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2020高考物理一轮复习学案：第五章第1讲功和功率
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第1讲 功和功率
主干梳理 对点激活
知识点 功 Ⅱ
1．定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。
2．物理意义：功是能量转化的量度。
3．做功的两个必要因素
(1)作用在物体上的力。
(2)物体在力的方向上发生的位移。
4．公式：W＝Flcosα
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体对地的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
(3)功是标量。正负表示对物体做功的力是动力或阻力。
5．功的正负
6．一对作用力与反作用力的功
7．一对平衡力的功
一对平衡力作用在同一个物体上，若物体静止，则两个力都不做功；若物体运动，则这一对力所做的功一定是数值相等、一正一负或都为零。
知识点 功率 Ⅱ
1．定义：功与完成这些功所用时间的比值。
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢。
3．公式
(1)P＝，P为时间t内的平均功率。
(2)P＝Fvcosα(α为F与v的夹角)
①v为平均速度，则P为平均功率。
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率。
4．额定功率
机械正常工作时的最大输出功率。
5．实际功率
机械实际工作时的功率，要求不大于额定功率。
一 思维辨析
1．功是标量，功的正负表示大小。( )
2．一个力对物体做了负功，说明这个力一定阻碍物体的运动。( )
3．滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功；静摩擦力对物体一定不做功。( )
4．作用力做正功时，反作用力一定做负功。( )
5．力对物体做功的正负是由力与位移间的夹角大小决定的。( )
6．汽车上坡时换成低挡位，其目的是减小速度得到较大的牵引力。( )
答案 1.× 2.√ 3.× 4.× 5.√ 6.√
二 对点激活
1．(人教版必修2·P59·T1改编)如图所示，质量分别为m1和m2的两个物体，m1
A．W1>W2 B．W1
答案 C
解析 由题意可得F1和F2是恒力，物体移动的位移相同，并且力与位移的夹角相等，所以由功的公式W＝Flcosθ可知，它们对物体做的功是相同的，C正确。
2．(人教版必修2·P60·T4改编)如图所示的a、b、c、d中，质量为M的物体甲受到相同的恒力F的作用，在力F作用下使物体甲在水平方向移动相同的位移。μ表示物体甲与水平面间的动摩擦因数，乙是随物体甲一起运动的小物块，比较物体甲移动的过程中力F对甲所做的功的大小( )
A．Wa最小 B．Wd最大
C．Wa>Wc D．四种情况一样大
答案 D
解析 依据功的定义式W＝Flcosθ，在本题的四种情况下，F、l、θ均相同，这样四种情况下力F所做的功一样大，故D正确。
3．(人教版必修2·P60·T3改编)(多选)一位质量m＝60 kg的滑雪运动员从高h＝10 m的斜坡自由下滑，如果运动员在下滑过程中受到的阻力F＝50 N，斜坡的倾角θ＝30°，重力加速度g取10 m/s2，运动员滑至坡底的过程中，关于各力做功的情况，下列说法正确的是( )
A．重力做功为6000 J B．阻力做功为1000 J
C．支持力不做功 D．各力做的总功为零
答案 AC
解析 重力做功WG＝mgh＝6000 J，故A正确；阻力做功WF＝－F＝－1000 J，故B错误；支持力与位移夹角为90°，不做功，故C正确；各力做的总功为5000 J，故D错误。
4．质量为m的物体沿倾角为θ的斜面滑到底端时的速度大小为v，则此时重力的瞬时功率为( )
A．mgv B．mgvsinθ
C．mgvcosθ D．mgvtanθ
答案 B
解析 重力与物体的速度之间的夹角为90°－θ，则重力的瞬时功率为P＝mgvcos(90°－θ)＝mgvsinθ，所以B正确。
考点细研 悟法培优
考点1 功的正负判断与恒力、合力做功的计算
1.定性的判断力是否做功及做正、负功的方法
(1)看力F的方向与位移l的方向间的夹角α——常用于恒力做功的情形。
(2)看力F的方向与速度v的方向间的夹角θ——常用于曲线运动的情形。
(3)根据动能的变化：动能定理描述了合外力做功与动能变化的关系，即W合＝ΔEk，当动能增加时合外力做正功，当动能减少时合外力做负功。
(4)根据功能关系或能量守恒定律判断。
2．恒力做功的计算方法
直接用W＝ Flcosα计算。
3．合力做功的计算方法
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcosα求功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
方法三：先求动能变化ΔEk，再利用动能定理W合＝ΔEk求功。
例1 (2018·湖北武汉调研)一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F、滑块的速率v随时间的变化规律分别如图甲和图乙所示，设在第1 s内、第2 s内、第3 s内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系正确的是( )
A．W1＝W2＝W3 B．W1
提示：均各为恒力。
(2)力的方向和位移方向发生过改变吗？
提示：没有。
尝试解答 选B。
由v－t图线得
第1 s内滑块位移x1＝0.5 m，
第2 s内滑块位移x2＝0.5 m，
第3 s内滑块位移x3＝1 m。
第1 s内力F对滑块做功W1＝F1x1＝0.5 J，
第2 s内力F对滑块做功W2＝F2x2＝1.5 J，
第3 s内力F对滑块做功W3＝F3x3＝2 J，
所以W1
总结升华
1．使用W＝Flcosα应注意的几个问题
(1)位移l
①“l”应取作用点的位移。
②“l”的取值一般以地面为参考系。
(2)力F
①力的独立性原理，即求某个力做的功仅与该力及物体沿该力方向的位移有关，而与其他力是否存在、是否做功无关。
②力只能是恒力。此公式只能求恒力做功。
(3)α是l与F之间的夹角。
2．摩擦力做功的特点
(1)单个摩擦力(包括静摩擦力和滑动摩擦力)可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
(2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零；相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和不为零，且总为负值。
(3)相互作用的一对滑动摩擦力做功过程中会发生物体间机械能转移和机械能转化为内能，内能Q＝Ffx相对。
[变式1－1] 图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼(忽略扶梯对手的作用)，图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止。下列关于力做功的判断正确的是( )
A．甲图中支持力对人做正功
B．甲图中摩擦力对人做负功
C．乙图中支持力对人做正功
D．乙图中摩擦力对人做负功
答案 A
解析 对图甲中女士受力分析如图1，受重力和支持力两个力，支持力与速度v的夹角为锐角，做正功，故A正确，B错误。对图乙中男士受力分析如图2，受重力、支持力与静摩擦力，支持力与速度v的夹角为90°，不做功，Ff与速度方向相同，做正功，故C、D均错误。
[变式1－2] (多选)如图所示，建筑工人通过滑轮装置将一质量是100 kg的料车沿30°角的斜面由底端匀速地拉到顶端，斜面长L是4 m，若不计滑轮的质量和各处的摩擦力，g取10 N/kg，则对这一过程下列说法哪些正确( )
