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2020年高考物理新课标第一轮总复习讲义：第五章第四讲 功能关系 能量守恒定律
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基础复习课
第四讲 功能关系 能量守恒定律
[小题快练]
1．判断题
(1)能量在转移或转化过程中，其总量会不断减少．( × )
(2)在物体的机械能减少的过程中，动能有可能是增大的．( √ )
(3)既然能量在转移或转化过程中是守恒的，故没有必要节约能源．( × )
(4)滑动摩擦力做功时，一定会引起机械能的转化．( √ )
(5)一个物体的能量增加，必定有别的物体能量减少．( √ )
2．自然现象中蕴藏着许多物理知识，如图所示为一个盛水袋，某人从侧面缓慢推袋壁使它变形，则水的势能( A )
A．增大 B．变小
C．不变 D．不能确定
3．蹦极是一项既惊险又刺激的运动，深受年轻人的喜爱．如图所示，蹦极者从P点由静止跳下，到达A处时弹性绳刚好伸直，继续下降到最低点B处，B离水面还有数米距离．蹦极者(视为质点)在其下降的整个过程中，重力势能的减少量为ΔE1，绳的弹性势能的增加量为ΔE2，克服空气阻力做的功为W，则下列说法正确的是( C )
A．蹦极者从P到A的运动过程中，机械能守恒
B．蹦极者与绳组成的系统从A到B的运动过程中，机械能守恒
C．ΔE1＝W＋ΔE2
D．ΔE1＋ΔE2＝W
4．(多选)起跳摸高是学生经常进行的一项体育活动．一质量为m的同学弯曲两腿向下蹲，然后用力蹬地起跳，从该同学用力蹬地到刚离开地面的起跳过程中，他的重心上升了h，离地时他的速度大小为v.下列说法正确的是( BD )
A．该同学机械能增加了mgh
B．起跳过程中该同学机械能增量为mgh＋mv2
C．地面的支持力对该同学做功为mgh＋mv2
D．该同学所受的合外力对其做功为mv2
考点一 功能关系的理解与应用 (师生共研)
功是能量转化的量度，力学中几种常见的功能关系如下：
[典例1] (多选)如图所示，在升降机内有一固定的光滑斜面体，一轻弹簧的一端连在位于斜面体下方的固定木板A上，另一端与质量为m的物块B相连，弹簧与斜面平行．升降机由静止开始加速上升高度h的过程中( )
A．物块B的重力势能增加量一定等于mgh
B．物块B的动能增加量等于斜面的支持力和弹簧的弹力对其做功的代数和
C．物块B的机械能增加量等于斜面的支持力和弹簧的弹力对其做功的代数和
D．物块B和弹簧组成系统的机械能的增加量等于斜面对物块B的支持力和A对弹簧的弹力做功的代数和
解析：物块B开始受重力、支持力、弹簧的弹力，处于平衡状态，当具有向上的加速度时，合力向上，弹簧弹力和支持力在竖直方向上的合力大于重力，所以弹簧的弹力增大，物块B相对于斜面向下运动，物块B上升的高度小于h，所以重力势能的增加量小于mgh，A错误；由动能定理可知，动能增加量等于合力做的功，经受力分析可知，物块B受三个力的作用，除弹簧弹力和支持力外，还有重力，B错误；由功能关系可知，机械能的增量等于除了重力外其他力对系统做的功，分别对B和B与弹簧组成的系统受力分析，可知C、D正确．
答案：CD
[易错提醒]
根据功能关系可知，重力对物体做负功时重力势能增加．升降机由静止开始加速上升高度h的过程中，学生会想当然地认为B也上升了h，学生忽略了和B相连的有一个弹簧，在这个过程中弹簧形变有可能发生变化．本题必须结合运动状态对B进行受力分析，即物块B开始受重力、支持力、弹簧的弹力处于平衡状态，当具有向上的加速度时，合力向上，弹簧弹力和支持力在竖直方向上的合力大于重力，所以弹簧的弹力增大，物块B相对于斜面向下运动，物块B上升的高度小于h.本题学生如果没有对B进行受力分析的话，易错选A.
1－1.[单个物体的功能关系] 质量为m的物体，由静止开始下落，由于阻力作用，下落的加速度为，在物体下落h的过程中，下列说法中错误的是( )
A．物体的动能增加了
B．物体的机械能减少了
C．物体克服阻力所做的功为
D．物体的重力势能减少了mgh
答案：B
1－2.[系统功能关系] (多选)如图所示，光滑水平面上放着足够长的木板B，木板B上放着木块A，A、B间的接触面粗糙，现在用一水平拉力F作用在A上，使其由静止开始运动，则下列说法正确的是( )
A．拉力F做的功等于A、B系统动能的增加量
B．拉力F做的功大于A、B系统动能的增加量
C．拉力F和B对A做的功之和小于A的动能的增加量
D．A对B做的功等于B的动能的增加量
解析：对整体分析可知，F做功转化为两个物体的动能及系统的内能，故F做的功一定大于A、B系统动能的增加量，故A错误，B正确；由动能定理可知，拉力F和B对A做的功之和等于A的动能的增加量，C错误；根据动能定理可知，A对B做的功等于B的动能的增加量，D正确．
答案：BD
考点二 摩擦力做功的特点及应用 (自主学习)
1．两种摩擦力做功的比较
2.求解相对滑动物体的能量问题的方法
(1)正确分析物体的运动过程，做好受力分析．
(2)利用运动学公式，结合牛顿第二定律分析物体的速度关系及位移关系.
(3)公式W＝Ff·l相对中l相对为两接触物体间的相对位移，若物体在传送带上做往复运动时，则l相对为总的相对路程．
2－1. [摩擦生热] 如图所示，木块A放在木板B的左端上方，用水平恒力F将A拉到B的右端，第一次将B固定在地面上，F做功W1，生热Q1；第二次让B在光滑水平面可自由滑动，F做功W2，生热Q2，则下列关系中正确的是( )
A．W1＜W2，Q1＝Q2 B．W1＝W2，Q1＝Q2
C．W1＜W2，Q1＜Q2 D．W1＝W2，Q1＜Q2
解析：木块A从木板B左端滑到右端克服摩擦力所做的功W＝Ffs，因为木板B不固定时木板A的位移要比木板B固定时大，所以W1＜W2；摩擦产生的热量Q＝Ffl相对，两次都从木块B左端滑到右端，相对位移相等，所以Q1＝Q2，故选A.
