2020高考物理新创新大一轮复习新课改省份专用讲义：第四章第25课时　万有引力定律及应用（重点突破课）

第25课时　万有引力定律及应用(重点突破课)

[考点一　开普勒行星运动定律]

开普勒行星运动规律主要能解决行星绕太阳运动、卫星绕地球运动这两类问题，应用最多的是开普勒第三定律。难度中等偏下。

[典例]　(多选)(2019·武汉调研)水星或金星运行到地球和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星凌日”。已知地球的公转周期为365天，若将水星、金星和地球的公转轨道视为同一平面内的圆轨道，理论计算得到水星相邻两次凌日的时间间隔为116天，金星相邻两次凌日的时间间隔为584天，则下列判断合理的是(　　)

A．地球的公转周期大约是水星的2倍

B．地球的公转周期大约是金星的1.6倍

C．金星的轨道半径大约是水星的3倍

D．实际上水星、金星和地球的公转轨道平面存在一定的夹角，所以水星或金星相邻两次凌日的实际时间间隔均大于题干所给数据

[解析]　设水星、地球、金星的公转周期分别为T水、T地和T金，水星两次凌日时间差为t水，金星两次凌日时间差为t金，由题意可知，t水＝2π，t金＝2π，解得T水≈88天，T金≈225天，所以地球公转周期大约是水星公转周期的4倍，大约是金星公转周期的1.6倍，A错误，B正确；由开普勒第三定律可知，＝，解得＝≈<3，C错误；理论上发生凌日现象时，金星(或水星)、地球、太阳三者共线，如果金星(或水星)公转轨道与地球公转轨道存在一定夹角，此时并不能产生凌日现象，所以金星(或水星)相邻两次凌日的实际时间间隔应大于理论上的时间间隔，D正确。

[答案]　BD

[规律方法]

(1)行星绕太阳的运动轨道通常按圆轨道处理。

(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。

(3)开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同。

[集训冲关]

1．(2016·全国卷Ⅲ)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　　)

A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律

B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律

C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因

D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律

解析：选B　开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，选项A错误，B正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但没有找出行星按照这些规律运动的原因，选项C错误；牛顿发现了万有引力定律，选项D错误。

2．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　)

A．太阳位于木星运行轨道的中心

B．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等

C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方

D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积

解析：选C　火星和木星在椭圆轨道上运行，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，A项错误；由于火星和木星在不同的椭圆轨道上运行，速度大小变化，因此火星和木星的运行速度大小不一定相等，B项错误；由开普勒第三定律可知，＝＝k，＝，C项正确；由于火星和木星在不同的椭圆轨道上运行，因此它们在近日点时的速度大小不相等，在近日点时v火Δt与v木Δt不相等，D项错误。

3．(多选)(2017·全国卷Ⅱ)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中(　　)

A．从P到M所用的时间等于

B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大

C．从P到Q阶段，速率逐渐变小

D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功

解析：选CD　在海王星从P到Q的运动过程中，由于万有引力与速度的夹角大于90°，因此万有引力做负功，根据动能定理可知，速率逐渐变小，C项正确；海王星从P到M所用的时间小于从M到Q所用的时间，因此从P到M所用的时间小于，A项错误；由于海王星在运动过程中只受到万有引力的作用，万有引力做功不改变海王星的机械能，即从Q到N的运动过程中海王星的机械能守恒，B项错误；从M到Q的运动过程中万有引力与速度的夹角大于90°，因此万有引力做负功，从Q到N的过程中，万有引力与速度的夹角小于90°，因此万有引力做正功，即海王星从M到N的过程中万有引力先做负功后做正功，D项正确。

[考点二　万有引力定律]

万有引力定律是自然界最普遍的一条定律，高考命题中虽然很少直接考查万有引力的计算，但万有引力定律(公式)是分析几乎所有天体运动类问题的根本依据，复习时应注重定律的理解及应用。

1．万有引力定律

(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。

(2)公式：F＝G，其中G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，叫引力常量。

(3)适用条件

公式F＝G适用于质点、均匀介质球体或球壳之间万有引力的计算。当两物体为匀质球体或球壳时，可以认为匀质球体或球壳的质量集中于球心，r为两球心的距离，引力的方向沿两球心的连线，当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点，r为两物体间的距离。