A．人拉绳子的力做功为1000 J
B．人拉绳子的力做功为2000 J
C．料车的重力做功为2000 J
D．料车受到的合力对料车做的总功为0
答案 BD
解析 工人拉绳子的力：F＝mgsin30°＝250 N，工人将料车拉到斜面顶端时，力F作用点的位移：l＝2L＝8 m，人拉绳子的力做的功W＝Fl＝2000 J，故A错误，B正确。重力做功：W2＝－mgh＝－mgLsin30°＝－2000 J，故C错误。由于料车在斜面上匀速运动，则料车所受的合力为0，故W合＝0，D正确。
考点2 变力做功的计算方法
例2 (多选)如图所示，n个完全相同，边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以速度v在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的数值为( )
A.Mv2 B．Mv2
C.μMgl D．μMgl
解题探究 (1)所有小方块恰能完全进入粗糙水平面，说明小方块末速度为零，对吗？
提示：对。
(2)所有小方块受到的摩擦力为变力，与位移有什么关系？
提示：Ff＝μx。
尝试解答 选AC。
小方块恰能完全进入粗糙水平面，说明小方块进入粗糙水平面后速度为零，以所有小方块为研究对象，据动能定理得：Wf＝0－Mv2，所以所有小方块克服摩擦力做功为Mv2，故A正确，B错误。由于摩擦力是变力，联立Ff＝μFN和FN＝·x，得Ff＝·x，画出Ff－x图象如图所示：
Ff－x图象与x轴围成的面积代表克服摩擦力做的功，大小为μMgl，故C正确，D错误。
总结升华
选对方法求变力做功
遇见变力做功问题时，依题意选准方法，平时要注意多总结，除了以上方法还可以用功率求功，机车类发动机保持功率P恒定做变速运动时，牵引力是变力，牵引力做功W＝Pt。
[变式2－1] (2018·安庆模拟)(多选)如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小F阻不变，则下列说法正确的是( )
A．重力做功为mgL
B．悬线的拉力做功为0
C．空气阻力做功为－mgL
D．空气阻力做功为－F阻πL
答案 ABD
解析 摆球下落过程中，重力做功为mgL，A正确；悬线的拉力始终与速度方向垂直，故做功为0，B正确；空气阻力的大小不变，方向始终与速度方向相反，故做功为－F阻·πL，C错误，D正确。
[变式2－2] (2018·江西南昌模拟)用一根绳子竖直向上拉一个物块，物块从静止开始运动，绳子拉力的功率按如图所示规律变化，0～t0时间内物块做匀加速直线运动，t0时刻后物块继续加速，t1时刻物块达到最大速度。已知物块的质量为m，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．物块始终做匀加速直线运动
B．0～t0时间内物块的加速度大小为
C．t0时刻物块的速度大小为
D．0～t1时间内绳子拉力做的总功为P0
答案 D
解析 由图象知，t0时刻后拉力的功率保持不变，根据P0＝Fv知，v增大，F减小，物块做加速度减小的加速运动，当加速度减小到零，物块做匀速直线运动，A错误；0～t0时间内，由P＝Fv，v＝at，F－mg＝ma得P＝m(g＋a)at，则m(g＋a)a＝，得a＝，B错误；在t1时刻速度达到最大值vm，拉力大小等于物块重力大小，则P0＝mgvm，得速度vm＝，由于t0时刻物块的速度v0
1．平均功率的计算方法
(1)利用＝。
(2)利用＝F·cosθ，其中为物体运动的平均速度，F为恒力。
2．瞬时功率的计算方法
利用公式P＝F·vcosθ，其中v为t时刻的瞬时速度。
例3 (2018·襄阳调研)如图1所示，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动。监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图2、3所示，g＝10 m/s2，则( )
A．第1 s内推力做的功为1 J
B．第2 s内物体克服摩擦力做的功W＝2 J
C．第1.5 s时推力F做功的功率为2 W
D．第2 s内推力F做功的平均功率＝1.5 W
解题探究 (1)第3 s内物体匀速运动，可以求出摩擦力大小为多少？
提示：f＝2 N。
(2)由图3知1.5 s时物体速度为多少？
提示：1 m/s。
尝试解答 选B。
由题图3可知，第1 s内物体的速度为零，物体静止不动，故位移为零，推力不做功，A错误；第2 s内推力为3 N，第3 s内推力为2 N且物体做匀速直线运动，则可知摩擦力f＝2 N，物体第2 s内的位移x＝1 m，则克服摩擦力所做的功W＝fx＝2 J，B正确；第1.5 s时推力为3 N，速度v＝1 m/s，则推力F做功的功率P＝3×1 W＝3 W，C错误；第2 s内平均速度＝1 m/s，推力F＝3 N，推力F做功的平均功率＝F＝3 W，D错误。
总结升华
求力做功的功率时应注意的问题
(1)明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。求平均功率首选P＝，其次是用P＝F·cosα，应容易求得，如求匀变速直线运动中某力的平均功率。
(2)求瞬时功率用P＝Fvcosα要注意F与v方向间的夹角α对结果的影响，功率是力与力的方向上速度的乘积。
[变式3] (2018·白银模拟)如图所示，小物块甲从竖直固定的光滑圆弧轨道顶端由静止滑下，轨道半径为R，圆弧底端切线水平。小物块乙从高为R的光滑斜面顶端由静止滑下。下列判断正确的是( )
A．两物块到达底端时速度相同
B．两物块运动到底端的过程中重力做功相同
C．两物块到达底端时动能相同
D．两物块到达底端时，乙的重力做功的瞬时功率大于甲的重力做功的瞬时功率
答案 D
解析 由机械能守恒定律可知，到达底端时速度大小相同、方向不同，故A错误；由于甲、乙物块质量关系不清楚，所以虽然速度大小相同，重力做功、到达底端时动能不一定相同，故B、C错误；到达底端时，甲的重力做功的瞬时功率为零，乙的重力做功的瞬时功率大于零，故D正确。
考点4 机车启动问题
1．两种启动方式的比较
续表
2．三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速直线运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝
例4 (2018·河北高三月考)(多选)下列各图是反映汽车(额定功率P额)从静止开始匀加速启动，最后做匀速直线运动的过程中，其速度随时间以及加速度、牵引力和功率随速度变化的图象，其中正确的是( )
解题探究 (1)汽车从静止开始匀加速启动，能一直匀加速吗？
提示：不能。当P＝P额时再匀加速，机车发动机会烧毁。
(2)汽车最后匀速阶段，有什么典型特征？
提示：a＝0，F＝f。
尝试解答 选ACD。
从静止开始匀加速启动，由公式P＝Fv及题意知，当力恒定时，随着速度的增加功率P增大，当P＝P额时，功率不再增加，此时，牵引力F－f＝ma，v1＝，速度继续增加，牵引力减小，此后汽车做加速度逐渐减小的加速运动，当F＝f时，a＝0，速度达最大，vm＝，做匀速直线运动。由以上分析知，B错误，A、C、D正确。
总结升华
解决机车启动问题时的四点注意
(1)首先弄清是匀加速启动还是恒定功率启动。
(2)若是匀加速启动过程，机车功率是不断改变的，但该过程中的最大功率是额定功率，匀加速直线运动阶段的最大速度小于机车所能达到的最大速度，达到额定功率后做加速度减小的加速运动。
(3)若是以额定功率启动的过程，机车做加速度减小的加速运动，匀变速直线运动的规律不能用，速度最大值等于，牵引力是变力，牵引力做的功可用W＝Pt计算，但不能用W＝Flcosθ计算。
(4)无论哪种启动方式，最后达到最大速度时，均满足P＝Ffvm，P为机车的额定功率。