答案：A
2－2. [滑动摩擦力的功能关系] 如图所示，固定在地面上的半圆轨道直径ab水平，质点P从a点正上方高H处自由下落，经过轨道后从b点冲出竖直上抛，上升的最大高度为H，空气阻力不计，当质点下落再经过轨道a点冲出时，能上升的最大高度h为( )
A．h＝H B．h＝
C．h＜ D．＜h＜
答案：D
2－3. [静摩擦力的功能关系] 如图所示，某同学不慎将圆柱形木塞(木塞的中心有一小孔)卡于圆柱形金属筒的靠近封闭端的位置，为了拿出木塞，该同学将金属筒倒立过来(开口端向下)，使其由静止开始沿竖直方向向下做加速运动(加速度值大于重力加速度值)，此过程中木塞始终相对金属筒静止，当金属筒的速度达到一定值时，金属筒的开口端撞击到桌面，且其速度立即减为零．
此后木塞沿金属筒壁继续竖直向下运动，运动到金属筒口边缘时速度恰好减为零．若木塞与金属筒壁间的动摩擦因数处处相等，则关于金属筒从静止开始运动至木塞运动到金属筒口边缘速度减为零的过程中，下列说法中正确的是( )
A．木塞相对金属筒静止时，金属筒对木塞的作用力方向可能竖直向上
B．金属筒速度减为零的瞬间，木塞的动能达到最大
C．金属筒对木塞的作用力始终做负功
D．金属筒撞击桌面后木塞与金属筒壁摩擦产生的热量等于木塞重力势能的减少量
解析：木塞相对金属筒静止的运动过程中，加速度值大于重力加速度值，由牛顿第二定律知，木塞所受的合力大于其重力，所以金属筒对木塞的作用力方向应竖直向下，故A错误；金属筒速度减为零之后，木塞运动到金属筒口边缘时速度恰好减为零，说明木塞一直做减速运动，则金属筒速度减为零的瞬间，木塞的动能达到最大，故B正确；木塞相对金属筒静止的运动过程中，金属筒对木塞的作用力方向竖直向下，对木塞做正功，故C错误；金属筒撞击桌面后，木塞与金属筒壁摩擦产生的热量等于其重力势能的减少量和动能减少量之和，故D错误．
答案：B
考点三 能量守恒定律及其应用 (师生共研)
1．对能量守恒定律的理解
(1)转化：某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等．
(2)转移：某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量相等．
2．运用能量守恒定律解题的基本思路
[典例2] 如图所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A与斜面之间的动摩擦因数为μ＝，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点，用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A和B，滑轮右侧绳子与斜面平行，A的质量为2m＝4 kg，B的质量为m＝2 kg，初始时物体A到C点的距离为L＝1 m，现给A、B一初速度v0＝3 m/s，使A开始沿斜面向下运动，B向上运动，物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C点．已知重力加速度取g＝10 m/s2，不计空气阻力，整个过程中轻绳始终处于伸直状态，求此过程中：
(1)物体A向下运动刚到C点时的速度大小；
(2)弹簧的最大压缩量；
(3)弹簧中的最大弹性势能．
[审题指导] (1)系统从开始到C点的过程中，由于摩擦力做负功，机械能减少．
(2)物体A压缩弹簧到最低点又恰好弹回C点，系统势能不变，动能全部克服摩擦力做功．
(3)物体A在压缩弹簧过程中，系统重力势能不变，动能一部分克服摩擦力做功，一部分转化为弹性势能．
解析：(1)物体A向下运动刚到C点的过程中，对A、B组成的系统应用能量守恒定律可得：
μ·2mg·cos θ·L＝·3mv－·3mv2＋2mgLsin θ－mgL
可解得v＝2 m/s.
(2)以A、B组成的系统，在物体A将弹簧压缩到最大压缩量，又返回到C点的过程中，系统动能的减少量等于因摩擦产生的热量．
即：·3mv2－0＝μ·2mgcos θ·2x
其中x为弹簧的最大压缩量
解得x＝0.4 m.
(3)设弹簧的最大弹性势能为Epm
由能量守恒定律可得：
·3mv2＋2mgxsin θ－mgx＝μ·2mgcos θ·x＋Epm
解得：Epm＝6 J.
答案：(1)2 m/s (2)0.4 m (3)6 J
[反思总结]
涉及弹簧的能量问题的解题方法
两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点：
1．能量变化上，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒．
2．如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合外力为零，则当弹簧伸长或压缩到最大程度时两物体速度相同．
3．当弹簧为自然状态时系统内某一端的物体具有最大速度．
3－1.[弹簧系统的能量守恒问题] (多选)(2016·全国卷Ⅱ)如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连．现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点．已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<.在小球从M点运动到N点的过程中( )
A．弹力对小球先做正功后做负功
B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
解析：在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<，则小球在M点时弹簧处于压缩状态，在N点时弹簧处于拉伸状态，小球从M点运动到N点的过程中．弹簧长度先缩短，当弹簧与竖直杆垂直时弹簧达到最短，这个过程中弹力对小球做负功．然后弹簧再伸长，弹力对小球开始做正功，当弹簧达到自然伸长状态时，弹力为零，再随着弹簧的伸长弹力对小球做负功，故整个过程中，弹力对小球先做负功，再做正功，后再做负功，A错误；
在弹簧与杆垂直时及弹簧处于自然伸长状态时，小球加速度等于重力加速度，B正确；弹簧与杆垂直时，弹力方向与小球的速度方向垂直，则弹力对小球做功的功率为零，C正确；由机械能守恒定律知，在M、N两点弹簧弹性势能相等，在N点的动能等于从M点到N点重力势能的减小值，D正确．
答案：BCD
3－2.[斜面上的能量守恒问题] 如图所示，一质量为m的物块以一定的初速度v0从斜面底端沿斜面向上运动，恰能滑行到斜面顶端．设物块和斜面的动摩擦因数一定，斜面的高度h和底边长度x可独立调节(斜边长随之改变)，下列说法错误的是( )
A．若增大m，物块仍能滑到斜面顶端
B．若增大h，物块不能滑到斜面顶端，但上滑最大高度一定增大
C．若增大x，物块不能滑到斜面顶端，但滑行水平距离一定增大
D．若再施加一个水平向右的恒力，物块一定从斜面顶端滑出
