2020届高考数学一轮复习新课改省份专用学案：第四章第五节三角恒等变换

第五节　三角恒等变换突破点一　三角函数求值1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式C(α－β)cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin βC(α＋β)cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_βS(α－β)sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_βS(α＋β)sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_βT(α－β)tan(α－β)＝；变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)T(α＋β)tan(α＋β)＝；变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)2.二倍角公式S2αsin 2α＝2sin_αcos_α；变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2C2αcos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；变形：cos2α＝，sin2α＝T2αtan 2α＝一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　)(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(　　)(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)(4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　)答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×二、填空题1．已知tan α＝2，则tan＝________.解析：∵tan α＝2，∴tan＝＝.答案：2．化简cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°的值为________．解析：法一：原式＝cos 18°cos 42°－sin 18°sin 42°＝cos(18°＋42°)＝cos 60°＝.法二：原式＝sin 72°cos 42°－cos 72°sin 42°＝sin(72°－42°)＝sin 30°＝.答案：3.cos 15°－4sin215°cos 15°＝________.解析：cos 15°－4sin215°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝.答案：4．设sin α＝2cos α，则tan 2α的值为________．解析：由题可知，tan α＝＝2，∴tan 2α＝＝－.答案：－考法一　三角函数式的化简求值　1．三角函数式化简的一般要求：(1)函数名称尽可能少；(2)项数尽可能少；(3)尽可能不含根式；(4)次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次，降幂或升幂，“1”的代换，弦切互化等．[例1]　(1)＝(　　)A．－　　　　　　　　 B．－C.  D.(2)化简：＝________ .[解析]　(1)＝＝＝sin 30°＝.(2)法一：原式＝＝＝＝1.法二：原式＝＝＝＝＝1.[答案]　(1)C　(2)1[方法技巧]　三角函数式的化简要遵循“三看”原则考法二　三角函数的给值求值(角)　 [例2]　(1)(2019·辽宁师大附中期末)若α，β均为锐角且cos α＝，cos(α＋β)＝－，则sin＝(　　)A．－  B.C．－  D.(2)(2019·福州外国语学校适应性考试)已知A，B均为钝角，sin2＋cos＝，且sin B＝，则A＋B＝(　　)A.  B.C.  D.[解析]　(1)∵α，β均为锐角，∴0<α＋β<π.∵cos α＝，cos(α＋β)＝－，∴sin α＝，sin(α＋β)＝.∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝×＋×＝.∴sin＝－cos 2β＝1－2cos2β＝.故选B.(2)因为sin2＋cos＝，所以＋cos A－sin A＝，即－sin A＝，解得sin A＝.因为A为钝角，所以cos A＝－＝－ ＝－.由sin B＝，且B为钝角，可得cos B＝－＝－ ＝－.所以cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝×－×＝.又A，B都为钝角，即A，B∈，所以A＋B∈(π，2π)，故A＋B＝，故选C.[答案]　(1)B　(2)C[方法技巧]1．给值求值问题的求解思路(1)化简所求式子．(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手)．(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．2．给值求角问题的解题策略(1)讨论所求角的范围．(2)根据已知条件，选取合适的三角函数求值．①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数．若角的范围是，选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函数较好；若角的范围为，选正弦函数较好．(3)由角的范围，结合所求三角函数值写出要求的角．　　1.已知sin 2α＝，则cos2＝(　　)A.  B.C.  D.解析：选A　∵sin 2α＝，∴cos2＝＝＝＝.故选A.2.(1＋tan 18°)·(1＋tan 27°)的值是(　　)A.  B．1＋C．2  D．2(tan 18°＋tan 27°)解析：选C　(1＋tan 18°)(1＋tan 27°)＝1＋tan 18°＋tan 27°＋tan 18°tan 27°＝1＋    tan 45°(1－tan 18°tan 27°)＋tan 18°·tan 27°＝2.故选C.3.若cos＝，则cos的值为(　　)A.  B．－C.  D．－解析：选A　∵cos＝，∴cos＝2cos2－1＝2×2－1＝－，∴cos＋2α＝cos＝－cos＝.故选A.4.定义运算＝ad－bc.若cos α＝，＝，0<β<α<，则β＝________.解析：依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝.又0<β<α<，∴0<α－β<，故cos(α－β)＝＝，而cos α＝，∴sin α＝，于是sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝，故β＝.答案：突破点二　三角恒等变换的综合问题利用三角恒等变换将三角函数化简后研究图象及性质是高考的热点．在高考中以解答题的形式出现，考查三角函数的值域、最值、单调性、周期、奇偶性、对称性等问题．[典例]　(2019·北京朝阳期末)已知函数f(x)＝(sin x＋cos x)2－cos 2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求证：当x∈时，f(x)≥0.[解]　(1)因为f(x)＝sin2x＋cos2x＋sin 2x－cos 2x＝1＋sin 2x－cos 2x＝sin＋1，所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)证明：由(1)可知，f(x)＝sin＋1.当x∈时，2x－∈，sin∈，sin＋1∈[0，＋1]．当2x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最小值0.所以当x∈时，f(x)≥0.[方法技巧]求函数周期、最值、单调区间的方法步骤(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的形式；(2)利用公式T＝(ω>0)求周期；(3)根据自变量的范围确定ωx＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；(4)根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y＝Asin(ωx＋φ)＋t或y＝Acos(ωx＋φ)＋t的单调区间．　　[针对训练](2019·襄阳四校期中联考)设函数f(x)＝coscos x－sin2(π－x)－.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若f(α)＝－1，且α∈，求f的值．解：(1)∵f(x)＝sin xcos x－sin2x－＝(sin 2x＋cos 2x)－1＝sin－1，∴f(x)的最小正周期T＝＝π.由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，∴f(x)的单调递增区间为，k∈Z.(2)∵f(α)＝sin－1＝－1，∴sin＝.由α∈知2α＋∈，∴cos＝－.∴f＝sin－1＝sin－1＝－1＝×－1＝－.