[变式4－1] (2018·太原五中阶段性测试)某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究，他们让这辆小车在水平的直轨道上以恒定加速度由静止启动，并将小车运动的全过程记录下来，通过处理转化为v－t图象，如图所示(除2～10 s时间段内的图象为曲线外，其余时间段图象均为直线)，2 s后小车的功率不变，可认为在整个过程中小车所受到的阻力大小不变。小车的质量为1 kg，则小车在0～10 s运动过程中位移的大小为( )
A．39 m B．42 m C．45 m D．48 m
答案 B
解析 小车在前2 s内做匀加速直线运动，其加速度a＝＝1.5 m/s2,2 s后功率不变，在2 s时有F－f＝ma，得F＝f＋1.5，此时功率P＝Fv＝(f＋1.5)×3，此后小车做功率恒定的变加速运动，当速度达到最大时有P＝fvm＝f×6，整理得f＝1.5 N，P＝9 W，第一阶段匀加速的位移x1＝at＝3 m，第二阶段变加速，由动能定理有Pt2－fx2＝m(v－v2)，得x2＝39 m，两段的总位移x＝x1＋x2＝42 m，B正确，A、C、D错误。
[变式4－2] (多选)如图所示为汽车的加速度和车速倒数的关系图象。若汽车质量为2×103 kg，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30 m/s，则( )
A．汽车所受阻力为2×103 N
B．汽车在车速为15 m/s时，功率为6×104 W
C．汽车匀加速的加速度为3 m/s2
D．汽车匀加速所需时间为5 s
答案 ABD
解析 设汽车所受阻力大小为Ff，由汽车的加速度和车速倒数的关系图象可知，汽车从静止开始先做匀加速运动，加速度a＝2 m/s2，直到速度达到v1＝10 m/s，则匀加速阶段所用时间为t＝＝5 s，此时汽车的牵引力功率达到最大，即Pm＝(Ff＋ma)v1；接下来做加速度逐渐减小的变加速运动，汽车的牵引力功率保持不变，当速度达到v2＝30 m/s时，加速度为零，F＝Ff，速度达到最大，此时Pm＝Ffv2，则解得Ff＝2×103 N，Pm＝6×104 W，当汽车在车速为15 m/s时汽车已经达到最大功率，功率为6×104 W，所以正确选项为A、B、D。
高考模拟 随堂集训
1．(2018·全国卷Ⅲ)(多选)地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送至地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程( )
A．矿车上升所用的时间之比为4∶5
B．电机的最大牵引力之比为2∶1
C．电机输出的最大功率之比为2∶1
D．电机所做的功之比为4∶5
答案 AC
解析 设第②次所用时间为t，根据速度图象与t轴所围的面积等于位移(此题中为提升的高度)可知，×2t0×v0＝××v0，解得：t＝，所以第①次和第②次提升过程所用时间之比为2t0∶＝4∶5，A正确；由于两次提升变速阶段的加速度大小相同，在匀加速阶段，由牛顿第二定律，F－mg＝ma，可得提升的最大牵引力之比为1∶1，B错误；由功率公式P＝Fv，电机输出的最大功率之比等于最大速度之比，为2∶1，C正确；两次提升过程中动能增加量均为0，由动能定理得W电－mgh＝0，两次提升高度h相同，所以电机两次做功相同，D错误。
2．(2017·全国卷Ⅱ) 如图，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环。小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力( )
A．一直不做功 B．一直做正功
C．始终指向大圆环圆心 D．始终背离大圆环圆心
答案 A
解析 光滑大圆环对小环只有弹力作用，弹力方向沿大圆环的半径方向(下滑过程先背离圆心，后指向圆心)，与小环的速度方向始终垂直，不做功。故选A。
3．(2017·天津高考) “天津之眼”是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，是天津市的地标之一。摩天轮悬挂透明座舱，乘客随座舱在竖直面内做匀速圆周运动。下列叙述正确的是( )
A．摩天轮转动过程中，乘客的机械能保持不变
B．在最高点时，乘客重力大于座椅对他的支持力
C．摩天轮转动一周的过程中，乘客重力的冲量为零
D．摩天轮转动过程中，乘客重力的瞬时功率保持不变
答案 B
解析 摩天轮转动过程中，乘客的动能不变，重力势能不断变化，故乘客的机械能不断变化，A错误；乘客在最高点时，具有向下的加速度，处于失重状态，B正确；根据I＝Ft知，重力的冲量不为0，C错误；根据P＝mgvcosθ，θ为力方向与速度方向之间的夹角，摩天轮转动过程中，θ不断变化，重力的瞬时功率不断变化，D错误。
4．(2018·天津高考) 我国自行研制、具有完全自主知识产权的新一代大型喷气式客机C919首飞成功后，拉开了全面试验试飞的新征程，假设飞机在水平跑道上的滑跑是初速度为零的匀加速直线运动，当位移x＝1.6×103 m时才能达到起飞所要求的速度v＝80 m/s，已知飞机质量m＝7.0×104 kg，滑跑时受到的阻力为自身重力的0.1倍，重力加速度取g＝10 m/s2，求飞机滑跑过程中
(1)加速度a的大小；
(2)牵引力的平均功率P。
答案 (1)2 m/s2 (2)8.4×106 W
解析 (1)飞机滑跑过程中做初速度为零的匀加速直线运动，有v2＝2ax①
代入数据解得a＝2 m/s2②
(2)设飞机滑跑受到的阻力为F阻，根据题意可得
F阻＝0.1mg③
设发动机的牵引力为F，根据牛顿第二定律有
F－F阻＝ma④
设飞机滑跑过程中的平均速度为，有＝ ⑤
在滑跑阶段，牵引力的平均功率P＝F⑥
联立②③④⑤⑥式得P＝8.4×106 W。
5．(2017·江苏高考)如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为m，A、B的质量都为，与地面间的动摩擦因数均为μ。现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面。整个过程中B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：
(1)未拉A时，C受到B作用力的大小F；
(2)动摩擦因数的最小值μmin；
(3)A移动的整个过程中，拉力做的功W。
答案 (1)mg (2) (3)(2μ－1)(－1)mgR
解析 (1)对C受力分析，如图所示。
根据平衡条件有2Fcos30°＝mg
解得F＝mg。
(2)C恰好降到地面时，F＝mg，
B受C压力的水平分力最大
Fxmax＝F·cos30°，
Fxmax＝mg
B受地面的摩擦力f＝μmg
根据题意，B保持静止，则有fmin＝Fxmax
解得μmin＝。
(3)C下降的高度h＝(－1)R
A的位移x＝2(－1)R
摩擦力做功的大小Wf＝fx＝2(－1)μmgR
根据动能定理W－Wf＋mgh＝0－0
解得W＝(2μ－1)(－1)mgR。
配套课时作业
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～6为单选，7～10为多选)
1．如图所示，物块A、B在外力F的作用下一起沿水平地面做匀速直线运动的过程中，下列关于A对地面的滑动摩擦力做功和B对A的静摩擦力做功的说法正确的是( )
A．静摩擦力做正功，滑动摩擦力做负功
B．静摩擦力不做功，滑动摩擦力做负功
C．静摩擦力做正功，滑动摩擦力不做功
D．静摩擦力做负功，滑动摩擦力做正功
答案 C
解析 A对地面虽然有摩擦力，但在力的作用下地面没有发生位移，所以滑动摩擦力不做功，B对A的静摩擦力向右，A的位移也向右，所以该静摩擦力做正功，故C正确。
2．如图所示，质量为m的小球以初速度v0水平抛出，恰好垂直打在倾角为θ的斜面上，则球落在斜面上时重力的瞬时功率为(不计空气阻力)( )
A．mgv0tanθ B.
C. D．mgv0cosθ
答案 B
解析 小球垂直落在斜面上时重力的瞬时功率为P＝mgvy，而vytanθ＝v0，所以P＝，B正确。