解析：对物块，初始时受重力mg、斜面的支持力和滑动摩擦力作用，根据功能关系有mv＝mgh＋μmgx，显然方程左右两端的质量m可以消去，即改变物块的质量m不影响物块在斜面上滑动的结果，故A正确；若增大h，物块滑行的水平位移将小于x，即不能滑到斜面顶端，假设物块仍然滑行上升原有高度，根据图中几何关系可知，滑行的水平位移变小，物块损失的动能将小于mv，因此还能继续上滑，故B正确；
同理若增大x，物块滑行上升的高度将小于h，即物块不能滑到斜面顶端，假设物块仍然滑行原来的水平位移x，根据图中几何关系可知，物块滑行上升的高度将变小，物块损失的动能将小于mv，物块继续上滑，故C正确；若再施加一个水平向右的恒力F，由于不清楚斜面的倾角θ和动摩擦因数μ的具体关系，若恒力沿斜面方向的分力小于摩擦力的增加量，则物块一定不能从斜面顶端滑出，故D错误．
答案：D
1. (2019·温州九校联考)右图是在玩“跳跳鼠”的儿童，该玩具弹簧上端连接脚踏板，下端连接跳杆，儿童在脚踏板上用力向下压缩弹簧，然后弹簧将人向上弹起，最终弹簧将跳杆带离地面，下列说法正确的是( C )
A．从人被弹簧弹起到弹簧第一次恢复原长，人一直向上加速运动
B．无论下压弹簧的压缩量多大，弹簧都能将跳杆带离地面
C．人用力向下压缩弹簧至最低点的过程中，人和“跳跳鼠”组成的系统机械能增加
D．人用力向下压缩弹簧至最低点的过程中，人和“跳跳鼠”组成的系统机械能守恒
解析：从人被弹簧弹起到弹簧第一次恢复原长，人先向上做加速运动，当人的重力与弹力相等时，速度最大，由于惯性人向上做减速运动，A错误；当下压弹簧的压缩量较小时，弹簧的拉伸量也较小，小于跳杆的重力时，跳杆不能离开地面，B错误；人用力向下压缩弹簧至最低点的过程中，人的体能转化为系统的机械能，所以人和“跳跳鼠”组成的系统机械能增加，C正确，D错误．
2．(多选) (2018·无锡高三期末)如图，质量分别为m1、m2的两物块A、B通过一轻质弹簧连接，静止放置在光滑水平面上，弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内．t1＝0时刻在A上施加一个水平向左的恒力F，t2＝t时刻弹簧第一次恢复到原长状态，此时A、B速度分别为v1和v2.则t1到t2时间内( CD )
A．A、B和弹簧组成的系统的机械能先增大后减小
B．当A的加速度为零时，B的加速度为
C．当弹簧的弹性势能最大时，两物块速度相等
D．物块B移动的距离为
解析：根据受力分析可知，物块A先做加速度减小的加速运动，后做加速度增大的减速的运动；B先做加速度增大的加速运动，后做加速度减小的加速运动．在弹簧第一次恢复到原长时，系统的机械能一直增大，A错误；当A的加速度为零时，弹簧弹力等于F，所以B的加速度为，B错误；速度相等前，A一直比B速度大，所以弹簧一直在变长，当两物块速度相等，弹簧最长时，C正确；因为弹簧恢复原长，所以弹性势能为零，根据功能关系可知：Fx＝m1v＋m2v，所以x＝，D正确．
3．如图所示，光滑坡道顶端距水平面高度为h，质量为m的小物块A从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失．为使A制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M处的墙上，另一端恰位于坡道的底端O点．已知在OM段，物块A与水平面间的动摩擦因数为μ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g，求：
(1)物块滑到O点时的速度大小；
(2)弹簧为最大压缩量d时的弹性势能(设弹簧处于原长时弹性势能为零)；
(3)若物块A能够被弹回到坡道上，则它能够上升的最大高度是多少？
解析：(1)由机械能守恒定律得mgh＝mv2
解得v＝
(2)在水平滑道上物块A克服摩擦力所做的功为
W＝μmgd
由能量守恒定律得mv2＝Ep＋μmgd
以上各式联立得Ep＝mgh－μmgd
(3)物块A被弹回的过程中，克服摩擦力所做的功仍为
W＝μmgd
由能量守恒定律得Ep＝μmgd＋mgh′
所以物块A能够上升的最大高度为h′＝h－2μd.
答案：(1) (2)mgh－μmgd (3)h－2μd
[A组·基础题]
1．(2017·全国卷Ⅱ) 如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为(重力加速度为g)( B )
A. B．
C. D．
2．如图所示，BC是竖直面内的四分之一圆弧形光滑轨道，下端C与水平直轨道相切．一个小物块从B点正上方R处的A点处由静止释放，从B点刚好进入圆弧形光滑轨道下滑，已知圆弧形轨道半径为R＝0.2 m，小物块的质量为m＝0.1 kg，小物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2.小物块在水平面上滑动的最大距离是( D )
A．0.1 m B．0.2 m
C．0.6 m D．0.8 m
3．如图所示，建筑工地上载人升降机用不计质量的细钢绳跨过定滑轮与一电动机相连，通电后电动机带动升降机沿竖直方向先匀加速上升后匀速上升．摩擦及空气阻力均不计．则( C )
A．升降机匀加速上升过程中，升降机底板对人做的功等于人增加的动能
B．升降机匀加速上升过程中，升降机底板对人做的功大于人增加的机械能
C．升降机匀速上升过程中，升降机底板对人做的功等于人增加的机械能
D．升降机上升的全过程中，钢绳拉力对升降机做的功大于升降机和人增加的机械能
4．(2017·江苏联考)如图甲所示，小物体从竖直弹簧上方离地高h1处由静止释放，其动能Ek与离地高度h的关系如图乙所示．其中高度从h1下降到h2，图象为直线，其余部分为曲线，h3对应图象的最高点，轻弹簧的劲度系数为k，小物体的质量为m，重力加速度为g.以下说法正确的是( C )
A．小物体下降至高度h3时，弹簧形变量为0
B．小物体下落至高度h5时，加速度为0
C．小物体从高度h2下降到h4，弹簧的弹性势能增加
D．小物体从高度h1下降到h5，弹簧的最大弹性势能为2mg(h1－h5)
5．(2019·安徽师大附中期中)质量为m的物体从静止以g的加速度竖直上升高度为h.对该过程，下列说法中正确的是 ( B )
A．物体的机械能增加mgh
B．物体的机械能增加mgh
C．重力对物体做功mgh
D．合外力对物体做功mgh
解析：物体从静止开始以的加速度沿竖直方向匀加速上升，由牛顿第二定律得：F－mg＝ma，解得：F＝mg，由动能定理得：－mgh＋Fh＝Ek－0，解得Ek＝mgh，物体重力势能增加了mgh，动能增加了mgh，故机械能增加mgh，故A错误，B正确；物体上升，克服重力做功，重力做功为－mgh，故C错误；合外力对物体做功等于动能的增量，则合外力对物体做功mgh，选项D错误．