2．万有引力与重力的关系

地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。

(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。

(2)在两极上：G＝mg2。

3．经典时空观和相对论时空观

(1)经典时空观

①物体的质量不随速度的变化而变化。

②同一过程的位移和对应的时间在所有参考系中测量结果相同。

③适用条件：宏观物体、低速运动。

(2)相对论时空观

同一过程的位移和对应时间在不同参考系中测量结果不同。

[典例]　如图所示，有一个质量为M，半径为R，密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)(　　)

A．G　　　　　　　　 B．0

C．4G  D．G

[解析]　若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体对m的吸引力与挖去小球体对m的吸引力之差，挖去的小球体球心与m重合，对m的万有引力为零，则剩余部分对m的万有引力等于完整大球体对m的万有引力；以大球体球心为中心分离出半径为的球，易知其质量为M，则剩余均匀球壳对m的万有引力为零，故剩余部分对m的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律，F＝G＝G，故D正确。

[答案]　D

[规律方法]

(1)在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F＝0。

(2)如图所示，在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的引力，即F＝G。

(3)运用“填补法”解题的关键是紧扣万有引力定律的适用条件，先填补后运算，运用“填补法”解题主要体现了等效思想。

[集训冲关]

1．两个质量均匀的球形物体，两球心相距r时，它们之间的万有引力为F，若将两球的半径都加倍，两球心的距离也加倍，它们之间的万有引力为(　　)

A．2F　　　　　　　　　 B．4F

C．8F  D．16F

解析：选D　由m＝ρ知，两球的半径都加倍，它们的质量都变为原来的8倍，且两球心的距离也加倍，由万有引力定律得F＝G，两物体间的万有引力变为原来的16倍，故D正确。

2．(多选)用m表示地球通讯卫星(同步卫星)的质量，h表示其离地面的高度，用R表示地球的半径，g表示地球表面的重力加速度，ω表示地球自转的角速度。则通讯卫星所受地球对它的万有引力的大小为(　　)

A．G  B.

C．mω2(R＋h)   D．m

解析：选BCD　由万有引力定律得F＝G，地球表面的重力加速度g＝G，解得F＝，万有引力充当向心力，有F＝mω2(R＋h)，解得F＝m，故B、C、D正确。

3.如图所示，有人设想要“打穿地球”从中国建立一条通过地心的光滑隧道直达巴西。若只考虑物体间的万有引力，则从隧道口抛下一物体，物体的加速度(　　)

A．一直增大  B．一直减小

C．先增大后减小  D．先减小后增大

解析：选D　设地球的平均密度为ρ，物体在隧道内部离地心的距离为r，物体的质量为m，则物体所受的万有引力F＝G＝πGρmr，物体的加速度a＝＝πGρr，由题意可知r先减小后增大，故物体的加速度先减小后增大，选项D正确。

[考点三　天体质量与密度的估算]

天体质量和密度的估算是高考考查的热点，题型一般为选择题，难度中等或中等偏上。只有中心天体的质量和密度才能估算，学生常因为混淆环绕天体和中心天体而失分，估算天体质量与密度常利用以下两条途径。

1．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R进行估算。

(1)由G＝mg得天体质量M＝。

(2)天体密度ρ＝＝＝。

(3)GM＝gR2称为黄金代换公式。

2．测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r进行估算。

(1)由G＝m得天体的质量M＝。

(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。

(3)卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。

[典例]　(多选)(2016·海南高考)通过观测冥王星的卫星，可以推算出冥王星的质量。假设卫星绕冥王星做匀速圆周运动，除了引力常量外，至少还需要两个物理量才能计算出冥王星的质量。这两个物理量可以是(　　)

A．卫星的速度和角速度

B．卫星的质量和轨道半径

C．卫星的质量和角速度

D．卫星的运行周期和轨道半径

[解析]　若已知线速度和角速度可以求出半径r＝，根据万有引力提供向心力，则有＝m，解得M＝，故选项A正确；由于卫星的质量m可约掉，故选项B、C错误；若已知卫星的运行周期和轨道半径，则＝m2r，解得M＝，故选项D正确。

[答案]　AD

[易错提醒]

(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，求出的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。

(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天体密度时，体积V＝πR3只能用天体半径R。

[集训冲关]

1．假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G。地球的密度为(　　)