3．如图所示，滑雪者由静止开始沿斜坡从A点自由滑下，然后在水平面上前进至B点停下，已知斜坡、水平面与滑雪板之间的动摩擦因数都为μ，滑雪者(包括滑雪板)的质量为m。A、B两点间的水平距离为L。在滑雪者经过AB段运动的过程中，克服摩擦力做的功( )
A．大于μmgL B．等于μmgL
C．小于μmgL D．以上三种情况都有可能
答案 B
解析 设斜坡的倾角为θ，则滑雪者从A到B的运动过程中克服摩擦力做的功：WFf＝μmgcosθLAC＋μmgLCB，由题图可知LACcosθ＋LCB＝L，两式联立可得：WFf＝μmgL，故B正确。
4．一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度释放小球。如图所示，小球从开始运动至轻绳到达竖直位置的过程中，小球重力的瞬时功率的变化情况是( )
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大，后减小 D．先减小，后增大
答案 C
解析 开始位置v＝0，重力瞬时功率为零，竖直位置重力与速度v夹角为90°，由P＝mgvcosθ知重力瞬时功率也为零，所以重力的瞬时功率先增大后减小，C正确。
5．(2018·山东预测)如图甲所示，港口码头经常使用起重机提升货物，某次货物上升过程中的v－t图象如图乙所示，下列说法正确的是( )
A．t＝4 s时，货物处于超重状态
B．3～5 s时间内，货物所受合力做的功大于零
C．0～2 s时间内，货物所受拉力做的功大于重力做的功
D．0～2 s时间内，拉力做正功，3～5 s时间内，拉力做负功
答案 C
解析 t＝4 s时，货物减速上升，向上拉力F拉
A．此物体在OA段做匀加速直线运动，且此过程中拉力的最大功率为6 W
B．此物体在OA段做匀速直线运动，且此过程中拉力的最大功率为6 W
C．此物体在AB段做匀加速直线运动，且此过程中拉力的最大功率为6 W
D．此物体在AB段做匀速直线运动，且此过程中拉力的功率恒为6 W
答案 D
解析 对物体受力分析，物体受到的摩擦力为Ff＝μmg＝2 N，由题图可知，斜率表示物体所受拉力的大小，OA段的斜率即为拉力F1＝5 N，AB段的斜率即为拉力F2＝2 N，所以物体在OA段做匀加速直线运动，在AB段F2＝Ff，故做匀速直线运动，B、C错误；在OA段，物体所受的拉力为5 N，物体做匀加速直线运动，当位移xmax＝3 m时速度最大，拉力的功率最大，vmax＝at，xmax＝at2，a＝，代入数据得vmax＝3 m/s，此时拉力的功率最大P1＝F1vmax＝15 W，A错误；在AB段，物体以3 m/s的速度做匀速直线运动，此过程中拉力的功率恒为P2＝F2vmax＝6 W，D正确。
7．(2018·广州测试)如图甲，质量为2 kg的物体在水平恒力F作用下沿粗糙的水平面运动，1 s后撤掉恒力F，其运动的vt图象如图乙，g＝10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．在0～2 s内，合外力一直做正功
B．在0.5 s时，恒力F的瞬时功率为150 W
C．在0～1 s内，合外力的平均功率为150 W
D．在0～3 s内，物体克服摩擦力做功为150 J
答案 BD
解析 由题图乙可知，0～1 s，物体做匀加速直线运动，合外力做正功，撤去F后，物体做匀减速直线运动，即1～2 s，所受合外力做负功，A错误；规定物体运动方向为正方向，则摩擦力f＝ma2＝2× N＝－10 N，F＋f＝ma1，代入数值得F＝30 N，物体在0.5 s时的速度v′＝a1t＝5 m/s，P＝Fv′＝150 W，B正确；0～1 s内W总＝ΔEk＝mv＝100 J，＝＝100 W，C错误；在0～3 s内，物体的总位移可由vt图象与时间轴围成的面积求得，x总＝×10×3 m＝15 m，Wf＝fx总＝－150 J，即物体克服摩擦力做功为150 J，D正确。
8．(2018·江西质检) 如图所示，三个质量相等的小球A、B、C从图中所示的位置以相同的速度v0水平向左抛出，最终都能到达坐标原点O，不计空气阻力，x轴为水平地面，则可以判断A、B、C三个小球( )
A．初始时刻纵坐标之比为1∶2∶3
B．在空中运动的时间之比为1∶3∶5
C．从抛出至到达O点过程中，动能的增加量之比为 1∶4∶9
D．到达O点时，重力的瞬时功率之比为1∶2∶3
答案 CD
解析 根据x＝v0t，水平初速度相同，A、B、C水平位移之比为1∶2∶3，所以它们在空中运动的时间之比为1∶2∶3，B错误；初始时刻纵坐标之比即该过程小球的下落高度之比，根据h＝gt2，初始时刻纵坐标之比为1∶4∶9，A错误；根据动能定理可知W＝mgh＝ΔEk，动能的增加量之比为1∶4∶9，C正确；到达O点时，设落地时速度为v，和重力方向夹角为θ，则重力的瞬时功率P＝mgvcosθ＝mgvy＝mg·gt，三个小球落地时重力的瞬时功率之比为1∶2∶3，D正确。
9. 如图所示，倾角θ为37°的光滑斜面上粘贴有一厚度不计、宽度为d＝0.2 m的橡胶带。橡胶带的上表面与斜面位于同一平面内，其上、下边缘与斜面的上、下边缘平行，橡胶带的上边缘到斜面的顶端距离为L＝0.4 m，现将质量为m＝1 kg、宽度为d的薄矩形板上边缘与斜面顶端平齐且从斜面顶端静止释放。已知矩形板与橡胶带之间的动摩擦因数为0.5，重力加速度取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力，矩形板由斜面顶端静止释放下滑到完全离开橡胶带的过程中(此过程矩形板始终在斜面上)，下列说法正确的是( )
A．矩形板受到的摩擦力为Ff＝4 N
B．矩形板的重力做功为WG＝3.6 J
C．产生的热量为Q＝0.8 J
D．矩形板的上边缘穿过橡胶带下边缘时的速度大小为 m/s
答案 BCD
解析 矩形板在滑过橡胶带的过程中对橡胶带的压力是变化的，所以矩形板受到的摩擦力是变化的，故A错误；重力做功WG＝mg(L＋d)sinθ＝3.6 J，所以B正确；产生的热量等于克服摩擦力做功Q＝2×μmg·cosθd＝0.8 J，所以C正确；根据动能定理：WG－Q＝mv2－0，解得v＝ m/s，所以D正确。
10．(2018·南平质检)一辆机动车在平直的公路上由静止启动。如图所示，图线A表示该车运动的速度与时间的关系，图线B表示该车的功率与时间的关系。设机车在运动过程中阻力不变，则以下说法正确的是( )
A．0～22 s内机动车先做加速度逐渐减小的加速运动，后做匀速运动
B．运动过程中机动车所受阻力为1500 N
C．机动车速度为5 m/s时牵引力大小为3×103 N
D．机动车的质量为562.5 kg
答案 BD
解析 由图线A可以看出该车在0～22 s内先做匀加速直线运动，再做加速度逐渐减小的加速直线运动，最后做匀速直线运动，故A错误；由图线A得最大速度vm＝12 m/s，匀加速直线运动维持了6 s，由图线B知该机动车的额定功率P＝18×103 W，所以所受阻力f＝＝1500 N，故B正确；机动车速度为5 m/s时，尚处在匀加速直线运动阶段，此时的牵引力与t＝6 s时相同，F＝＝ N＝2250 N，故C错误；由图线A可知匀加速直线运动阶段的加速度a＝ m/s2，由牛顿第二定律得F－f＝ma，则m＝＝562.5 kg，故D正确。
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11．(14分)如图所示，水平传送带正以2 m/s的速度运行，两端水平距离l＝8 m，把一质量m＝2 kg 的物块轻轻放到传送带的A端，物块在传送带的带动下向右运动，若物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1，则把这个物块从A端传送到B端的过程中，不计物块的大小，g取10 m/s2，求摩擦力对物块做功的平均功率。
答案 0.8 W
解析 物块放到传送带上的初始阶段，由于与传送带有相对运动，物块受向右的滑动摩擦力而做加速运动，其受向右的摩擦力大小为：
Ff＝μmg＝0.1×2×10 N＝2 N，