6．(多选) 如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮．质量分别为M、m(M>m)的滑块，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行．两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动．若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中( CD )
A．两滑块组成系统的机械能守恒
B．重力对M做的功等于M动能的增加
C．轻绳对m做的功等于m机械能的增加
D．两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功
[B组·能力题]
7．(多选) (2019·广西百校联考)光滑斜面AB和水平传送带BC通过一小段光滑圆弧平滑连接．传送带以大小为3 m/s 的速率逆时针匀速转动，现让质量为0.2 kg的滑块(视为质点)轻放在传送带的右端C，滑块恰好能运动到斜面上最高点A.若滑块与传送带间的动摩擦因数为0.5，传送带长度BC＝1.6 m，取g＝10 m/s2，不计空气阻力，则下列说法正确的是( BC )
A．A、B两点间的高度差为0.8 m
B．滑块不可能返回到C点
C．滑块第一次从C点运动到B点的过程中，摩擦力对滑块做的功为0.9 J
D．滑块最终将静止不动
解析：根据动能定理：μmgx2＝mv2可得x＝0.9 m<1.6 m，可见滑块第一次在传送带上先做匀加速直线运动后做匀速直线运动，到达B点时的速率为3 m/s ，根据机械能守恒有：mgh＝mv2可得A、B两点间的高度差为h＝0.45 m，选项A错误；滑块第一次返回到B点后做匀减速直线运动，运动了0.9 m速度变为零，不可能返回到C点，选项B正确；滑块第一次从C点运动到B点的过程中，摩擦力对滑块做的功W＝μmgx＝0.9 J，选项C正确；经上述分析可知，滑块在斜面和传送带上往复运动，选项D错误．
8. (多选)(2018·定远育才实验学校期末)如图所示，在粗糙水平地面上，弹簧一端固定在竖直墙壁上，另一端连着物块，弹簧处于原长时物块处于O点位置．现用外力缓慢把物块向左压至P点不动，此时弹簧的弹性势能为Ep.撤去外力后物块向右运动至Q(图中未有标出)点停下．下列说法正确的是( BC )
A．外力所做的功等于EP
B．物块到达PQ中点时速度最大
C．Q点可能在O点的左侧
D．从P到Q的过程摩擦产生的热量一定小于EP
解析：由功能关系可知，外力所做的功等于弹性势能EP与摩擦力做功的代数和，选项A错误；当弹簧弹力等于摩擦力时，加速度为零，此时速度最大，此位置应该在PQ的中点位置，选项B正确；因动摩擦因数未知，故Q点可能在O点的左侧，选项C正确；物块停止的位置可能在O点，此时弹簧的弹性势能为零，故从P到Q的过程弹簧的弹性势能全部转化为摩擦生热，即摩擦产生的热量等于EP，选项D错误．
9．(多选)(2018·南京师大附中模拟)如图所示，一质量为M＝2m、长为L质量均匀的板放在光滑水平桌面上，板的右端与桌边定滑轮距离足够大，板的左端有一可视为质点、质量为m的物块，物块上连接一条很长的细绳，某人拉绳并使其以恒定速率v＝向下运动，物块只能运动到板的中点．下列说法正确的是( BD )
A．物块对板做功的功率保持不变
B．物块与板间因摩擦产生的热量为mgL
C．整个过程绳的拉力对物块做的功为mgL
D．若板与桌面间有摩擦，则当板与桌面间动摩擦因数为时，物块一定能到达板右端
解析：木板受木块对它的摩擦力作用，做匀加速直线运动，当速度与木块速度相等后保持相对静止，根据P＝fv知，物块对板的功率逐渐增大，A错误；当物块到达板的中点时，此时物块的位移x1＝vt，木板的位移x2＝t，根据x1－x2＝得板的位移x2＝，相对位移的大小等于物块位移的一半，等于木板的位移，因为fx板＝Mv2，产生的热量Q＝fx板＝Mv2＝·2m()2＝mgL，B正确；绳子拉力做的功，等于系统动能增加量与产生的热量之和，故W＝Mv2＋Q＝2mgL，C错误；如果板与桌面有摩擦，因为M与桌面摩擦因数越大，m越易从右端滑下，所以当m滑到M右端两者刚好共速时摩擦因数最小，设为μ2，对M，由牛顿第二定律得：Ma＝μ1mg－μ2(m＋M)g，板的位移：x′2＝t′；速度位移公式：v2＝2ax′2，对m有：vt′＝x′1，x′1－x′2＝L，联立得μ2＝＝＝，所以桌面与板间的摩擦因数应满足μ≥，所以当板与桌面间动摩擦因数为时，物块一定能到达板右端，D正确．
10．(2019·洛阳孟津二中月考)如图所示，倾角为θ的斜面与光滑的水平面平滑相连，在水平面的左端固定有一轻质水平弹簧，一质量为m＝0.1 kg的小物块以初速度v0＝4 m/s 由水平面滑上斜面，小物块与斜面间的动摩擦因数为μ＝，斜面的倾角θ可在0°≤θ≤75°的范围内变化(调节好后即保持不变)．已知重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力．
(1)求当θ取何值时，小物块第一次沿斜面上滑到最高点所用的时间最短，并求出最短时间；
(2)当θ取不同值时，求小物块在运动的全过程中产生的摩擦热量Q与tanθ的关系式．
解析：(1)小物块沿斜面上滑时，由牛顿第二定律：
mgsin θ＋μmgcos θ＝ma
上滑时间t＝
解得：t＝＝
由数学知识可知，当θ＝60°时，tmin ＝ s
(2)小物块恰好的斜面上保持静止时有：
mgsin θ＝μmgcos θ
解得θ＝30°，
则当0≤θ≤30°，小物块在斜面上停下后即保持静止，
小物块在斜面上滑行的距离为x＝
小物块因摩擦产生的热量为Q＝μmgcos θ·x
联立解得：Q＝
当300<θ≤750，小物块在斜面上到达最高点后返回，经多次往返运动后，最终静止在水平面上，则小物块摩擦产生的热量为Q＝mv＝0.8 J
答案：(1)θ＝60°，t＝s (2)当0≤θ≤30°时，Q＝，当30°＜θ≤75°时，Q＝0.8 J
11．如图，在高h1＝30 m的光滑水平平台上，质量m＝1 kg的小物块压缩弹簧后被锁扣K锁住，储存了一定量的弹性势能Ep.若打开锁扣K，物块将以一定的水平速度v1向右滑下平台，做平抛运动，并恰好能从光滑圆弧形轨道BC的B点沿切线方向进入圆弧形轨道．B点的高度h2＝15 m，圆弧轨道的圆心O与平台等高，轨道最低点C的切线水平，并与地面上长为L＝70 m的水平粗糙轨道CD平滑连接；小物块沿轨道BCD运动与右边墙壁发生碰撞，g取10 m/s2.求：
(1)小物块由A到B的运动时间；
(2)小物块原来压缩弹簧时储存的弹性势能Ep的大小；
(3)若小物块与墙壁只发生一次碰撞，碰后速度等大反向，运动至C点停止，试求动摩擦因数μ.
解析：(1)设从A运动到B的时间为t，
则h1－h2＝gt2，t＝ s.
(2)由R＝h1，得∠BOC＝60°.设小物块平抛的水平速度是v1，
则＝tan 60°
v1＝10 m/s
故Ep＝mv＝50 J.
(3)设小物块在水平轨道CD上通过的总路程为2L，
由能量守恒知，mgh1＋mv＝μmg·2L
代入数据计算得出μ＝.