A.　　　　　　 B.

C.  D.

解析：选B　物体在地球的两极时，mg0＝G，物体在赤道上时，mg＋m2R＝G，M＝ρ·πR3，解得地球的密度ρ＝。故选项B正确，A、C、D错误。

2．“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟。已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km。利用以上数据计算月球的质量约为(　　)

A．8.1×1010 kg  B．7.4×1013 kg

C．5.4×1019 kg  D．7.4×1022 kg

解析：选D　对“嫦娥一号”探月卫星，万有引力提供其做圆周运动的向心力，则G＝m(R＋h)，得：M＝(R＋h)3，代入数据可得：M≈7.4×1022 kg，D正确。

3．(2018·全国卷Ⅱ)2018年2月，我国500 m口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J0318＋0253”，其自转周期T＝5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为6.67×10－11 N·m2/kg2。以周期T稳定自转的星体的密度最小值约为(　　)

A．5×109 kg/m3  B．5×1012 kg/m3

C．5×1015 kg/m3  D．5×1018 kg/m3

解析：选C　脉冲星自转，边缘物体m恰对星体无压力时万有引力提供向心力，则有G＝mr，又M＝ρ·πr3，解得密度ρ＝＝ kg/m3≈5×1015 kg/m3，C正确。

[考点四　与重力加速度有关的问题]

天体表面附近的重力加速度等于天体表面做抛体运动的加速度。此类问题可利用抛体运动规律求出重力加速度，再结合万有引力定律求天体的质量或密度。

1．在地球表面附近的重力加速度g(不考虑地球自转)

由mg＝G，得g＝。

2．在距地面高h处的重力加速度g′

由mg′＝，得g′＝

所以＝。

[典例]　若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处、以相同的速率平抛一物体，物体在行星和地球的水平方向上运动的距离之比为2∶。已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R。由此可知，该行星的半径约为(　　)

A.R　　　　　　　　 B.R

C．2R  D.R

[解析]　做平抛运动的物体在水平方向上做匀速直线运动，即x＝v0t，在竖直方向上做自由落体运动，即h ＝gt2，所以x＝v0 ，两种情况下，物体抛出的速率相同、高度相同，所以＝＝，根据公式G＝mg，可得g＝，故＝＝，解得R行＝2R，故C正确。

[答案]　C

[规律方法]

地球表面的物体运动规律的迁移应用

在地球上所有只在重力作用下的运动形式，如自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动、斜抛运动等，其运动规律和研究方法同样适用于在其他星球表面的同类运动的分析，只是重力加速度取值不同而已。

[集训冲关]

1．宇航员王亚平在“天宫一号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为(　　)

A．0　　　　　　　　　　 B.

C.  D.

解析：选B　飞船受的万有引力等于在该处所受的重力，即G＝mg，得g＝，选项B正确。

2．科幻大片《星际穿越》是基于知名理论物理学家基普·索恩的黑洞理论，加入人物和相关情节改编而成的。电影中的黑洞花费三十名研究人员将近一年的时间，用数千台计算机精确模拟才得以实现，让我们看到了迄今最真实的黑洞模样。若某黑洞的半径R约为45 km，质量M和半径R的关系满足＝(其中c＝3×108 m/s，G为引力常量)，则该黑洞表面的重力加速度为(　　)

A．108 m/s2  B．1010 m/s2

C．1012 m/s2  D．1014 m/s2

解析：选C　黑洞实际为一天体，天体表面的物体受到的重力近似等于物体与该天体之间的万有引力，设黑洞表面的重力加速度为g，对黑洞表面的某一质量为m的物体，有＝mg，又有＝，联立解得g＝，代入数据得重力加速度为1012 m/s2，故选项C正确。

3．据美国宇航局消息，在距离地球40光年的地方发现了三颗可能适合人类居住的类地行星。假设某天我们可以穿越时空到达某一行星，测得以初速度10 m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度只有1 m，而其球体半径只有地球的一半，则行星的平均密度和地球的平均密度之比为(取地球表面的重力加速度为 10 m/s2)(　　)

A．5∶2  B．2∶5

C．1∶10  D．10∶1

解析：选D　根据h＝和g＝，可得M＝，即ρπR3＝，行星平均密度ρ＝∝，在地球表面以初速度10 m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度h地＝＝5 m。据此可得，该类地行星和地球的平均密度之比为10∶1，选项D正确。