加速度为a＝μg＝0.1×10 m/s2＝1 m/s2
物块与传送带相对静止时的位移为：x＝＝2 m。
摩擦力做功为：W＝Ffx＝2×2 J＝4 J
相对静止后物块与传送带之间无摩擦力，此后匀速运动到B端，物块由A端到B端所用的时间为：
t＝＋＝5 s
则物块在被传送过程中所受摩擦力的平均功率为：
P＝＝0.8 W。
12．(2018·河北五个一名校联盟联考)(16分)节能混合动力车是一种可以利用汽油及所储存的电能作为动力来源的汽车。有一质量m＝1000 kg的混合动力轿车，在平直公路上以v＝90 km/h的速度匀速行驶，发动机的输出功率为P＝50 kW。当看到前方有大货车慢速行驶时，该轿车提速超过了大货车。这个过程中发动机输出功率不变，蓄电池开始工作，输出功率为P′＝20 kW。混合动力轿车提速后运动s＝1000 m时，速度达到最大，并超过大货车，然后蓄电池停止工作。全程阻力不变。求：
(1)混合动力轿车以90 km/h的速度在平直公路上匀速行驶时，所受阻力F阻的大小；
(2)混合动力轿车加速过程中达到的最大速度的大小；
(3)整个超车过程中，混合动力轿车消耗的电能E(保留两位有效数字)。
答案 (1)2×103 N (2)35 m/s (3)6.6×105 J
解析 (1)轿车牵引力与功率的关系为P＝Fv
当轿车匀速行驶时有F＝F阻
所以F阻＝＝2×103 N。
(2)轿车达到的最大速度
vmax＝＝35 m/s。
(3)在加速过程中，由动能定理有
(P＋P′)t－F阻s＝mv－mv2
消耗的电能E＝P′t
解得E＝6.6×105 J。
第1讲 功和功率
主干梳理 对点激活
知识点 功 Ⅱ
1．定义：一个物体受到力的作用，如果在力的方向上发生了一段位移，就说这个力对物体做了功。
2．物理意义：功是能量转化的量度。
3．做功的两个必要因素
(1)作用在物体上的力。
(2)物体在力的方向上发生的位移。
4．公式：W＝Flcosα
(1)α是力与位移方向之间的夹角，l为物体对地的位移。
(2)该公式只适用于恒力做功。
(3)功是标量。正负表示对物体做功的力是动力或阻力。
5．功的正负
6．一对作用力与反作用力的功
7．一对平衡力的功
一对平衡力作用在同一个物体上，若物体静止，则两个力都不做功；若物体运动，则这一对力所做的功一定是数值相等、一正一负或都为零。
知识点 功率 Ⅱ
1．定义：功与完成这些功所用时间的比值。
2．物理意义：描述力对物体做功的快慢。
3．公式
(1)P＝，P为时间t内的平均功率。
(2)P＝Fvcosα(α为F与v的夹角)
①v为平均速度，则P为平均功率。
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率。
4．额定功率
机械正常工作时的最大输出功率。
5．实际功率
机械实际工作时的功率，要求不大于额定功率。
一 思维辨析
1．功是标量，功的正负表示大小。( )
2．一个力对物体做了负功，说明这个力一定阻碍物体的运动。( )
3．滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功；静摩擦力对物体一定不做功。( )
4．作用力做正功时，反作用力一定做负功。( )
5．力对物体做功的正负是由力与位移间的夹角大小决定的。( )
6．汽车上坡时换成低挡位，其目的是减小速度得到较大的牵引力。( )
答案 1.× 2.√ 3.× 4.× 5.√ 6.√
二 对点激活
1．(人教版必修2·P59·T1改编)如图所示，质量分别为m1和m2的两个物体，m1
A．W1>W2 B．W1
答案 C
解析 由题意可得F1和F2是恒力，物体移动的位移相同，并且力与位移的夹角相等，所以由功的公式W＝Flcosθ可知，它们对物体做的功是相同的，C正确。
2．(人教版必修2·P60·T4改编)如图所示的a、b、c、d中，质量为M的物体甲受到相同的恒力F的作用，在力F作用下使物体甲在水平方向移动相同的位移。μ表示物体甲与水平面间的动摩擦因数，乙是随物体甲一起运动的小物块，比较物体甲移动的过程中力F对甲所做的功的大小( )
A．Wa最小 B．Wd最大
C．Wa>Wc D．四种情况一样大
答案 D
解析 依据功的定义式W＝Flcosθ，在本题的四种情况下，F、l、θ均相同，这样四种情况下力F所做的功一样大，故D正确。
3．(人教版必修2·P60·T3改编)(多选)一位质量m＝60 kg的滑雪运动员从高h＝10 m的斜坡自由下滑，如果运动员在下滑过程中受到的阻力F＝50 N，斜坡的倾角θ＝30°，重力加速度g取10 m/s2，运动员滑至坡底的过程中，关于各力做功的情况，下列说法正确的是( )
A．重力做功为6000 J B．阻力做功为1000 J
C．支持力不做功 D．各力做的总功为零
答案 AC
解析 重力做功WG＝mgh＝6000 J，故A正确；阻力做功WF＝－F＝－1000 J，故B错误；支持力与位移夹角为90°，不做功，故C正确；各力做的总功为5000 J，故D错误。
4．质量为m的物体沿倾角为θ的斜面滑到底端时的速度大小为v，则此时重力的瞬时功率为( )
A．mgv B．mgvsinθ
C．mgvcosθ D．mgvtanθ
答案 B
解析 重力与物体的速度之间的夹角为90°－θ，则重力的瞬时功率为P＝mgvcos(90°－θ)＝mgvsinθ，所以B正确。
考点细研 悟法培优
考点1 功的正负判断与恒力、合力做功的计算
1.定性的判断力是否做功及做正、负功的方法
(1)看力F的方向与位移l的方向间的夹角α——常用于恒力做功的情形。
(2)看力F的方向与速度v的方向间的夹角θ——常用于曲线运动的情形。
(3)根据动能的变化：动能定理描述了合外力做功与动能变化的关系，即W合＝ΔEk，当动能增加时合外力做正功，当动能减少时合外力做负功。
(4)根据功能关系或能量守恒定律判断。
2．恒力做功的计算方法
直接用W＝ Flcosα计算。
3．合力做功的计算方法
方法一：先求合力F合，再用W合＝F合lcosα求功。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合力做的功。
方法三：先求动能变化ΔEk，再利用动能定理W合＝ΔEk求功。
例1 (2018·湖北武汉调研)一滑块在水平地面上沿直线滑行，t＝0时其速度为1 m/s，从此刻开始在滑块运动方向上再施加一水平作用力F，力F、滑块的速率v随时间的变化规律分别如图甲和图乙所示，设在第1 s内、第2 s内、第3 s内力F对滑块做的功分别为W1、W2、W3，则以下关系正确的是( )
A．W1＝W2＝W3 B．W1
提示：均各为恒力。
(2)力的方向和位移方向发生过改变吗？
提示：没有。
尝试解答 选B。
由v－t图线得
第1 s内滑块位移x1＝0.5 m，
第2 s内滑块位移x2＝0.5 m，
第3 s内滑块位移x3＝1 m。
第1 s内力F对滑块做功W1＝F1x1＝0.5 J，
第2 s内力F对滑块做功W2＝F2x2＝1.5 J，
第3 s内力F对滑块做功W3＝F3x3＝2 J，
所以W1
总结升华
1．使用W＝Flcosα应注意的几个问题
(1)位移l
①“l”应取作用点的位移。
②“l”的取值一般以地面为参考系。
(2)力F
①力的独立性原理，即求某个力做的功仅与该力及物体沿该力方向的位移有关，而与其他力是否存在、是否做功无关。
②力只能是恒力。此公式只能求恒力做功。
(3)α是l与F之间的夹角。
2．摩擦力做功的特点
(1)单个摩擦力(包括静摩擦力和滑动摩擦力)可以做正功，也可以做负功，还可以不做功。
(2)相互作用的一对静摩擦力做功的代数和总等于零；相互作用的一对滑动摩擦力做功的代数和不为零，且总为负值。
(3)相互作用的一对滑动摩擦力做功过程中会发生物体间机械能转移和机械能转化为内能，内能Q＝Ffx相对。
[变式1－1] 图甲为一女士站在台阶式自动扶梯上匀速上楼(忽略扶梯对手的作用)，图乙为一男士站在履带式自动扶梯上匀速上楼，两人相对扶梯均静止。下列关于力做功的判断正确的是( )
A．甲图中支持力对人做正功
B．甲图中摩擦力对人做负功
C．乙图中支持力对人做正功