答案：(1) s (2)50 J (3)
第四讲 功能关系 能量守恒定律
[小题快练]
1．判断题
(1)能量在转移或转化过程中，其总量会不断减少．( × )
(2)在物体的机械能减少的过程中，动能有可能是增大的．( √ )
(3)既然能量在转移或转化过程中是守恒的，故没有必要节约能源．( × )
(4)滑动摩擦力做功时，一定会引起机械能的转化．( √ )
(5)一个物体的能量增加，必定有别的物体能量减少．( √ )
2．自然现象中蕴藏着许多物理知识，如图所示为一个盛水袋，某人从侧面缓慢推袋壁使它变形，则水的势能( A )
A．增大 B．变小
C．不变 D．不能确定
3．蹦极是一项既惊险又刺激的运动，深受年轻人的喜爱．如图所示，蹦极者从P点由静止跳下，到达A处时弹性绳刚好伸直，继续下降到最低点B处，B离水面还有数米距离．蹦极者(视为质点)在其下降的整个过程中，重力势能的减少量为ΔE1，绳的弹性势能的增加量为ΔE2，克服空气阻力做的功为W，则下列说法正确的是( C )
A．蹦极者从P到A的运动过程中，机械能守恒
B．蹦极者与绳组成的系统从A到B的运动过程中，机械能守恒
C．ΔE1＝W＋ΔE2
D．ΔE1＋ΔE2＝W
4．(多选)起跳摸高是学生经常进行的一项体育活动．一质量为m的同学弯曲两腿向下蹲，然后用力蹬地起跳，从该同学用力蹬地到刚离开地面的起跳过程中，他的重心上升了h，离地时他的速度大小为v.下列说法正确的是( BD )
A．该同学机械能增加了mgh
B．起跳过程中该同学机械能增量为mgh＋mv2
C．地面的支持力对该同学做功为mgh＋mv2
D．该同学所受的合外力对其做功为mv2
考点一 功能关系的理解与应用 (师生共研)
功是能量转化的量度，力学中几种常见的功能关系如下：
[典例1] (多选)如图所示，在升降机内有一固定的光滑斜面体，一轻弹簧的一端连在位于斜面体下方的固定木板A上，另一端与质量为m的物块B相连，弹簧与斜面平行．升降机由静止开始加速上升高度h的过程中( )
A．物块B的重力势能增加量一定等于mgh
B．物块B的动能增加量等于斜面的支持力和弹簧的弹力对其做功的代数和
C．物块B的机械能增加量等于斜面的支持力和弹簧的弹力对其做功的代数和
D．物块B和弹簧组成系统的机械能的增加量等于斜面对物块B的支持力和A对弹簧的弹力做功的代数和
解析：物块B开始受重力、支持力、弹簧的弹力，处于平衡状态，当具有向上的加速度时，合力向上，弹簧弹力和支持力在竖直方向上的合力大于重力，所以弹簧的弹力增大，物块B相对于斜面向下运动，物块B上升的高度小于h，所以重力势能的增加量小于mgh，A错误；由动能定理可知，动能增加量等于合力做的功，经受力分析可知，物块B受三个力的作用，除弹簧弹力和支持力外，还有重力，B错误；由功能关系可知，机械能的增量等于除了重力外其他力对系统做的功，分别对B和B与弹簧组成的系统受力分析，可知C、D正确．
答案：CD
[易错提醒]
根据功能关系可知，重力对物体做负功时重力势能增加．升降机由静止开始加速上升高度h的过程中，学生会想当然地认为B也上升了h，学生忽略了和B相连的有一个弹簧，在这个过程中弹簧形变有可能发生变化．本题必须结合运动状态对B进行受力分析，即物块B开始受重力、支持力、弹簧的弹力处于平衡状态，当具有向上的加速度时，合力向上，弹簧弹力和支持力在竖直方向上的合力大于重力，所以弹簧的弹力增大，物块B相对于斜面向下运动，物块B上升的高度小于h.本题学生如果没有对B进行受力分析的话，易错选A.
1－1.[单个物体的功能关系] 质量为m的物体，由静止开始下落，由于阻力作用，下落的加速度为，在物体下落h的过程中，下列说法中错误的是( )
A．物体的动能增加了
B．物体的机械能减少了
C．物体克服阻力所做的功为
D．物体的重力势能减少了mgh
答案：B
1－2.[系统功能关系] (多选)如图所示，光滑水平面上放着足够长的木板B，木板B上放着木块A，A、B间的接触面粗糙，现在用一水平拉力F作用在A上，使其由静止开始运动，则下列说法正确的是( )
A．拉力F做的功等于A、B系统动能的增加量
B．拉力F做的功大于A、B系统动能的增加量
C．拉力F和B对A做的功之和小于A的动能的增加量
D．A对B做的功等于B的动能的增加量
解析：对整体分析可知，F做功转化为两个物体的动能及系统的内能，故F做的功一定大于A、B系统动能的增加量，故A错误，B正确；由动能定理可知，拉力F和B对A做的功之和等于A的动能的增加量，C错误；根据动能定理可知，A对B做的功等于B的动能的增加量，D正确．
答案：BD
考点二 摩擦力做功的特点及应用 (自主学习)
1．两种摩擦力做功的比较
2.求解相对滑动物体的能量问题的方法
(1)正确分析物体的运动过程，做好受力分析．
(2)利用运动学公式，结合牛顿第二定律分析物体的速度关系及位移关系.
(3)公式W＝Ff·l相对中l相对为两接触物体间的相对位移，若物体在传送带上做往复运动时，则l相对为总的相对路程．
2－1. [摩擦生热] 如图所示，木块A放在木板B的左端上方，用水平恒力F将A拉到B的右端，第一次将B固定在地面上，F做功W1，生热Q1；第二次让B在光滑水平面可自由滑动，F做功W2，生热Q2，则下列关系中正确的是( )
A．W1＜W2，Q1＝Q2 B．W1＝W2，Q1＝Q2
C．W1＜W2，Q1＜Q2 D．W1＝W2，Q1＜Q2
解析：木块A从木板B左端滑到右端克服摩擦力所做的功W＝Ffs，因为木板B不固定时木板A的位移要比木板B固定时大，所以W1＜W2；摩擦产生的热量Q＝Ffl相对，两次都从木块B左端滑到右端，相对位移相等，所以Q1＝Q2，故选A.
