2020版一轮复习数学（理）江苏专版学案：第二章第六节指数与指数函数

第六节指数与指数函数


1．有理数指数幂
(1)幂的有关概念
①正分数指数幂：
a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．
②负分数指数幂：
a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．
③0的正分数指数幂等于,0的负分数指数幂没有意义．
(2)有理数指数幂的性质
①aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；
②(ar)s＝(a＞0，r，s∈Q)；
③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．
2．指数函数的图象与性质
y＝ax
a＞1
0＜a＜1
图象


定义域
R
值域
(0，＋∞)
性质
过定点(0,1)
当x＞0时，y＞1；
x＜0时，0＜y＜1
当x＞0时，0＜y＜1；
x＜0时，y＞1
在区间(－∞，＋∞)上是增函数
在区间(－∞，＋∞)上是减函数

[小题体验]
1．函数f(x)＝2ax＋1－1(a＞0，且a≠1)恒过定点________．
答案：(－1,1)
2．已知0.2m＜0.2n，则m______n(填“＞”或“＜”)．
答案：＞
3．计算：(a2·)÷(·)＝________.
答案：a

1．在进行指数幂的运算时，一般用分数指数幂的形式表示，并且结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数．
2．指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意区分a＞1或0＜a＜1.
[小题纠偏]
1．化简(a＞0，b＞0)的结果为________．
答案：
2．若函数y＝(a－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．
答案：(1,2)

　
[题组练透]
化简与求值：
(1)0＋2－2·－(0.01)0.5；
(2)a·b－2·÷；
(3).
解：(1)原式＝1＋×－
＝1＋×－
＝1＋－
＝.
(2)原式＝－ab－3÷(4a·b－3)
＝－ab－3÷(ab)
＝－a·b
＝－·＝－.
(3)原式＝
＝a·b
＝.
[谨记通法]
指数幂运算的一般原则
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
　
[典例引领]
1．(2019·苏州调研)若a＞1，b＜－1，则函数f(x)＝ax＋b的图象经过第________象限．
解析：∵a＞1，
∴y＝ax的图象过第一、第二象限，且是单调增函数，经过(0,1)，
f(x)＝ax＋b的图象可看成把y＝ax的图象向下平移－b(－b＞1)个单位得到的，
故函数f(x)＝ax＋b的图象经过第一、三、四象限．
答案：一、三、四
2．已知f(x)＝|2x－1|.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)比较f(x＋1)与f(x)的大小．
解：(1)由f(x)＝|2x－1|＝可作出函数f(x)的图象如图所示．因此函数f(x)的单调递减区间为(－∞，0)，单调递增区间为(0，＋∞)．


(2)在同一坐标系中，分别作出函数f(x)、f(x＋1)的图象，如图所示．
由图象知，当2－1＝1－2，即x0＝log2时，两图象相交，
由图象可知，当x＜log2时，f(x)＞f(x＋1)；
当x＝log2时，f(x)＝f(x＋1)；
当x＞log2时，f(x)＜f(x＋1)．
[由题悟法]
指数函数图象的画法及应用
(1)画指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．
(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．
[即时应用]
1．若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
解析：作出曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，
由图象可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．

答案：[－1,1]
2．已知函数y＝|x＋1|.
(1)作出该函数的图象；
(2)由图象指出函数的单调区间．
解：(1)y＝|x＋1|＝
其图象由两部分组成：
一部分是：y＝x(x≥0)y＝x＋1(x≥－1)；
另一部分是：y＝3x(x＜0)y＝3x＋1(x＜－1)，函数图象如图所示．