D．乙图中摩擦力对人做负功
答案 A
解析 对图甲中女士受力分析如图1，受重力和支持力两个力，支持力与速度v的夹角为锐角，做正功，故A正确，B错误。对图乙中男士受力分析如图2，受重力、支持力与静摩擦力，支持力与速度v的夹角为90°，不做功，Ff与速度方向相同，做正功，故C、D均错误。
[变式1－2] (多选)如图所示，建筑工人通过滑轮装置将一质量是100 kg的料车沿30°角的斜面由底端匀速地拉到顶端，斜面长L是4 m，若不计滑轮的质量和各处的摩擦力，g取10 N/kg，则对这一过程下列说法哪些正确( )
A．人拉绳子的力做功为1000 J
B．人拉绳子的力做功为2000 J
C．料车的重力做功为2000 J
D．料车受到的合力对料车做的总功为0
答案 BD
解析 工人拉绳子的力：F＝mgsin30°＝250 N，工人将料车拉到斜面顶端时，力F作用点的位移：l＝2L＝8 m，人拉绳子的力做的功W＝Fl＝2000 J，故A错误，B正确。重力做功：W2＝－mgh＝－mgLsin30°＝－2000 J，故C错误。由于料车在斜面上匀速运动，则料车所受的合力为0，故W合＝0，D正确。
考点2 变力做功的计算方法
例2 (多选)如图所示，n个完全相同，边长足够小且互不粘连的小方块依次排列，总长度为l，总质量为M，它们一起以速度v在光滑水平面上滑动，某时刻开始滑上粗糙水平面。小方块与粗糙水平面之间的动摩擦因数为μ，若小方块恰能完全进入粗糙水平面，则摩擦力对所有小方块所做功的数值为( )
A.Mv2 B．Mv2
C.μMgl D．μMgl
解题探究 (1)所有小方块恰能完全进入粗糙水平面，说明小方块末速度为零，对吗？
提示：对。
(2)所有小方块受到的摩擦力为变力，与位移有什么关系？
提示：Ff＝μx。
尝试解答 选AC。
小方块恰能完全进入粗糙水平面，说明小方块进入粗糙水平面后速度为零，以所有小方块为研究对象，据动能定理得：Wf＝0－Mv2，所以所有小方块克服摩擦力做功为Mv2，故A正确，B错误。由于摩擦力是变力，联立Ff＝μFN和FN＝·x，得Ff＝·x，画出Ff－x图象如图所示：
Ff－x图象与x轴围成的面积代表克服摩擦力做的功，大小为μMgl，故C正确，D错误。
总结升华
选对方法求变力做功
遇见变力做功问题时，依题意选准方法，平时要注意多总结，除了以上方法还可以用功率求功，机车类发动机保持功率P恒定做变速运动时，牵引力是变力，牵引力做功W＝Pt。
[变式2－1] (2018·安庆模拟)(多选)如图所示，摆球质量为m，悬线长度为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球从A点运动到B点的过程中空气阻力的大小F阻不变，则下列说法正确的是( )
A．重力做功为mgL
B．悬线的拉力做功为0
C．空气阻力做功为－mgL
D．空气阻力做功为－F阻πL
答案 ABD
解析 摆球下落过程中，重力做功为mgL，A正确；悬线的拉力始终与速度方向垂直，故做功为0，B正确；空气阻力的大小不变，方向始终与速度方向相反，故做功为－F阻·πL，C错误，D正确。
[变式2－2] (2018·江西南昌模拟)用一根绳子竖直向上拉一个物块，物块从静止开始运动，绳子拉力的功率按如图所示规律变化，0～t0时间内物块做匀加速直线运动，t0时刻后物块继续加速，t1时刻物块达到最大速度。已知物块的质量为m，重力加速度为g，则下列说法正确的是( )
A．物块始终做匀加速直线运动
B．0～t0时间内物块的加速度大小为
C．t0时刻物块的速度大小为
D．0～t1时间内绳子拉力做的总功为P0
答案 D
解析 由图象知，t0时刻后拉力的功率保持不变，根据P0＝Fv知，v增大，F减小，物块做加速度减小的加速运动，当加速度减小到零，物块做匀速直线运动，A错误；0～t0时间内，由P＝Fv，v＝at，F－mg＝ma得P＝m(g＋a)at，则m(g＋a)a＝，得a＝，B错误；在t1时刻速度达到最大值vm，拉力大小等于物块重力大小，则P0＝mgvm，得速度vm＝，由于t0时刻物块的速度v0
1．平均功率的计算方法
(1)利用＝。
(2)利用＝F·cosθ，其中为物体运动的平均速度，F为恒力。
2．瞬时功率的计算方法
利用公式P＝F·vcosθ，其中v为t时刻的瞬时速度。
例3 (2018·襄阳调研)如图1所示，物体受到水平推力F的作用在粗糙水平面上做直线运动。监测到推力F、物体速度v随时间t变化的规律如图2、3所示，g＝10 m/s2，则( )
A．第1 s内推力做的功为1 J
B．第2 s内物体克服摩擦力做的功W＝2 J
C．第1.5 s时推力F做功的功率为2 W
D．第2 s内推力F做功的平均功率＝1.5 W
解题探究 (1)第3 s内物体匀速运动，可以求出摩擦力大小为多少？
提示：f＝2 N。
(2)由图3知1.5 s时物体速度为多少？
提示：1 m/s。
尝试解答 选B。
由题图3可知，第1 s内物体的速度为零，物体静止不动，故位移为零，推力不做功，A错误；第2 s内推力为3 N，第3 s内推力为2 N且物体做匀速直线运动，则可知摩擦力f＝2 N，物体第2 s内的位移x＝1 m，则克服摩擦力所做的功W＝fx＝2 J，B正确；第1.5 s时推力为3 N，速度v＝1 m/s，则推力F做功的功率P＝3×1 W＝3 W，C错误；第2 s内平均速度＝1 m/s，推力F＝3 N，推力F做功的平均功率＝F＝3 W，D错误。
总结升华
求力做功的功率时应注意的问题
(1)明确所求功率是平均功率还是瞬时功率。求平均功率首选P＝，其次是用P＝F·cosα，应容易求得，如求匀变速直线运动中某力的平均功率。
(2)求瞬时功率用P＝Fvcosα要注意F与v方向间的夹角α对结果的影响，功率是力与力的方向上速度的乘积。
[变式3] (2018·白银模拟)如图所示，小物块甲从竖直固定的光滑圆弧轨道顶端由静止滑下，轨道半径为R，圆弧底端切线水平。小物块乙从高为R的光滑斜面顶端由静止滑下。下列判断正确的是( )
A．两物块到达底端时速度相同
B．两物块运动到底端的过程中重力做功相同
C．两物块到达底端时动能相同
D．两物块到达底端时，乙的重力做功的瞬时功率大于甲的重力做功的瞬时功率
答案 D
解析 由机械能守恒定律可知，到达底端时速度大小相同、方向不同，故A错误；由于甲、乙物块质量关系不清楚，所以虽然速度大小相同，重力做功、到达底端时动能不一定相同，故B、C错误；到达底端时，甲的重力做功的瞬时功率为零，乙的重力做功的瞬时功率大于零，故D正确。
考点4 机车启动问题
1．两种启动方式的比较
续表
2．三个重要关系式
(1)无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速直线运动时的速度，即vm＝＝(式中Fmin为最小牵引力，其值等于阻力F阻)。
(2)机车以恒定加速度启动的运动过程中，匀加速过程结束时，功率最大，速度不是最大，即v＝
例4 (2018·河北高三月考)(多选)下列各图是反映汽车(额定功率P额)从静止开始匀加速启动，最后做匀速直线运动的过程中，其速度随时间以及加速度、牵引力和功率随速度变化的图象，其中正确的是( )
解题探究 (1)汽车从静止开始匀加速启动，能一直匀加速吗？
提示：不能。当P＝P额时再匀加速，机车发动机会烧毁。
(2)汽车最后匀速阶段，有什么典型特征？
提示：a＝0，F＝f。
尝试解答 选ACD。
从静止开始匀加速启动，由公式P＝Fv及题意知，当力恒定时，随着速度的增加功率P增大，当P＝P额时，功率不再增加，此时，牵引力F－f＝ma，v1＝，速度继续增加，牵引力减小，此后汽车做加速度逐渐减小的加速运动，当F＝f时，a＝0，速度达最大，vm＝，做匀速直线运动。由以上分析知，B错误，A、C、D正确。
总结升华
解决机车启动问题时的四点注意
(1)首先弄清是匀加速启动还是恒定功率启动。
(2)若是匀加速启动过程，机车功率是不断改变的，但该过程中的最大功率是额定功率，匀加速直线运动阶段的最大速度小于机车所能达到的最大速度，达到额定功率后做加速度减小的加速运动。