答案：A
2－2. [滑动摩擦力的功能关系] 如图所示，固定在地面上的半圆轨道直径ab水平，质点P从a点正上方高H处自由下落，经过轨道后从b点冲出竖直上抛，上升的最大高度为H，空气阻力不计，当质点下落再经过轨道a点冲出时，能上升的最大高度h为( )
A．h＝H B．h＝
C．h＜ D．＜h＜
答案：D
2－3. [静摩擦力的功能关系] 如图所示，某同学不慎将圆柱形木塞(木塞的中心有一小孔)卡于圆柱形金属筒的靠近封闭端的位置，为了拿出木塞，该同学将金属筒倒立过来(开口端向下)，使其由静止开始沿竖直方向向下做加速运动(加速度值大于重力加速度值)，此过程中木塞始终相对金属筒静止，当金属筒的速度达到一定值时，金属筒的开口端撞击到桌面，且其速度立即减为零．
此后木塞沿金属筒壁继续竖直向下运动，运动到金属筒口边缘时速度恰好减为零．若木塞与金属筒壁间的动摩擦因数处处相等，则关于金属筒从静止开始运动至木塞运动到金属筒口边缘速度减为零的过程中，下列说法中正确的是( )
A．木塞相对金属筒静止时，金属筒对木塞的作用力方向可能竖直向上
B．金属筒速度减为零的瞬间，木塞的动能达到最大
C．金属筒对木塞的作用力始终做负功
D．金属筒撞击桌面后木塞与金属筒壁摩擦产生的热量等于木塞重力势能的减少量
解析：木塞相对金属筒静止的运动过程中，加速度值大于重力加速度值，由牛顿第二定律知，木塞所受的合力大于其重力，所以金属筒对木塞的作用力方向应竖直向下，故A错误；金属筒速度减为零之后，木塞运动到金属筒口边缘时速度恰好减为零，说明木塞一直做减速运动，则金属筒速度减为零的瞬间，木塞的动能达到最大，故B正确；木塞相对金属筒静止的运动过程中，金属筒对木塞的作用力方向竖直向下，对木塞做正功，故C错误；金属筒撞击桌面后，木塞与金属筒壁摩擦产生的热量等于其重力势能的减少量和动能减少量之和，故D错误．
答案：B
考点三 能量守恒定律及其应用 (师生共研)
1．对能量守恒定律的理解
(1)转化：某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等．
(2)转移：某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量相等．
2．运用能量守恒定律解题的基本思路
[典例2] 如图所示，固定斜面的倾角θ＝30°，物体A与斜面之间的动摩擦因数为μ＝，轻弹簧下端固定在斜面底端，弹簧处于原长时上端位于C点，用一根不可伸长的轻绳通过轻质光滑的定滑轮连接物体A和B，滑轮右侧绳子与斜面平行，A的质量为2m＝4 kg，B的质量为m＝2 kg，初始时物体A到C点的距离为L＝1 m，现给A、B一初速度v0＝3 m/s，使A开始沿斜面向下运动，B向上运动，物体A将弹簧压缩到最短后又恰好能弹到C点．已知重力加速度取g＝10 m/s2，不计空气阻力，整个过程中轻绳始终处于伸直状态，求此过程中：
(1)物体A向下运动刚到C点时的速度大小；
(2)弹簧的最大压缩量；
(3)弹簧中的最大弹性势能．
[审题指导] (1)系统从开始到C点的过程中，由于摩擦力做负功，机械能减少．
(2)物体A压缩弹簧到最低点又恰好弹回C点，系统势能不变，动能全部克服摩擦力做功．
(3)物体A在压缩弹簧过程中，系统重力势能不变，动能一部分克服摩擦力做功，一部分转化为弹性势能．
解析：(1)物体A向下运动刚到C点的过程中，对A、B组成的系统应用能量守恒定律可得：
μ·2mg·cos θ·L＝·3mv－·3mv2＋2mgLsin θ－mgL
可解得v＝2 m/s.
(2)以A、B组成的系统，在物体A将弹簧压缩到最大压缩量，又返回到C点的过程中，系统动能的减少量等于因摩擦产生的热量．
即：·3mv2－0＝μ·2mgcos θ·2x
其中x为弹簧的最大压缩量
解得x＝0.4 m.
(3)设弹簧的最大弹性势能为Epm
由能量守恒定律可得：
·3mv2＋2mgxsin θ－mgx＝μ·2mgcos θ·x＋Epm
解得：Epm＝6 J.
答案：(1)2 m/s (2)0.4 m (3)6 J
[反思总结]
涉及弹簧的能量问题的解题方法
两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点：
1．能量变化上，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统机械能守恒．
2．如果系统每个物体除弹簧弹力外所受合外力为零，则当弹簧伸长或压缩到最大程度时两物体速度相同．
3．当弹簧为自然状态时系统内某一端的物体具有最大速度．
3－1.[弹簧系统的能量守恒问题] (多选)(2016·全国卷Ⅱ)如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连．现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点．已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<.在小球从M点运动到N点的过程中( )
A．弹力对小球先做正功后做负功
B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度
C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零
D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差
解析：在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<，则小球在M点时弹簧处于压缩状态，在N点时弹簧处于拉伸状态，小球从M点运动到N点的过程中．弹簧长度先缩短，当弹簧与竖直杆垂直时弹簧达到最短，这个过程中弹力对小球做负功．然后弹簧再伸长，弹力对小球开始做正功，当弹簧达到自然伸长状态时，弹力为零，再随着弹簧的伸长弹力对小球做负功，故整个过程中，弹力对小球先做负功，再做正功，后再做负功，A错误；
在弹簧与杆垂直时及弹簧处于自然伸长状态时，小球加速度等于重力加速度，B正确；弹簧与杆垂直时，弹力方向与小球的速度方向垂直，则弹力对小球做功的功率为零，C正确；由机械能守恒定律知，在M、N两点弹簧弹性势能相等，在N点的动能等于从M点到N点重力势能的减小值，D正确．
答案：BCD
3－2.[斜面上的能量守恒问题] 如图所示，一质量为m的物块以一定的初速度v0从斜面底端沿斜面向上运动，恰能滑行到斜面顶端．设物块和斜面的动摩擦因数一定，斜面的高度h和底边长度x可独立调节(斜边长随之改变)，下列说法错误的是( )
A．若增大m，物块仍能滑到斜面顶端
B．若增大h，物块不能滑到斜面顶端，但上滑最大高度一定增大
C．若增大x，物块不能滑到斜面顶端，但滑行水平距离一定增大
D．若再施加一个水平向右的恒力，物块一定从斜面顶端滑出
