＝－(Ep2－Ep1)＝－ΔEp。
(3)重力势能的变化量是绝对的，与参考面的选取无关。
知识点　　弹性势能　Ⅰ
1．定义
发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能，叫做弹性势能。
2．大小：弹簧弹性势能的大小与形变量及劲度系数有关，形变量越大，劲度系数越大，弹性势能就越大。
3．弹力做功与弹性势能变化的关系
弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示：W＝－ΔEp。
知识点　　机械能守恒定律　Ⅱ
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
2．常用的三种表达式
(1)守恒式：E1＝E2或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。E1、E2分别表示系统初末状态时的总机械能。
(2)转化式：ΔEk＝－ΔEp或ΔEk增＝ΔEp减。表示系统势能的减少量等于动能的增加量。
(3)转移式：ΔEA＝－ΔEB或ΔEA增＝ΔEB减。表示系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能。
3．对机械能守恒定律的理解
(1)只受重力或弹力作用，系统的机械能守恒。
(2)除受重力或弹力之外，还受其他力，但其他力不做功，只有重力或系统内的弹力做功，系统机械能守恒。
(3)除受重力或弹力之外，还受其他力，但其他力所做功的代数和为零，系统机械能守恒。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一 思维辨析
1．被举到高处的物体重力势能一定不为零。(　　)
2．克服重力做功，物体的重力势能一定增加。(　　)
3．弹力做正功弹性势能一定增加。(　　)
4．物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒。(　　)
5．物体的速度增大时，其机械能可能减小。(　　)
6．物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，则物体的机械能一定守恒。(　　)
答案　1.×　2.√　3.×　4.×　5.√　6.√
二 对点激活
1．关于重力势能，下列说法中正确的是(　　)
A．物体的位置一旦确定，它的重力势能的大小也随之确定
B．物体与零势能面的距离越大，它的重力势能也越大
C．一个物体的重力势能从－5 J变化到－3 J，重力势能减少了
D．重力势能的减少量等于重力对物体做的功
答案　D
解析　重力势能具有相对性，某个物体处于某个位置，相对不同的参考平面具有不同的重力势能，故A错误；重力势能Ep＝mgh，h为相对于零势能面的高度，当物体位于零势能面以下时，它与零势能面的距离越大，重力势能越小，故B错误；重力势能由－5 J变化为－3 J，重力势能变大，故C错误；重力做功等于重力势能的减少量，故D正确。
2．(人教版必修2·P78·T2)(多选)神舟号载人飞船在发射至返回的过程中，以下哪些阶段中返回舱的机械能是守恒的(　　)
A．飞船升空的阶段
B．飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段
C．返回舱在大气层以外向着地球做无动力飞行的阶段
D．降落伞张开后，返回舱下降的阶段
答案　BC
解析　飞船升空的阶段，火箭加速上升，势能和动能都增加，故机械能增加，A错误；飞船在椭圆轨道上绕地球运行的阶段，只有引力做功，故机械能守恒，B正确；返回舱在大气层以外向着地球做无动力飞行的阶段，只有引力做功，故机械能守恒，C正确；降落伞张开后，返回舱下降的阶段，由于克服阻力做功，故机械能减少，D错误。
3．(人教版必修2·P78·T3改编)(多选)如图所示，在地面上以速度v0抛出质量为m的物体，抛出后物体落到比地面低h的海平面上。若以地面为零势能面，而且不计空气阻力，则下列说法正确的是(　　)