(3)若是以额定功率启动的过程，机车做加速度减小的加速运动，匀变速直线运动的规律不能用，速度最大值等于，牵引力是变力，牵引力做的功可用W＝Pt计算，但不能用W＝Flcosθ计算。
(4)无论哪种启动方式，最后达到最大速度时，均满足P＝Ffvm，P为机车的额定功率。
[变式4－1] (2018·太原五中阶段性测试)某兴趣小组对一辆自制遥控小车的性能进行研究，他们让这辆小车在水平的直轨道上以恒定加速度由静止启动，并将小车运动的全过程记录下来，通过处理转化为v－t图象，如图所示(除2～10 s时间段内的图象为曲线外，其余时间段图象均为直线)，2 s后小车的功率不变，可认为在整个过程中小车所受到的阻力大小不变。小车的质量为1 kg，则小车在0～10 s运动过程中位移的大小为( )
A．39 m B．42 m C．45 m D．48 m
答案 B
解析 小车在前2 s内做匀加速直线运动，其加速度a＝＝1.5 m/s2,2 s后功率不变，在2 s时有F－f＝ma，得F＝f＋1.5，此时功率P＝Fv＝(f＋1.5)×3，此后小车做功率恒定的变加速运动，当速度达到最大时有P＝fvm＝f×6，整理得f＝1.5 N，P＝9 W，第一阶段匀加速的位移x1＝at＝3 m，第二阶段变加速，由动能定理有Pt2－fx2＝m(v－v2)，得x2＝39 m，两段的总位移x＝x1＋x2＝42 m，B正确，A、C、D错误。
[变式4－2] (多选)如图所示为汽车的加速度和车速倒数的关系图象。若汽车质量为2×103 kg，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30 m/s，则( )
A．汽车所受阻力为2×103 N
B．汽车在车速为15 m/s时，功率为6×104 W
C．汽车匀加速的加速度为3 m/s2
D．汽车匀加速所需时间为5 s
答案 ABD
解析 设汽车所受阻力大小为Ff，由汽车的加速度和车速倒数的关系图象可知，汽车从静止开始先做匀加速运动，加速度a＝2 m/s2，直到速度达到v1＝10 m/s，则匀加速阶段所用时间为t＝＝5 s，此时汽车的牵引力功率达到最大，即Pm＝(Ff＋ma)v1；接下来做加速度逐渐减小的变加速运动，汽车的牵引力功率保持不变，当速度达到v2＝30 m/s时，加速度为零，F＝Ff，速度达到最大，此时Pm＝Ffv2，则解得Ff＝2×103 N，Pm＝6×104 W，当汽车在车速为15 m/s时汽车已经达到最大功率，功率为6×104 W，所以正确选项为A、B、D。
高考模拟 随堂集训
1．(2018·全国卷Ⅲ)(多选)地下矿井中的矿石装在矿车中，用电机通过竖井运送至地面。某竖井中矿车提升的速度大小v随时间t的变化关系如图所示，其中图线①②分别描述两次不同的提升过程，它们变速阶段加速度的大小都相同；两次提升的高度相同，提升的质量相等。不考虑摩擦阻力和空气阻力。对于第①次和第②次提升过程( )
A．矿车上升所用的时间之比为4∶5
B．电机的最大牵引力之比为2∶1
C．电机输出的最大功率之比为2∶1
D．电机所做的功之比为4∶5
答案 AC
解析 设第②次所用时间为t，根据速度图象与t轴所围的面积等于位移(此题中为提升的高度)可知，×2t0×v0＝××v0，解得：t＝，所以第①次和第②次提升过程所用时间之比为2t0∶＝4∶5，A正确；由于两次提升变速阶段的加速度大小相同，在匀加速阶段，由牛顿第二定律，F－mg＝ma，可得提升的最大牵引力之比为1∶1，B错误；由功率公式P＝Fv，电机输出的最大功率之比等于最大速度之比，为2∶1，C正确；两次提升过程中动能增加量均为0，由动能定理得W电－mgh＝0，两次提升高度h相同，所以电机两次做功相同，D错误。
2．(2017·全国卷Ⅱ) 如图，一光滑大圆环固定在桌面上，环面位于竖直平面内，在大圆环上套着一个小环。小环由大圆环的最高点从静止开始下滑，在小环下滑的过程中，大圆环对它的作用力( )
A．一直不做功 B．一直做正功
C．始终指向大圆环圆心 D．始终背离大圆环圆心
答案 A
解析 光滑大圆环对小环只有弹力作用，弹力方向沿大圆环的半径方向(下滑过程先背离圆心，后指向圆心)，与小环的速度方向始终垂直，不做功。故选A。
3．(2017·天津高考) “天津之眼”是一座跨河建设、桥轮合一的摩天轮，是天津市的地标之一。摩天轮悬挂透明座舱，乘客随座舱在竖直面内做匀速圆周运动。下列叙述正确的是( )
A．摩天轮转动过程中，乘客的机械能保持不变
B．在最高点时，乘客重力大于座椅对他的支持力
C．摩天轮转动一周的过程中，乘客重力的冲量为零
D．摩天轮转动过程中，乘客重力的瞬时功率保持不变
答案 B
解析 摩天轮转动过程中，乘客的动能不变，重力势能不断变化，故乘客的机械能不断变化，A错误；乘客在最高点时，具有向下的加速度，处于失重状态，B正确；根据I＝Ft知，重力的冲量不为0，C错误；根据P＝mgvcosθ，θ为力方向与速度方向之间的夹角，摩天轮转动过程中，θ不断变化，重力的瞬时功率不断变化，D错误。
4．(2018·天津高考) 我国自行研制、具有完全自主知识产权的新一代大型喷气式客机C919首飞成功后，拉开了全面试验试飞的新征程，假设飞机在水平跑道上的滑跑是初速度为零的匀加速直线运动，当位移x＝1.6×103 m时才能达到起飞所要求的速度v＝80 m/s，已知飞机质量m＝7.0×104 kg，滑跑时受到的阻力为自身重力的0.1倍，重力加速度取g＝10 m/s2，求飞机滑跑过程中
(1)加速度a的大小；
(2)牵引力的平均功率P。
答案 (1)2 m/s2 (2)8.4×106 W
解析 (1)飞机滑跑过程中做初速度为零的匀加速直线运动，有v2＝2ax①
代入数据解得a＝2 m/s2②
(2)设飞机滑跑受到的阻力为F阻，根据题意可得
F阻＝0.1mg③
设发动机的牵引力为F，根据牛顿第二定律有
F－F阻＝ma④
设飞机滑跑过程中的平均速度为，有＝ ⑤
在滑跑阶段，牵引力的平均功率P＝F⑥
联立②③④⑤⑥式得P＝8.4×106 W。
5．(2017·江苏高考)如图所示，两个半圆柱A、B紧靠着静置于水平地面上，其上有一光滑圆柱C，三者半径均为R。C的质量为m，A、B的质量都为，与地面间的动摩擦因数均为μ。现用水平向右的力拉A，使A缓慢移动，直至C恰好降到地面。整个过程中B保持静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。求：
(1)未拉A时，C受到B作用力的大小F；
(2)动摩擦因数的最小值μmin；
(3)A移动的整个过程中，拉力做的功W。
答案 (1)mg (2) (3)(2μ－1)(－1)mgR
解析 (1)对C受力分析，如图所示。
根据平衡条件有2Fcos30°＝mg
解得F＝mg。
(2)C恰好降到地面时，F＝mg，
B受C压力的水平分力最大
Fxmax＝F·cos30°，
Fxmax＝mg
B受地面的摩擦力f＝μmg
根据题意，B保持静止，则有fmin＝Fxmax
解得μmin＝。
(3)C下降的高度h＝(－1)R
A的位移x＝2(－1)R
摩擦力做功的大小Wf＝fx＝2(－1)μmgR
根据动能定理W－Wf＋mgh＝0－0
解得W＝(2μ－1)(－1)mgR。
配套课时作业
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(本题共10小题，每小题7分，共70分。其中1～6为单选，7～10为多选)
1．如图所示，物块A、B在外力F的作用下一起沿水平地面做匀速直线运动的过程中，下列关于A对地面的滑动摩擦力做功和B对A的静摩擦力做功的说法正确的是( )
A．静摩擦力做正功，滑动摩擦力做负功
B．静摩擦力不做功，滑动摩擦力做负功
C．静摩擦力做正功，滑动摩擦力不做功
D．静摩擦力做负功，滑动摩擦力做正功
答案 C
解析 A对地面虽然有摩擦力，但在力的作用下地面没有发生位移，所以滑动摩擦力不做功，B对A的静摩擦力向右，A的位移也向右，所以该静摩擦力做正功，故C正确。
2．如图所示，质量为m的小球以初速度v0水平抛出，恰好垂直打在倾角为θ的斜面上，则球落在斜面上时重力的瞬时功率为(不计空气阻力)( )
A．mgv0tanθ B.