解析：对物块，初始时受重力mg、斜面的支持力和滑动摩擦力作用，根据功能关系有mv＝mgh＋μmgx，显然方程左右两端的质量m可以消去，即改变物块的质量m不影响物块在斜面上滑动的结果，故A正确；若增大h，物块滑行的水平位移将小于x，即不能滑到斜面顶端，假设物块仍然滑行上升原有高度，根据图中几何关系可知，滑行的水平位移变小，物块损失的动能将小于mv，因此还能继续上滑，故B正确；
同理若增大x，物块滑行上升的高度将小于h，即物块不能滑到斜面顶端，假设物块仍然滑行原来的水平位移x，根据图中几何关系可知，物块滑行上升的高度将变小，物块损失的动能将小于mv，物块继续上滑，故C正确；若再施加一个水平向右的恒力F，由于不清楚斜面的倾角θ和动摩擦因数μ的具体关系，若恒力沿斜面方向的分力小于摩擦力的增加量，则物块一定不能从斜面顶端滑出，故D错误．
答案：D
1. (2019·温州九校联考)右图是在玩“跳跳鼠”的儿童，该玩具弹簧上端连接脚踏板，下端连接跳杆，儿童在脚踏板上用力向下压缩弹簧，然后弹簧将人向上弹起，最终弹簧将跳杆带离地面，下列说法正确的是( C )
A．从人被弹簧弹起到弹簧第一次恢复原长，人一直向上加速运动
B．无论下压弹簧的压缩量多大，弹簧都能将跳杆带离地面
C．人用力向下压缩弹簧至最低点的过程中，人和“跳跳鼠”组成的系统机械能增加
D．人用力向下压缩弹簧至最低点的过程中，人和“跳跳鼠”组成的系统机械能守恒
解析：从人被弹簧弹起到弹簧第一次恢复原长，人先向上做加速运动，当人的重力与弹力相等时，速度最大，由于惯性人向上做减速运动，A错误；当下压弹簧的压缩量较小时，弹簧的拉伸量也较小，小于跳杆的重力时，跳杆不能离开地面，B错误；人用力向下压缩弹簧至最低点的过程中，人的体能转化为系统的机械能，所以人和“跳跳鼠”组成的系统机械能增加，C正确，D错误．
2．(多选) (2018·无锡高三期末)如图，质量分别为m1、m2的两物块A、B通过一轻质弹簧连接，静止放置在光滑水平面上，弹簧开始时处于原长，运动过程中始终处在弹性限度内．t1＝0时刻在A上施加一个水平向左的恒力F，t2＝t时刻弹簧第一次恢复到原长状态，此时A、B速度分别为v1和v2.则t1到t2时间内( CD )
A．A、B和弹簧组成的系统的机械能先增大后减小
B．当A的加速度为零时，B的加速度为
C．当弹簧的弹性势能最大时，两物块速度相等
D．物块B移动的距离为
解析：根据受力分析可知，物块A先做加速度减小的加速运动，后做加速度增大的减速的运动；B先做加速度增大的加速运动，后做加速度减小的加速运动．在弹簧第一次恢复到原长时，系统的机械能一直增大，A错误；当A的加速度为零时，弹簧弹力等于F，所以B的加速度为，B错误；速度相等前，A一直比B速度大，所以弹簧一直在变长，当两物块速度相等，弹簧最长时，C正确；因为弹簧恢复原长，所以弹性势能为零，根据功能关系可知：Fx＝m1v＋m2v，所以x＝，D正确．
3．如图所示，光滑坡道顶端距水平面高度为h，质量为m的小物块A从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能损失．为使A制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线M处的墙上，另一端恰位于坡道的底端O点．已知在OM段，物块A与水平面间的动摩擦因数为μ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g，求：
(1)物块滑到O点时的速度大小；
(2)弹簧为最大压缩量d时的弹性势能(设弹簧处于原长时弹性势能为零)；
(3)若物块A能够被弹回到坡道上，则它能够上升的最大高度是多少？
解析：(1)由机械能守恒定律得mgh＝mv2
解得v＝
(2)在水平滑道上物块A克服摩擦力所做的功为
W＝μmgd
由能量守恒定律得mv2＝Ep＋μmgd
以上各式联立得Ep＝mgh－μmgd
(3)物块A被弹回的过程中，克服摩擦力所做的功仍为
W＝μmgd
由能量守恒定律得Ep＝μmgd＋mgh′
所以物块A能够上升的最大高度为h′＝h－2μd.
答案：(1) (2)mgh－μmgd (3)h－2μd
[A组·基础题]
1．(2017·全国卷Ⅱ) 如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直，一小物块以速度v从轨道下端滑入轨道，并从轨道上端水平飞出，小物块落地点到轨道下端的距离与轨道半径有关，此距离最大时，对应的轨道半径为(重力加速度为g)( B )
A. B．
C. D．
2．如图所示，BC是竖直面内的四分之一圆弧形光滑轨道，下端C与水平直轨道相切．一个小物块从B点正上方R处的A点处由静止释放，从B点刚好进入圆弧形光滑轨道下滑，已知圆弧形轨道半径为R＝0.2 m，小物块的质量为m＝0.1 kg，小物块与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10 m/s2.小物块在水平面上滑动的最大距离是( D )
A．0.1 m B．0.2 m
C．0.6 m D．0.8 m
3．如图所示，建筑工地上载人升降机用不计质量的细钢绳跨过定滑轮与一电动机相连，通电后电动机带动升降机沿竖直方向先匀加速上升后匀速上升．摩擦及空气阻力均不计．则( C )
A．升降机匀加速上升过程中，升降机底板对人做的功等于人增加的动能
B．升降机匀加速上升过程中，升降机底板对人做的功大于人增加的机械能
C．升降机匀速上升过程中，升降机底板对人做的功等于人增加的机械能
D．升降机上升的全过程中，钢绳拉力对升降机做的功大于升降机和人增加的机械能
4．(2017·江苏联考)如图甲所示，小物体从竖直弹簧上方离地高h1处由静止释放，其动能Ek与离地高度h的关系如图乙所示．其中高度从h1下降到h2，图象为直线，其余部分为曲线，h3对应图象的最高点，轻弹簧的劲度系数为k，小物体的质量为m，重力加速度为g.以下说法正确的是( C )
A．小物体下降至高度h3时，弹簧形变量为0
B．小物体下落至高度h5时，加速度为0
C．小物体从高度h2下降到h4，弹簧的弹性势能增加
D．小物体从高度h1下降到h5，弹簧的最大弹性势能为2mg(h1－h5)
5．(2019·安徽师大附中期中)质量为m的物体从静止以g的加速度竖直上升高度为h.对该过程，下列说法中正确的是 ( B )
A．物体的机械能增加mgh
B．物体的机械能增加mgh
C．重力对物体做功mgh
D．合外力对物体做功mgh
解析：物体从静止开始以的加速度沿竖直方向匀加速上升，由牛顿第二定律得：F－mg＝ma，解得：F＝mg，由动能定理得：－mgh＋Fh＝Ek－0，解得Ek＝mgh，物体重力势能增加了mgh，动能增加了mgh，故机械能增加mgh，故A错误，B正确；物体上升，克服重力做功，重力做功为－mgh，故C错误；合外力对物体做功等于动能的增量，则合外力对物体做功mgh，选项D错误．