A．重力对物体做的功为mgh
B．物体在海平面上的势能为mgh
C．物体在海平面上的动能为mv－mgh
D．物体在海平面上的机械能为mv
答案　AD
解析　从地面到海平面重力对物体做功为mgh，故A正确；地面为零势能面，所以物体在海平面的重力势能为－mgh，故B错误；物体在地面上的机械能为mv，由机械能守恒得，物体在海平面上的机械能也为mv，故D正确；在海平面上的动能为mv－(－mgh)＝mv＋mgh，故C错误。
考点细研 悟法培优
考点1　机械能守恒的理解与判断
1．机械能守恒定律的理解
(1)机械能守恒定律的研究对象一定是系统，至少包括地球在内。
(2)当研究对象(除地球外)只有一个物体时，往往根据“是否只有重力(或弹力)做功”来判断机械能是否守恒；当研究对象(除地球外)由多个物体组成时，往往根据“有没有摩擦力和阻力做功”来判断机械能是否守恒。
(3)“只有重力(或弹力)做功”不等于“只受重力(或弹力)作用”，在该过程中，物体可以受其他力的作用，只要这些力不做功或所做功代数和为零，机械能仍守恒。
2．机械能是否守恒的判断方法
(1)用机械能的定义判断(直接判断)：判断机械能是否守恒可以看物体系统机械能的总和是否变化。
(2)用做功判断：若物体系统只有重力或系统内弹力做功，虽受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零，则机械能守恒。
(3)用能量转化来判断：若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无其他形式的能的转化，则物体系统机械能守恒。
例1　(多选)下列关于机械能是否守恒的叙述正确的是(　　)
A．做匀速直线运动的物体的机械能一定守恒
B．做匀变速直线运动的物体的机械能可能守恒
C．合外力对物体做的功为零时，机械能一定守恒
D．只有重力对物体做功，物体的机械能一定守恒
解题探究　(1)做匀速直线运动的物体机械能一定守恒吗？
提示：不一定，竖直面内的匀速直线运动机械能一定不守恒。
(2)机械能守恒的条件是什么？
提示：只有重力或系统内弹力做功。
尝试解答　选BD。
做匀速直线运动的物体，除了重力或弹力做功外，可能还有其他力做功，所以机械能不一定守恒，A错误。做匀变速直线运动的物体，可能只受重力或只有重力做功(如自由落体运动)，物体机械能可能守恒，B正确。合外力对物体做功为零时，说明物体的动能不变，但势能有可能变化，C错误。D中的叙述符合机械能守恒的条件，D正确。
总结升华
判断机械能守恒应注意的“两点”
(1)机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”。
(2)对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不守恒。

[变式1]　(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)

A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒
B．乙图中，A置于光滑水平面上，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力和定滑轮质量时A加速下落，B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒
D．丁图中，小球在竖直平面内来回摆动(不计空气阻力)，小球的机械能守恒
答案　CD
解析　甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错误；乙图中物体B除受重力外，还受弹力，弹力对B做负功，机械能减小，机械能不守恒，但从能量特点看A、B组成的系统机械能守恒，B错误；丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，A、B系统机械能守恒，C正确；丁图中小球在竖直平面内来回摆动过程中，只有重力做功，机械能守恒，D正确。
考点2　单个物体的机械能守恒
求解单个物体机械能守恒问题的基本思路
(1)选取研究对象——物体及地球构成的系统。机械能守恒定律研究的是物体系统，如果是一个物体与地球构成的系统，一般只对物体进行研究。
(2)根据物体所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象在过程的初、末状态时的机械能。
(4)选取方便的机械能守恒定律方程形式(Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2、ΔEk＝－ΔEp)进行求解。
例2　(多选)如图所示，两个质量相同的小球A、B，用细线悬挂在等高的O1、O2点，A球的悬线比B球的悬线长，把两球的悬线均拉到水平位置后将小球无初速度释放，则经最低点时(以悬点所在的水平面为参考平面)(　　)

A．B球的动能大于A球的动能
B．A球的动能大于B球的动能
C．A球的机械能大于B球的机械能
D．A球的机械能等于B球的机械能
解题探究　(1)以悬点所在的水平面为参考平面，两小球的机械能为多少？
提示：零。
(2)经最低点时，A、B重力势能均为负值，A、B的重力势能谁比较大？
提示：B球重力势能大。
尝试解答　选BD。
空气阻力不计，小球下落过程中只有动能和重力势能之间的转化，机械能守恒，故C错误，D正确；到最低点时A球减少的重力势能较多，增加的动能较多，故A错误，B正确。
总结升华
1．机械能守恒定律的应用技巧
(1)应用机械能守恒定律的前提是“守恒”，因此，需要先对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。
(2)列方程时，选取的角度不同，表达式不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。
在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。
2．用机械能守恒定律解决非质点问题
(1)在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
(2)物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。一般情况物体各部分速度大小相同，动能用mv2表示。
[变式2－1]　如图所示，粗细均匀，两端开口的U形管内装有同种液体，管中液柱总长度为4h，开始时使两边液面高度差为h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为(　　)