(2)由图象知函数的单调递增区间是(－∞，－1]，单调递减区间是(－1，＋∞)．
　
[锁定考向]
高考常以填空题的形式考查指数函数的性质及应用，常见的命题角度有：
(1)比较指数式的大小；
(2)简单的指数不等式；
(3)指数型函数的性质．　　　 　
[题点全练]
角度一：比较指数式的大小
1．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是________(用“＞”表示)．
解析：因为函数y＝0.6x是减函数，0＜0.6＜1.5，所以1＞0.60.6＞0.61.5，
即b＜a＜1.因为函数y＝1.5x在(0，＋∞)上是增函数，
0．6＞0，
所以1.50.6＞1.50＝1，
即c＞1.综上，c＞a＞b.
答案：c＞a＞b
角度二：简单的指数不等式
2．设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是________．
解析：当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为a－7＜1，
即a＜8，即a＜－3，
因为0＜＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；
当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为＜1，
所以0≤a＜1.故a的取值范围是(－3,1)．
答案：(－3,1)
角度三：指数型函数的性质
3．(1)若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值等于________．
(2)如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值为14，则a的值为________．
解析：(1)函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)的图象关于直线x＝a对称，由f(1＋x)＝f(1－x)得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故a＝1，则f(x)＝2|x－1|＝由复合函数的单调性得f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故m≥1，所以实数m的最小值等于1.
(2)令ax＝t，则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2.
当a＞1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈.
又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3(负值舍去)．
当0＜a＜1时，因为x∈[－1,1]，所以t∈.
又函数y＝(t＋1)2－2在上单调递增，
所以ymax＝2－2＝14，解得a＝(负值舍去)．
综上，a＝3或a＝.
答案：(1)1　(2)3或
4．(2019·启东中学高三检测)已知函数f(x)＝9x－2a·3x＋3.
(1)若a＝1，x∈[0,1]，求f(x)的值域；
(2)当x∈[－1,1]时，求f(x)的最小值h(a)；
(3)是否存在实数m，n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h(a)的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝9x－2·3x＋3，
则f(x)＝(3x－1)2＋2.
因为x∈[0,1]，所以3x∈[1,3]，f(x)∈[2,6]．
(2)令3x＝t，因为x∈[－1,1]，故t∈，函数f(x)可化为g(t)＝t2－2at＋3＝(t－a)2＋3－a2.
当a＜时，h(a)＝g＝－；
当≤a≤3时，h(a)＝g(a)＝3－a2；
当a＞3时，h(a)＝g(3)＝12－6a.
综上，h(a)＝
(3)因为n＞m＞3，h(a)＝12－6a为减函数，
所以h(a)在[m，n]上的值域为[h(n)，h(m)]，
又h(a)在[m，n]上的值域为[m2，n2]，
所以即
两式相减，得6(m－n)＝m2－n2＝(m＋n)(m－n)，
所以m＋n＝6.
而由n＞m＞3可得m＋n＞6，矛盾．
所以不存在满足条件的实数m，n.
[通法在握]
应用指数函数性质的常见3大题型及求解策略
题型
求解策略
比较幂值的大小
(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小
简单指数不等式
先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解
指数型函数的性质
与探究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致
[提醒]　在探究指数型函数的单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论．
[演练冲关]
已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数且a＞0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)试确定f(x)；
(2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝b·ax的图象过点A(1,6)，B(3,24)，
所以
②÷①得a2＝4，又a＞0且a≠1，所以a＝2，b＝3，
所以f(x)＝3·2x.
(2)由(1)知x＋x－m≥0在(－∞，1]上恒成立可转化为m≤x＋x在(－∞，1]上恒成立．
令g(x)＝x＋x，
则g(x)在(－∞，1]上单调递减，
所以m≤g(x)min＝g(1)＝＋＝，
故所求实数m的取值范围是.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2019·连云港调研)已知a＝3π，b＝eπ，c＝e3，则a，b，c的大小关系为________．
解析：由y＝ex是增函数，得b＝eπ＞c＝e3，由y＝xπ是增函数，得a＝3π＞b＝eπ，故c＜b＜a.
答案：c＜b＜a
2．已知函数y＝ax－1＋3(a＞0且a≠1)图象经过点P，则点P的坐标为________．
解析：当x＝1时，y＝a0＋3＝4，
∴函数y＝ax－1＋3(a＞0且a≠1)的图象恒过定点(1,4)．
∴点P的坐标为(1,4)．
答案：(1,4)
3．在同一平面直角坐标系中，函数f(x)＝2x＋1与g(x)＝x－1的图象关于________对称．
解析：因为g(x)＝21－x＝f(－x)，所以f(x)与g(x)的图象关于y轴对称．
答案：y轴
4．已知f(x)＝3x－b(2≤x≤4，b为常数)的图象经过点(2,1)，则f(x)的值域为________．
解析：由f(x)过定点(2,1)可知b＝2，
因为f(x)＝3x－2在[2,4]上是增函数，
所以f(x)min＝f(2)＝1，f(x)max＝f(4)＝9.
故f(x)的值域为[1,9]．
答案：[1,9]
5．不等式2＞x＋4的解集为________．
