2020高考数学新创新大一轮复习新课改省份专用讲义：第二章第四节　指数与指数函数

第四节　指数与指数函数
突破点一　指数幂的运算


1．根式
(1)根式的概念
若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
(2)a的n次方根的表示
xn＝a⇒
2．有理数指数幂
幂的有关概念
正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
负分数指数幂：a－＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)
0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂无意义
有理数指数幂的性质
aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)
(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)
(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)＝－a.(　　)
(2)(－a)＝(－a)＝.(　　)
(3)()n＝a.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√
二、填空题
1．计算：π0＋2－2×＝________.
答案：
2．设a>0，将表示成分数指数幂的形式，其结果是________．
解析：＝＝＝＝a2·a＝a＝a.
答案：a
3．若＝，则实数a的取值范围为________．
解析：＝|2a－1|，＝1－2a.
因为|2a－1|＝1－2a.
故2a－1≤0，所以a≤.
答案：

指数幂的运算规律
(1)有括号的先算括号里的，无括号的先进行指数运算．
(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．
(3)底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数的，先化成假分数．
(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．
[典例]　(1)(a>0)的值是(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．a
C．a D．a
(2)0＋2－2·－(0.01)0.5＝________.
[解析]　(1)＝＝a＝a.故选D.
(2)原式＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝.
[答案]　(1)D　(2)
[方法技巧]
化简指数幂常用的技巧
(1)－p＝p(ab≠0)；
(2)a＝m，a＝(a)n(式子有意义)；
(3)1的代换，如1＝a－1a,1＝aa等；

(4) 乘法公式的常见变形，如(a＋b)(a－b)＝a－b，(a±b)2＝a±2ab＋b，(a±b)(a∓ab＋b)＝a±b.　　
[针对训练]
1．化简(a>0，b>0)的结果是(　　)
A．a B．ab
C．a2b D.
解析：选D　原式＝＝a·b＝.
2．(2019·江西百校联盟联考)已知14a＝7b＝4c＝2，则－＋＝________.
解析：由题设可得2＝14,2＝7,2＝4，
则2＝＝2，
∴2＝2×4＝23，
∴－＋＝3.
答案：3
3．若x>0，则(2x＋3)(2x－3)－4x (x－x)＝________.
解析：因为x>0，所以原式＝(2x)2－(3)2－4x·x＋4x·x＝4x－3－4x＋4x＝4x－33－4x＋4x0＝－27＋4＝－23.
答案：－23
突破点二　指数函数的图象及应用


1．指数函数的图象
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
00，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.
3．指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.
由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．

一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)y＝2x－1是指数函数．(　　)
(2)y＝ax＋1的图象恒过定点(－1,1)．(　　)
(3)要得到y＝3x＋2的图象只需将y＝3x的图象向左平移2个单位即可．(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)√
二、填空题
1．函数y＝ax－3＋3(a>0，且a≠1)的图象过定点________．
解析：因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)．
答案：(3,4)
2．函数y＝2x＋1的图象是________(填序号)．


解析：由y＝2x的图象向左平移1个单位可得y＝2x＋1的图象．答案：①
3．已知函数y＝x的图象与指数函数y＝ax的图象关于y轴对称，则实数a的值是________．
解析：由两函数的图象关于y轴对称，可知与a互为倒数，即＝1，解得a＝4.
答案：4


考法一　与指数函数有关的图象辨析　
[例1]　(2019·河北武邑中学调研)函数y＝e－|x－1|的大致图象是(　　)

[解析]　因为－|x－1|≤0，所以0x－1，且x－(x－1)＝1，f(0)＝1，
所以要使f(x)＋f(x－1)>1成立，
结合函数f(x)的图象知只需x－1>－1，
解得x>0.故所求x的取值范围是(0，＋∞)．
[答案]　(0，＋∞)

有关指数函数图象问题的解题思路
(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．
(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．

1.函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是(　　)

解析：选A　由f(x)＝1－e|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B、D.又e|x|≥1，所以f(x)的值域为(－∞，0]，排除C.
2.函数y＝ax－b(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞)　　　　　　　 B．(0，＋∞)
C．(0,1) D．无法确定
解析：选C　因为函数y＝ax－b的图象经过第二、三、四象限，所以函数y＝ax－b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上．令x＝0，则y＝a0－b＝1－b，由题意得解得故ab∈(0,1)，故选C.
3.若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．
解析：曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图可知：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．

答案：[－1,1]
突破点三　指数函数的性质及应用


指数函数的性质
函数
y＝ax(a>0，且a≠1)
00时，01.(　　)
(2)若指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在[1,2]上的最大值为2，则a为.(　　)
(3)若am>an(a>0，且a≠1)，则m>n.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×
二、填空题
1．函数y＝1－x的单调递增区间为________．
答案：(－∞，＋∞)
2．若－1