A. B. C. D.
答案　A

解析　液柱移动时，除了重力做功以外，没有其他力做功，故机械能守恒。此题等效为原右侧高的液柱移到左侧(如图所示)，其重心高度下降了，减少的重力势能转化为液柱整体的动能，设液体的总质量为4m，则有mg·＝(4m)v2，得v＝ ，A正确。
[变式2－2]　(2018·成都石室中学二诊)某实验小组做了如下实验，装置如图甲所示。竖直平面内的光滑轨道由倾角为θ的斜面轨道AB和圆弧轨道BCD组成，使质量m＝0.1 kg的小球从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用压力传感器测出小球经过圆弧最高点D时对轨道的压力F，改变H的大小，可测出相应的F大小，F随H的变化关系如图乙所示，取g＝10 m/s2。

(1)求圆轨道的半径R；
(2)若小球从D点水平飞出后又落到斜面上，其中最低点与圆心O等高，求θ的值。
答案　(1)0.2 m　(2)45°
解析　(1)小球经过D点时，满足竖直方向的合力提供圆周运动的向心力，即
F＋mg＝m
从开始到D的过程中只有重力做功，根据机械能守恒定律有：mg(H－2R)＝mv2
联立解得：F＝H－5mg
由题中给出的F－H图象知斜率
k＝ N/m＝10 N/m
即＝10 N/m
所以可得R＝0.2 m。
(2)小球离开D点做平抛运动，根据几何关系知，小球落点越低平抛的射程越小，即题设中小球落点位置最低对应小球离开D点时的速度最小。

根据临界条件知，小球能通过D点时的最小速度为
v0＝
小球在斜面上的落点与圆心等高，故可知小球平抛时下落的距离为R
所以小球平抛的射程
s＝v0t＝v0＝·＝R
由几何关系可知，θ＝45°。
考点3　多物体组成的系统机械能守恒的应用

1.系统机械能是否守恒的判断方法
看是否有其他形式的能与机械能相互转化。
2．三种守恒表达式的比较
角度
公式
意义
注意事项
守恒
观点
Ek1＋Ep1
＝Ek2＋Ep2
系统的初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等
初、末状态必须用同一零势能面计算势能
转化
观点
ΔEk＝－ΔEp
系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能
应用时关键在于分清重力势能的增加量或减少量，可不选零势能面而直接计算初、末状态的势能差
转移
观点
ΔEA增＝ΔEB减
若系统由A、B两物体组成，则A物体机械能的增加量与B物体机械能的减少量相等
常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题

3．几种常见类型
类型一：轻绳连接的物体系统
(1)常见情景

(2)三点提醒
①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
类型二：轻杆连接的物体系统
(1)常见情景

(2)三大特点
①用杆连接的两个物体，其线速度大小一般有以下两种情况：
a．若两物体绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定线速度v的大小。
b．“关联速度法”：两物体沿杆方向速度大小相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
类型三：轻弹簧连接的物体系统
(1)题型特点
由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
(2)两点提醒
①对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，无论弹簧伸长还是压缩。
②物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。
例3　如图所示，一根轻绳绕过光滑的轻质定滑轮，两端分别连接物块A和B，B的下面通过轻绳连接物块C，A锁定在地面上。已知B和C的质量均为m，A的质量为m，B和C之间的轻绳长度为L，初始时C离地的高度也为L。现解除对A的锁定，物块开始运动。设物块可视为质点，落地后不反弹。重力加速度大小为g。求：