解析：不等式2－x2＋2x＞x＋4可化为x2－2x＞x＋4，等价于x2－2x＜x＋4，即x2－3x－4＜0，
解得－1＜x＜4.
答案：{x|－1＜x＜4}
6．(2019·徐州调研)若函数f(x)＝ax－1(a＞1)在区间[2,3]上的最大值比最小值大，则a＝________.
解析：∵函数f(x)＝ax－1(a＞1)在区间[2,3]上为增函数，
∴f(x)max＝f(3)＝a2，f(x)min＝f(2)＝a.
由题意可得a2－a＝，解得a＝.
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．若函数f(x)＝a|x＋1|(a＞0，且a≠1)的值域为[1，＋∞)，则f(－4)与f(1)的大小关系是________．
解析：由题意知a＞1，f(－4)＝a3，f(1)＝a2，由y＝at(a＞1)的单调性知a3＞a2，
所以f(－4)＞f(1)．
答案：f(－4)＞f(1)
2．(2018·启东中学检测)满足x－3＞16的x的取值范围是________．
解析：∵x－3＞16，∴x－3＞－2，
∵函数y＝x在定义域上是减函数，
∴x－3＜－2，故x＜1.
答案：(－∞，1)
3．已知实数a，b满足等式2 017a＝2 018b，下列五个关系式：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b.其中不可能成立的关系式有________个．
解析：设2 017a＝2 018b＝t，如图所示，由函数图象，可得若t＞1，则有a＞b＞0；若t＝1，则有a＝b＝0；若0＜t＜1，则有a＜b＜0.故①②⑤可能成立，而③④不可能成立．
答案：2
4．若函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：依题意，a应满足解得＜a≤.
答案：
5．(2019·苏州中学检测)函数f(x)＝x2＋1的值域为________．
解析：令u＝x2＋1，可得f(u)＝u是减函数，
而u＝x2＋1的值域为[1，＋∞)，
∴函数f(x)＝x2＋1的值域为.
答案：
6．(2019·无锡调研)函数f(x)＝x2－2x＋6的单调递增区间是________．
解析：设u(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5，对称轴为x＝1，
则u(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，
又y＝x在R上单调递减，
所以f(x)＝ x2－2x＋6在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
答案：(－∞，1)
7．已知函数f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是________．
解析：因为f(x)＝a－x＝x，且f(－2)＞f(－3)，
所以函数f(x)在定义域上单调递增，
所以＞1，
解得0＜a＜1.
答案：(0,1)
8．当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)·4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是________．
解析：原不等式变形为m2－m＜x，
因为函数y＝x在(－∞，－1]上是减函数，
所以x≥－1＝2，
当x∈(－∞，－1]时，m2－m＜x恒成立等价于m2－m＜2，解得－1＜m＜2.
答案：(－1,2)
9．化简下列各式：
(1)0.5＋0.1－2＋－3π0＋；
(2) ÷ .
解：(1)原式＝＋＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100.
(2)原式＝ ÷ ＝ ÷ ＝a÷a＝a＝a.
10．(2018·苏州调研)已知函数f(x)＝3x＋λ·3－x(λ∈R)．
(1)若f(x)为奇函数，求λ的值和此时不等式f(x)＞1的解集；
(2)若不等式f(x)≤6对x∈[0,2]恒成立，求实数λ的取值范围．
解：(1)函数f(x)＝3x＋λ·3－x的定义域为R.
因为f(x)为奇函数，
所以f(－x)＋f(x)＝0对∀x∈R恒成立，
即3－x＋λ·3x＋3x＋λ·3－x＝(λ＋1)(3x＋3－x)＝0对∀x∈R恒成立，
所以λ＝－1.
由f(x)＝3x－3－x＞1，得(3x)2－3x－1＞0，
解得3x＞或3x＜(舍去)，
所以不等式f(x)＞1的解集为.
(2)由f(x)≤6，得3x＋λ·3－x≤6，即3x＋≤6.
令t＝3x∈[1,9]，则问题等价于t＋≤6对t∈[1,9]恒成立，
即λ≤－t2＋6t对t∈[1,9]恒成立，
令g(t)＝－t2＋6t，t∈[1,9]，
因为g(t)在[1,3]上单调递增，在[3,9]上单调递减，
所以当t＝9时，g(t)有最小值g(9)＝－27，
所以λ≤－27，即实数λ的取值范围为(－∞，－27]．
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．当x∈[1,2]时，函数y＝x2与y＝ax(a＞0)的图象有交点，则a的取值范围是________．
解析：当a＞1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足·22≥a2，即1＜a≤；
当0＜a＜1时，如图②所示，需满足·12≤a1，即≤a＜1.
综上可知，a∈.
　
答案：
2．(2018·南京调研)已知二次函数f(x)＝mx2－2x－3，关于实数x的不等式f(x)≤0的解集为[－1，n]．
(1)当a≥0时，解关于x的不等式ax2＋n＋1＞(m＋1)x＋2ax；
(2)是否存在实数a∈(0,1)，使得关于x的函数y＝f(ax)－3ax＋1在x∈[1,2]上的最小值为－？若存在，求实数a的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)由f(x)＝mx2－2x－3≤0的解集为[－1，n]知，关于x的方程mx2－2x－3＝0的两根为－1和n，且m＞0，
则所以
所以原不等式可化为(x－2)(ax－2)＞0.
①当a＝0时，原不等式化为(x－2)×(－2)＞0，解得x＜2；
②当0＜a＜1时，原不等式化为(x－2)·＞0，且2＜，解得x＞或x＜2；
③当a＝1时，原不等式化为(x－2)2＞0，解得x∈R且x≠2；
④当a＞1时，原不等式化为(x－2)·＞0，且2＞，解得x＜或x＞2.
综上所述，当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＜2}；
当0＜a≤1时，原不等式的解集为；
当a＞1时，原不等式的解集为.
(2)假设存在满足条件的实数a，
由(1)知f(x)＝x2－2x－3，
y＝f(ax)－3ax＋1＝a2x－(3a＋2)ax－3.
令ax＝t，a2≤t≤a，
则y＝t2－(3a＋2)t－3，
此函数图象的对称轴为t＝，
因为a∈(0,1)，所以a2＜a＜1,1＜＜，
所以函数y＝t2－(3a＋2)t－3在[a2，a]上单调递减，
所以当t＝a时，y取得最小值，最小值为y＝－2a2－2a－3＝－，
解得a＝－(舍去)或a＝.
故存在满足条件的a，a的值为.