C. D．mgv0cosθ
答案 B
解析 小球垂直落在斜面上时重力的瞬时功率为P＝mgvy，而vytanθ＝v0，所以P＝，B正确。
3．如图所示，滑雪者由静止开始沿斜坡从A点自由滑下，然后在水平面上前进至B点停下，已知斜坡、水平面与滑雪板之间的动摩擦因数都为μ，滑雪者(包括滑雪板)的质量为m。A、B两点间的水平距离为L。在滑雪者经过AB段运动的过程中，克服摩擦力做的功( )
A．大于μmgL B．等于μmgL
C．小于μmgL D．以上三种情况都有可能
答案 B
解析 设斜坡的倾角为θ，则滑雪者从A到B的运动过程中克服摩擦力做的功：WFf＝μmgcosθLAC＋μmgLCB，由题图可知LACcosθ＋LCB＝L，两式联立可得：WFf＝μmgL，故B正确。
4．一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平，然后无初速度释放小球。如图所示，小球从开始运动至轻绳到达竖直位置的过程中，小球重力的瞬时功率的变化情况是( )
A．一直增大 B．一直减小
C．先增大，后减小 D．先减小，后增大
答案 C
解析 开始位置v＝0，重力瞬时功率为零，竖直位置重力与速度v夹角为90°，由P＝mgvcosθ知重力瞬时功率也为零，所以重力的瞬时功率先增大后减小，C正确。
5．(2018·山东预测)如图甲所示，港口码头经常使用起重机提升货物，某次货物上升过程中的v－t图象如图乙所示，下列说法正确的是( )
A．t＝4 s时，货物处于超重状态
B．3～5 s时间内，货物所受合力做的功大于零
C．0～2 s时间内，货物所受拉力做的功大于重力做的功
D．0～2 s时间内，拉力做正功，3～5 s时间内，拉力做负功
答案 C
解析 t＝4 s时，货物减速上升，向上拉力F拉
A．此物体在OA段做匀加速直线运动，且此过程中拉力的最大功率为6 W
B．此物体在OA段做匀速直线运动，且此过程中拉力的最大功率为6 W
C．此物体在AB段做匀加速直线运动，且此过程中拉力的最大功率为6 W
D．此物体在AB段做匀速直线运动，且此过程中拉力的功率恒为6 W
答案 D
解析 对物体受力分析，物体受到的摩擦力为Ff＝μmg＝2 N，由题图可知，斜率表示物体所受拉力的大小，OA段的斜率即为拉力F1＝5 N，AB段的斜率即为拉力F2＝2 N，所以物体在OA段做匀加速直线运动，在AB段F2＝Ff，故做匀速直线运动，B、C错误；在OA段，物体所受的拉力为5 N，物体做匀加速直线运动，当位移xmax＝3 m时速度最大，拉力的功率最大，vmax＝at，xmax＝at2，a＝，代入数据得vmax＝3 m/s，此时拉力的功率最大P1＝F1vmax＝15 W，A错误；在AB段，物体以3 m/s的速度做匀速直线运动，此过程中拉力的功率恒为P2＝F2vmax＝6 W，D正确。
7．(2018·广州测试)如图甲，质量为2 kg的物体在水平恒力F作用下沿粗糙的水平面运动，1 s后撤掉恒力F，其运动的vt图象如图乙，g＝10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．在0～2 s内，合外力一直做正功
B．在0.5 s时，恒力F的瞬时功率为150 W
C．在0～1 s内，合外力的平均功率为150 W
D．在0～3 s内，物体克服摩擦力做功为150 J
答案 BD
解析 由题图乙可知，0～1 s，物体做匀加速直线运动，合外力做正功，撤去F后，物体做匀减速直线运动，即1～2 s，所受合外力做负功，A错误；规定物体运动方向为正方向，则摩擦力f＝ma2＝2× N＝－10 N，F＋f＝ma1，代入数值得F＝30 N，物体在0.5 s时的速度v′＝a1t＝5 m/s，P＝Fv′＝150 W，B正确；0～1 s内W总＝ΔEk＝mv＝100 J，＝＝100 W，C错误；在0～3 s内，物体的总位移可由vt图象与时间轴围成的面积求得，x总＝×10×3 m＝15 m，Wf＝fx总＝－150 J，即物体克服摩擦力做功为150 J，D正确。
8．(2018·江西质检) 如图所示，三个质量相等的小球A、B、C从图中所示的位置以相同的速度v0水平向左抛出，最终都能到达坐标原点O，不计空气阻力，x轴为水平地面，则可以判断A、B、C三个小球( )
A．初始时刻纵坐标之比为1∶2∶3
B．在空中运动的时间之比为1∶3∶5
C．从抛出至到达O点过程中，动能的增加量之比为 1∶4∶9
D．到达O点时，重力的瞬时功率之比为1∶2∶3
答案 CD
解析 根据x＝v0t，水平初速度相同，A、B、C水平位移之比为1∶2∶3，所以它们在空中运动的时间之比为1∶2∶3，B错误；初始时刻纵坐标之比即该过程小球的下落高度之比，根据h＝gt2，初始时刻纵坐标之比为1∶4∶9，A错误；根据动能定理可知W＝mgh＝ΔEk，动能的增加量之比为1∶4∶9，C正确；到达O点时，设落地时速度为v，和重力方向夹角为θ，则重力的瞬时功率P＝mgvcosθ＝mgvy＝mg·gt，三个小球落地时重力的瞬时功率之比为1∶2∶3，D正确。
9. 如图所示，倾角θ为37°的光滑斜面上粘贴有一厚度不计、宽度为d＝0.2 m的橡胶带。橡胶带的上表面与斜面位于同一平面内，其上、下边缘与斜面的上、下边缘平行，橡胶带的上边缘到斜面的顶端距离为L＝0.4 m，现将质量为m＝1 kg、宽度为d的薄矩形板上边缘与斜面顶端平齐且从斜面顶端静止释放。已知矩形板与橡胶带之间的动摩擦因数为0.5，重力加速度取g＝10 m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力，矩形板由斜面顶端静止释放下滑到完全离开橡胶带的过程中(此过程矩形板始终在斜面上)，下列说法正确的是( )
A．矩形板受到的摩擦力为Ff＝4 N
B．矩形板的重力做功为WG＝3.6 J
C．产生的热量为Q＝0.8 J
D．矩形板的上边缘穿过橡胶带下边缘时的速度大小为 m/s
答案 BCD
解析 矩形板在滑过橡胶带的过程中对橡胶带的压力是变化的，所以矩形板受到的摩擦力是变化的，故A错误；重力做功WG＝mg(L＋d)sinθ＝3.6 J，所以B正确；产生的热量等于克服摩擦力做功Q＝2×μmg·cosθd＝0.8 J，所以C正确；根据动能定理：WG－Q＝mv2－0，解得v＝ m/s，所以D正确。
10．(2018·南平质检)一辆机动车在平直的公路上由静止启动。如图所示，图线A表示该车运动的速度与时间的关系，图线B表示该车的功率与时间的关系。设机车在运动过程中阻力不变，则以下说法正确的是( )
A．0～22 s内机动车先做加速度逐渐减小的加速运动，后做匀速运动
B．运动过程中机动车所受阻力为1500 N
C．机动车速度为5 m/s时牵引力大小为3×103 N
D．机动车的质量为562.5 kg
答案 BD
解析 由图线A可以看出该车在0～22 s内先做匀加速直线运动，再做加速度逐渐减小的加速直线运动，最后做匀速直线运动，故A错误；由图线A得最大速度vm＝12 m/s，匀加速直线运动维持了6 s，由图线B知该机动车的额定功率P＝18×103 W，所以所受阻力f＝＝1500 N，故B正确；机动车速度为5 m/s时，尚处在匀加速直线运动阶段，此时的牵引力与t＝6 s时相同，F＝＝ N＝2250 N，故C错误；由图线A可知匀加速直线运动阶段的加速度a＝ m/s2，由牛顿第二定律得F－f＝ma，则m＝＝562.5 kg，故D正确。
二、非选择题(本题共2小题，共30分)
11．(14分)如图所示，水平传送带正以2 m/s的速度运行，两端水平距离l＝8 m，把一质量m＝2 kg 的物块轻轻放到传送带的A端，物块在传送带的带动下向右运动，若物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.1，则把这个物块从A端传送到B端的过程中，不计物块的大小，g取10 m/s2，求摩擦力对物块做功的平均功率。
答案 0.8 W
解析 物块放到传送带上的初始阶段，由于与传送带有相对运动，物块受向右的滑动摩擦力而做加速运动，其受向右的摩擦力大小为：
Ff＝μmg＝0.1×2×10 N＝2 N，
加速度为a＝μg＝0.1×10 m/s2＝1 m/s2
物块与传送带相对静止时的位移为：x＝＝2 m。
摩擦力做功为：W＝Ffx＝2×2 J＝4 J
相对静止后物块与传送带之间无摩擦力，此后匀速运动到B端，物块由A端到B端所用的时间为：
t＝＋＝5 s
则物块在被传送过程中所受摩擦力的平均功率为：
P＝＝0.8 W。
12．(2018·河北五个一名校联盟联考)(16分)节能混合动力车是一种可以利用汽油及所储存的电能作为动力来源的汽车。有一质量m＝1000 kg的混合动力轿车，在平直公路上以v＝90 km/h的速度匀速行驶，发动机的输出功率为P＝50 kW。当看到前方有大货车慢速行驶时，该轿车提速超过了大货车。这个过程中发动机输出功率不变，蓄电池开始工作，输出功率为P′＝20 kW。混合动力轿车提速后运动s＝1000 m时，速度达到最大，并超过大货车，然后蓄电池停止工作。全程阻力不变。求：
(1)混合动力轿车以90 km/h的速度在平直公路上匀速行驶时，所受阻力F阻的大小；
(2)混合动力轿车加速过程中达到的最大速度的大小；
(3)整个超车过程中，混合动力轿车消耗的电能E(保留两位有效数字)。
答案 (1)2×103 N (2)35 m/s (3)6.6×105 J
解析 (1)轿车牵引力与功率的关系为P＝Fv
当轿车匀速行驶时有F＝F阻
所以F阻＝＝2×103 N。
(2)轿车达到的最大速度
vmax＝＝35 m/s。
(3)在加速过程中，由动能定理有
(P＋P′)t－F阻s＝mv－mv2
消耗的电能E＝P′t
解得E＝6.6×105 J。
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