(1)A刚上升时的加速度大小a；
(2)A上升过程的最大速度大小vm；
(3)A离地的最大高度H。
解题探究　(1)C落地后，A加速还是减速？
提示：减速。
(2)A离地最高时，B可能在哪里？
提示：B可能已落地，也可能还未落地。
尝试解答　(1)g　(2) 　(3)L
(1)解除对A的锁定后，A加速上升，B和C加速下降，加速度大小a相等，设轻绳对A和B的拉力大小为T，由牛顿第二定律得
对A：T－mg＝ma
对B、C：(m＋m)g－T＝(m＋m)a
联立解得：a＝g。
(2)C落地后，A的重力大于B的重力，A减速上升，所以当物块C刚着地时，A的速度最大。从A刚开始上升到C刚着地的过程，由机械能守恒定律得
2mgL－mgL＝(2m)v＋v
解得vm＝ 。
(3)假设C落地后A继续上升h时速度为零，此时B未触及地面，A和B组成的系统满足机械能守恒定律
mgh－mgh＝0－v
联立解得：h＝L
由于h＝L H＝L＋h＝L。
总结升华
多物体机械能守恒问题的分析方法
(1)正确选取研究对象，合理选取物理过程。
(2)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。
(3)注意寻找用轻绳、轻杆或轻弹簧相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(4)列机械能守恒方程时，从三种表达式中选取方便求解问题的形式。
[变式3－1]　(2018·河南开封模拟)(多选)如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P连接，另一端与物体A相连，物体A置于光滑水平桌面上，A右端连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连。开始时托住B，让A处于静止状态且细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度。下列有关该过程的分析正确的是(　　)

A．B受到细线的拉力保持不变
B．A、B组成的系统机械能不守恒
C．B机械能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量
D．当弹簧的拉力等于B的重力时，A的动能最大
答案　BD
解析　对A有FT－kx＝mAa，对B有mBg－FT＝mBa，联立有mBg－kx＝(mA＋mB)a，由于弹簧的伸长量x逐渐变大，从开始到B速度达到最大的过程中，B
的加速度逐渐减小，可知，此过程中细线的拉力逐渐增大，是变力，A错误；A、弹簧与B组成的系统机械能守恒，而A、B组成的系统机械能不守恒，B正确；B机械能的减少量等于A机械能的增加量与弹簧弹性势能的增加量之和，故B机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量，C错误；当弹簧的拉力等于B的重力时，B的速度最大，A的速度也达到最大，则动能最大，D正确。
[变式3－2]　如图所示，一个长直轻杆两端分别固定一个小球A和B，两球质量均为m，两球半径忽略不计，杆的长度为l。先将杆竖直靠放在竖直墙上，轻轻拨动小球B，使小球B在水平面上由静止开始向右滑动，当小球A沿墙下滑距离为l时，下列说法正确的是(不计一切摩擦)(　　)

A．杆对小球A做功为－mgl
B．小球A和B的速度都为
C．小球A、B的速度分别为和
D．杆与小球A和B组成的系统机械能减少了mgl
答案　C

解析　小球A沿墙下滑距离为l时，设小球A向下的速度为vA，小球B水平向右的速度为vB，则它们沿杆方向的分速度是相等的，即vAsin30°＝vBcos30°，得vA＝vB，B错误；又因为杆与小球A和B组成的系统机械能守恒，故mg·＝mv＋mv，联立解得vA＝，vB＝，D错误，C正确；对A由动能定理得W杆＋mgl＝mv，解得W杆＝－mgl，A错误。
高考模拟 随堂集训
1．(2017·全国卷Ⅱ) 如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时对应的轨道半径为(重力加速度大小为g)(　　)

A. B. C. D.
答案　B
解析　设小物块的质量为m，滑到轨道上端时的速度为v1。小物块上滑过程中，机械能守恒，有
mv2＝mv＋2mgR①
小物块能通过轨道最高点的条件是m≥mg②
联立①②式得R≤③
小物块从轨道上端水平飞出，做平抛运动，设水平位移为x，下落时间为t，有2R＝gt2④
x＝v1t⑤
联立①④⑤式整理得x2＝－16R2＋R⑥
可得x有最大值时对应的轨道半径R＝<，故选B。
2. (2017·江苏高考)(多选)如图所示，三个小球A、B、C的质量均为m，A与B、C间通过铰链用轻杆连接，杆长为L。B、C置于水平地面上，用一轻质弹簧连接，弹簧处于原长。现A由静止释放下降到最低点，两轻杆间夹角α由60°变为120°。A、B、C在同一竖直平面内运动，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。则此下降过程中(　　)