6．(多选) 如图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和光滑斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一定滑轮．质量分别为M、m(M>m)的滑块，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行．两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动．若不计滑轮的质量和摩擦，在两滑块沿斜面运动的过程中( CD )
A．两滑块组成系统的机械能守恒
B．重力对M做的功等于M动能的增加
C．轻绳对m做的功等于m机械能的增加
D．两滑块组成系统的机械能损失等于M克服摩擦力做的功
[B组·能力题]
7．(多选) (2019·广西百校联考)光滑斜面AB和水平传送带BC通过一小段光滑圆弧平滑连接．传送带以大小为3 m/s 的速率逆时针匀速转动，现让质量为0.2 kg的滑块(视为质点)轻放在传送带的右端C，滑块恰好能运动到斜面上最高点A.若滑块与传送带间的动摩擦因数为0.5，传送带长度BC＝1.6 m，取g＝10 m/s2，不计空气阻力，则下列说法正确的是( BC )
A．A、B两点间的高度差为0.8 m
B．滑块不可能返回到C点
C．滑块第一次从C点运动到B点的过程中，摩擦力对滑块做的功为0.9 J
D．滑块最终将静止不动
解析：根据动能定理：μmgx2＝mv2可得x＝0.9 m<1.6 m，可见滑块第一次在传送带上先做匀加速直线运动后做匀速直线运动，到达B点时的速率为3 m/s ，根据机械能守恒有：mgh＝mv2可得A、B两点间的高度差为h＝0.45 m，选项A错误；滑块第一次返回到B点后做匀减速直线运动，运动了0.9 m速度变为零，不可能返回到C点，选项B正确；滑块第一次从C点运动到B点的过程中，摩擦力对滑块做的功W＝μmgx＝0.9 J，选项C正确；经上述分析可知，滑块在斜面和传送带上往复运动，选项D错误．
8. (多选)(2018·定远育才实验学校期末)如图所示，在粗糙水平地面上，弹簧一端固定在竖直墙壁上，另一端连着物块，弹簧处于原长时物块处于O点位置．现用外力缓慢把物块向左压至P点不动，此时弹簧的弹性势能为Ep.撤去外力后物块向右运动至Q(图中未有标出)点停下．下列说法正确的是( BC )
A．外力所做的功等于EP
B．物块到达PQ中点时速度最大
C．Q点可能在O点的左侧
D．从P到Q的过程摩擦产生的热量一定小于EP
解析：由功能关系可知，外力所做的功等于弹性势能EP与摩擦力做功的代数和，选项A错误；当弹簧弹力等于摩擦力时，加速度为零，此时速度最大，此位置应该在PQ的中点位置，选项B正确；因动摩擦因数未知，故Q点可能在O点的左侧，选项C正确；物块停止的位置可能在O点，此时弹簧的弹性势能为零，故从P到Q的过程弹簧的弹性势能全部转化为摩擦生热，即摩擦产生的热量等于EP，选项D错误．
9．(多选)(2018·南京师大附中模拟)如图所示，一质量为M＝2m、长为L质量均匀的板放在光滑水平桌面上，板的右端与桌边定滑轮距离足够大，板的左端有一可视为质点、质量为m的物块，物块上连接一条很长的细绳，某人拉绳并使其以恒定速率v＝向下运动，物块只能运动到板的中点．下列说法正确的是( BD )
A．物块对板做功的功率保持不变
B．物块与板间因摩擦产生的热量为mgL
C．整个过程绳的拉力对物块做的功为mgL
D．若板与桌面间有摩擦，则当板与桌面间动摩擦因数为时，物块一定能到达板右端
解析：木板受木块对它的摩擦力作用，做匀加速直线运动，当速度与木块速度相等后保持相对静止，根据P＝fv知，物块对板的功率逐渐增大，A错误；当物块到达板的中点时，此时物块的位移x1＝vt，木板的位移x2＝t，根据x1－x2＝得板的位移x2＝，相对位移的大小等于物块位移的一半，等于木板的位移，因为fx板＝Mv2，产生的热量Q＝fx板＝Mv2＝·2m()2＝mgL，B正确；绳子拉力做的功，等于系统动能增加量与产生的热量之和，故W＝Mv2＋Q＝2mgL，C错误；如果板与桌面有摩擦，因为M与桌面摩擦因数越大，m越易从右端滑下，所以当m滑到M右端两者刚好共速时摩擦因数最小，设为μ2，对M，由牛顿第二定律得：Ma＝μ1mg－μ2(m＋M)g，板的位移：x′2＝t′；速度位移公式：v2＝2ax′2，对m有：vt′＝x′1，x′1－x′2＝L，联立得μ2＝＝＝，所以桌面与板间的摩擦因数应满足μ≥，所以当板与桌面间动摩擦因数为时，物块一定能到达板右端，D正确．
10．(2019·洛阳孟津二中月考)如图所示，倾角为θ的斜面与光滑的水平面平滑相连，在水平面的左端固定有一轻质水平弹簧，一质量为m＝0.1 kg的小物块以初速度v0＝4 m/s 由水平面滑上斜面，小物块与斜面间的动摩擦因数为μ＝，斜面的倾角θ可在0°≤θ≤75°的范围内变化(调节好后即保持不变)．已知重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力．
(1)求当θ取何值时，小物块第一次沿斜面上滑到最高点所用的时间最短，并求出最短时间；
(2)当θ取不同值时，求小物块在运动的全过程中产生的摩擦热量Q与tanθ的关系式．
解析：(1)小物块沿斜面上滑时，由牛顿第二定律：
mgsin θ＋μmgcos θ＝ma
上滑时间t＝
解得：t＝＝
由数学知识可知，当θ＝60°时，tmin ＝ s
(2)小物块恰好的斜面上保持静止时有：
mgsin θ＝μmgcos θ
解得θ＝30°，
则当0≤θ≤30°，小物块在斜面上停下后即保持静止，
小物块在斜面上滑行的距离为x＝
小物块因摩擦产生的热量为Q＝μmgcos θ·x
联立解得：Q＝
当300<θ≤750，小物块在斜面上到达最高点后返回，经多次往返运动后，最终静止在水平面上，则小物块摩擦产生的热量为Q＝mv＝0.8 J
答案：(1)θ＝60°，t＝s (2)当0≤θ≤30°时，Q＝，当30°＜θ≤75°时，Q＝0.8 J
11．如图，在高h1＝30 m的光滑水平平台上，质量m＝1 kg的小物块压缩弹簧后被锁扣K锁住，储存了一定量的弹性势能Ep.若打开锁扣K，物块将以一定的水平速度v1向右滑下平台，做平抛运动，并恰好能从光滑圆弧形轨道BC的B点沿切线方向进入圆弧形轨道．B点的高度h2＝15 m，圆弧轨道的圆心O与平台等高，轨道最低点C的切线水平，并与地面上长为L＝70 m的水平粗糙轨道CD平滑连接；小物块沿轨道BCD运动与右边墙壁发生碰撞，g取10 m/s2.求：
(1)小物块由A到B的运动时间；
(2)小物块原来压缩弹簧时储存的弹性势能Ep的大小；
(3)若小物块与墙壁只发生一次碰撞，碰后速度等大反向，运动至C点停止，试求动摩擦因数μ.
解析：(1)设从A运动到B的时间为t，
则h1－h2＝gt2，t＝ s.
(2)由R＝h1，得∠BOC＝60°.设小物块平抛的水平速度是v1，
则＝tan 60°
v1＝10 m/s
故Ep＝mv＝50 J.
(3)设小物块在水平轨道CD上通过的总路程为2L，
由能量守恒知，mgh1＋mv＝μmg·2L
代入数据计算得出μ＝.
答案：(1) s (2)50 J (3)
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