A．A的动能达到最大前，B受到地面的支持力小于mg
B．A的动能最大时，B受到地面的支持力等于mg
C．弹簧的弹性势能最大时，A的加速度方向竖直向下
D．弹簧的弹性势能最大值为mgL
答案　AB
解析　取A、B、C整体研究，三个小球皆静止时，地面对B、C球的弹力各为mg，当A球下降时，只要A球未达最大速度，就有竖直向下的加速度，A球就处于失重状态，此时地面对B球的支持力小于mg，A正确；A球的动能最大时，aA＝0，系统在竖直方向上F合＝0，则地面对B球的弹力为mg，B正确；弹簧的弹性势能最大时，对应着弹簧伸长量最大，A球运动到最低点，此时vA＝0，但aA≠0，加速度方向竖直向上，C错误；两杆间夹角由60°变为120°，A球下落的距离h＝Lsin60°－Lsin30°＝L，A球重力势能的减少量为ΔEp＝mgL，由能量转化知，弹簧的弹性势能最大值为mgL，D错误。
3．(2016·全国卷Ⅱ) (多选)如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<。在小球从M点运动到N点的过程中(　　)

A．弹力对小球先做正功后做负功
B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
答案　BCD

解析　在M、N两点处，弹簧的弹力大小相等，故在M点弹簧压缩，在N点弹簧伸长，且压缩量和伸长量相等，如图所示，OP垂直于竖直杆，Q点与M点关于OP对称，在小球从M点到Q点的过程中，弹簧弹力先做负功后做正功，故A错误；在P点弹簧长度最短，弹力方向与速度方向垂直，故此时弹力对小球做功的功率为零，即C正确；小球在P点时所受弹簧弹力垂直于竖直杆，竖直方向上只受重力，此时小球加速度为g，当弹簧处于自由长度时，小球只受重力作用，此时小球的加速度也为g，故B正确；小球和弹簧组成的系统机械能守恒，小球在M点和N点时弹簧的弹性势能相等，故小球从M到N重力势能的减少量等于动能的增加量，而小球在M点的动能为零，故D正确。
4. (2018·河南适应性考试)(多选)如图所示，半径为R的竖直光滑圆轨道与光滑水平面相切，质量均为m的小球A、B与轻杆连接，置于圆轨道上，A位于圆心O的正下方，B与O等高。它们由静止释放，最终在水平面上运动。下列说法正确的是(　　)

A．下滑过程中重力对B做功的功率先增大后减小
B．当B滑到圆轨道最低点时，轨道对B的支持力大小为3mg
C．下滑过程中B的机械能增加
D．整个过程中轻杆对A做的功为mgR
答案　AD
解析　因为初位置速度为零，则重力的功率为0，最低点速度方向与重力的方向垂直，重力的功率为零，可知重力的功率先增大后减小，A正确；A、B小球组成的系统，在运动过程中机械能守恒，设B到达轨道最低点时速度为v，由机械能守恒定律得：(m＋m)v2＝mgR，解得：v＝，在最低点，根据牛顿第二定律得：FN－mg＝m，解得：FN＝2mg，故B错误；下滑过程中，系统机械能守恒，而杆对A做正功，A的机械能增大，所以B的机械能减小，故C错误；整个过程中对A，根据动能定理得：W＝mv2＝mgR，故D正确。
5．(2018·江苏高考) 如图所示，钉子A、B相距5l，处于同一高度。细线的一端系有质量为M的小物块，另一端绕过A固定于B。质量为m的小球固定在细线上C点，B、C间的线长为3l。用手竖直向下拉住小球，使小球和物块都静止，此时BC与水平方向的夹角为53°。松手后，小球运动到与A、B相同高度时的速度恰好为零，然后向下运动。忽略一切摩擦，重力加速度为g，取sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求：

(1)小球受到手的拉力大小F；
(2)物块和小球的质量之比M∶m；
(3)小球向下运动到最低点时，物块M所受的拉力大小T。
答案　(1)Mg－mg　(2)6∶5
(3)T＝
解析　(1)如图所示，设小球受AC、BC方向的拉力分别为F1、F2

F1sin53°＝F2cos53°
F＋mg＝F1cos53°＋F2sin53°
且F1＝Mg
解得F＝Mg－mg。
(2)小球运动到与A、B相同高度过程中，小球上升高度h1＝3lsin53°
物块下降高度h2＝lAC＋lBC－lAB＝2l
根据机械能守恒定律mgh1＝Mgh2
解得M∶m＝6∶5。
(3)根据机械能守恒定律，小球向下运动到最低点时回到起始点。设此时小球沿AC方向的加速度大小为a，物块受到的拉力为T
根据牛顿第二定律，Mg－T＝Ma
小球受AC方向的拉力T′＝T
根据牛顿第二定律，T′－mgcos53°＝ma
解得T＝。




配套课时作业
　　时间：60分钟　满分：100分
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～6为单选，7～10为多选)
1．如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两个相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在运动过程中，下列说法中正确的是(　　)

A．M球的机械能守恒
B．M球的机械能增大
C．M和N组成的系统机械能守恒
D．绳的拉力对N做负功
答案　C
解析　细杆光滑，故M、N组成的系统机械能守恒，N的机械能增加，绳的拉力对N做正功、对M做负功，M的机械能减少，故C正确，A、B、D错误。
2．小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示。将两球由静止释放。在各自轨迹的最低点(　　)

A．P球的速度一定大于Q球的速度
B．P球的动能一定小于Q球的动能
C．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
D．P球的向心加速度一定小于Q球的向心加速度
答案　C
解析　设小球的质量为m，绳长为L，根据机械能守恒定律得mgL＝mv2，解得v＝，LPmQ，LPmQ，所以P球所受绳的拉力大于Q球所受绳的拉力，故C项正确；向心加速度a＝＝2g，所以在轨迹的最低点，P、Q两球的向心加速度相同，故D项错误。
3. (2018·山西右玉一模)一小球以一定的初速度从图示位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1，再进入圆轨道2，圆轨道1的半径为R，圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小球的质量为m，若小球恰好能通过轨道2的最高点B，则小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道的压力为(　　)

A．2mg B．3mg C．4mg D．5mg
答案　C
解析　小球恰好能通过轨道2的最高点B时，有mg＝，小球在轨道1上经过其最高点A时，有F＋mg＝，根据机械能守恒，有1.6mgR＝mv－mv，解得F＝4mg，根据牛顿第三定律，小球在轨道1上经过其最高点A时对轨道的压力为4mg，C项正确。
4. (2018·贵阳模拟)如图所示，一质量为m的小球固定于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点。将小球拉至A点，弹簧恰好无形变，由静止释放小球，当小球运动到O点正下方与A点的竖直高度差为h的B点时，速度大小为v。已知重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)

A．小球运动到B点时的动能等于mgh
B．小球由A点到B点重力势能减少mv2
C．小球由A点到B点克服弹力做功为mgh
D．小球到达B点时弹簧的弹性势能为mgh－mv2
答案　D
解析　小球由A点到B点的过程中，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，弹簧由原长到发生伸长的形变，小球动能增加量小于重力势能减少量，A项错误；小球重力势能减少量等于小球动能增加量与弹簧弹性势能增加量之和，B项错误；弹簧弹性势能增加量等于小球重力势能减少量与动能增加量之差，即mgh－mv2，D项正确；小球克服弹力所做的功等于弹簧弹性势能增加量，C项错误。
5. 如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的垂在桌边，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为(　　)

A. B. C. D．4
答案　C

解析　用等效法结合机械能守恒求解。以桌上L链条为研究对象，重心下降L，mg·L＝mv2，解得v＝，故C正确。
6．如图所示，将一个内、外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一竖直墙壁。现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是(　　)

A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球处于失重状态
C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与槽组成的系统机械能守恒
D．小球从下落到从右侧离开槽的过程中机械能守恒
答案　C
解析　小球在槽内运动的全过程中，从刚释放到最低点，只有重力做功，而从最低点开始上升过程中，除小球重力做功外，还有槽对球的作用力做负功，故A错误；小球在A点加速度竖直向下，在最低点加速度竖直向上，故小球先处于失重状态，后处于超重状态，故B错误；小球在槽内运动的全过程中，从刚释放到最低点，只有重力做功，而从最低点开始上升过程中，除小球重力做功外，还有槽对球的作用力做负功，所以小球的机械能不守恒，D错误；小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，只有重力和系统内弹力做功，所以小球与槽组成的系统机械能守恒，故C正确。
7. 如图所示，一质量为m的小球套在光滑竖直杆上，轻质弹簧一端与小球相连，另一端固定于O点。现将小球从A点由静止释放，沿竖直杆运动到B点，已知OA长度小于OB长度，弹簧处于OA、OB两位置时弹力大小相等，A、B两点间的距离为h。在小球由A到B的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．弹簧处于OA、OB两位置时的弹性势能不相等
B．小球在B点时的动能为mgh
C．小球的加速度等于重力加速度g的位置只有一个
D．在弹簧与杆垂直时，小球机械能最小
答案　BD
解析　由于弹簧处于OA、OB两位置时弹力大小相等，根据胡克定律可知弹簧形变量大小相等，根据同一轻弹簧的弹性势能只与形变量有关，可知弹簧处于OA、OB两位置时的弹性势能相等，A错误；在小球由A到B的过程中，由机械能守恒定律可知小球在B点时的动能为Ek＝mgh，B正确；在小球由A到B的过程中，当小球下落到与O点在同一水平位置时，即在弹簧与杆垂直时，在竖直方向上只受重力作用，加速度为重力加速度g，在小球下落到轻弹簧恢复到原长时，在竖直方向上只受重力作用，加速度为重力加速度g，所以在小球由A到B的过程中，小球的加速度等于重力加速度g的位置有两个，C错误；在整个过程中，小球的机械能与弹簧弹性势能之和不变，又弹簧与杆垂直时，弹簧弹性势能最大，可知小球机械能最小，D正确。
8. 如图所示直角边长为R的光滑等腰直角三角形和半径为R的光滑圆柱的一部分无缝相接，质量分别为2m和m的物体A和小球B通过一根不可伸长的细线相连，小球B恰好位于桌面上。小球B可视为质点，若从静止释放小球B，当其运动到圆柱顶点时，则(　　)

A．物体A的速度大小为
B．物体A的速度大小为
C．绳的张力对物体B所做的功为mgR
D．绳的张力对物体B所做的功为mgR
答案　BC
解析　以A、B和绳为研究对象，由机械能守恒得(2m＋m)v2＝2mg·－mgR，解得v＝，B正确，A错误；以B为研究对象，根据动能定理得W－mgR＝mv2，解得W＝mgR，C正确，D错误。
9. (2018·重庆六校联考)如图所示，圆心在O点、半径为R的光滑圆弧轨道ABC竖直固定在水平桌面上，OC与OA的夹角为60°，轨道最低点A与桌面相切。一足够长的轻绳两端分别系着质量为m1和m2的小球(均可视为质点)，挂在圆弧轨道光滑边缘C的两边，开始时m1位于C点，然后从静止释放，小球m1能够沿圆弧轨道运动到水平桌面上。不计空气阻力，则(　　)

A．在m1由C点下滑到A点的过程中两球速度大小始终相等
B．在m1由C点下滑到A点的过程中重力对m1做功的功率一直增大
C．若m1恰好能沿圆弧下滑到A点，则m1＝2m2
D．在m1由C点下滑到A点的过程中轻绳对m2做的功等于m2的机械能增加量
答案　CD
解析　在m1由C点下滑到A点的过程中两球速度沿轻绳方向的分速度大小始终相等，A错误；m1在C点速度为零，重力的功率为零，运动到A点时m1的速度方向沿水平方向，与重力的夹角为90°，重力的功率也为零，而在圆弧轨道其他位置m1的重力的功率不为零，所以在m1由C点下滑到A点的过程中重力对m1做功的功率不会一直增大，B错误；若m1恰好能沿圆弧下滑到A点，由机械能守恒定律，m1gR(1－cos60°)＝m2gR，解得m1＝2m2，C正确；对m2，由功能关系可知，在m1由C点下滑到A点的过程中轻绳对m2做的功等于m2的机械能增加量，D正确。
10. 如图所示，在长为L的轻杆中点A和端点B处各固定一质量为m的球，杆可绕无摩擦的轴O转动，使杆从水平位置无初速度释放摆下。在杆转到竖直位置的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．B球机械能守恒
B．A、B球、轻杆、地球组成的系统机械能守恒
C．杆转到竖直位置时A的速度vA＝
D．杆对B做功为0.2mgL
答案　BD
解析　如果把轻杆、地球、两球组成的系统作为研究对象，那么由于杆和球的相互作用力做功总和等于零，故系统机械能守恒，故B正确。杆对B球做功，B球机械能不守恒，A错误。设当杆转到竖直位置时，A球和B球的速度分别为vA和vB，由系统机械能守恒，可得mgL＋mgL＝mv＋mv，又因A球与B球在各个时刻对应的角速度相同，故vB＝2vA，由以上两式得vA＝ ，vB＝ ，故C错误。根据动能定理，可解出杆对A球、B球做的功，对于A球有WA＋mg＝mv－0，所以WA＝－0.2mgL，对于B球有WB＋mgL＝mv－0，所以WB＝0.2mgL，故D正确。
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11. (14分)如图所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平面AB平齐，静止放于倾角为53°的光滑斜面上。一长为L＝9 cm的轻质细绳一端固定在O点，另一端系一质量为m＝1 kg的小球，将细绳拉至水平，使小球从位置C由静止释放，小球到达最低点D时，细绳刚好被拉断。之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，最大压缩量为x＝5 cm。(取g＝10 m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6)求：

(1)细绳受到的拉力的最大值；
(2)D点到水平线AB的高度h；
(3)弹簧所获得的最大弹性势能Ep。
答案　(1)30 N　(2)16 cm　(3)2.9 J
解析　(1)小球由C到D，由机械能守恒定律得：
mgL＝mv，解得v1＝①
在D点，由牛顿第二定律得F－mg＝m②
由①②解得F＝30 N，
由牛顿第三定律知细绳所能承受的最大拉力为30 N。
(2)由D到A，小球做平抛运动，v＝2gh③
tan53°＝④
联立①③④解得h＝16 cm。
(3)小球从C点到将弹簧压缩至最短的过程中，小球与弹簧系统的机械能守恒，即Ep＝mg(L＋h＋xsin53°)，代入数据解得：Ep＝2.9 J。
12．(16分) 一半径为R的半圆形竖直圆弧面，如图所示，用轻质不可伸长的细绳连接的A、B两球悬挂在圆弧面边缘两侧，A球质量为B球质量的2倍，现将A球从圆弧边缘处由静止释放。已知A球始终不离开圆弧内表面，且细绳足够长，若不计一切摩擦，求：

(1)A球沿圆弧内表面滑至最低点时速度的大小；
(2)A球沿圆弧内表面运动的最大位移。
答案　(1)2　(2)R
解析　(1)设A球沿圆弧内表面滑至最低点时速度的大小为v，B球的质量为m，则根据机械能守恒定律有
2mgR－mgR＝·2mv2＋mv
由图甲可知，A球的速度v与B球速度vB的关系为
vB＝v1＝vcos45°
联立解得v＝2。
　
(2)当A球的速度为零时，A球沿圆弧内表面运动的位移最大，设为x，如图乙所示，由几何关系可知A球下降的高度
h＝
根据机械能守恒定律有2mgh－mgx＝0，解得x＝R。