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    2020届高考数学一轮复习新课改省份专用学案:第八章第一节直线与方程

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    2020届高考数学一轮复习新课改省份专用学案:第八章第一节直线与方程

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    第八章解析几何
    第一节 直线与方程
    突破点一 直线的倾斜角与斜率、两直线的位置关系


    1.直线的倾斜角
    (1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.
    (2)范围:直线l倾斜角的范围是[0,π).
    2.直线的斜率公式
    (1)定义式:若直线l的倾斜角α≠,则斜率k=tan_α.
    (2)两点式:P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上,且x1≠x2,则l的斜率k=.
    3.两条直线平行与垂直的判定
    两条直线平行
    对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2⇔k1=k2.
    当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2
    两条直线垂直
    如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则有l1⊥l2⇔k1·k2=-1.
    当其中一条直线的斜率不存在,而另一条直线的斜率为0时,l1⊥l2


    一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)
    (1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.(  )
    (2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率.(  )
    (3)直线的倾斜角越大,其斜率就越大.(  )
    (4)当直线l1和l2斜率都存在时,一定有k1=k2⇒l1∥l2.(  )
    (5)如果两条直线l1与l2垂直,则它们的斜率之积一定等于-1.(  )
    答案:(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×
    二、填空题
    1.过点M(-1,m),N(m+1,4)的直线的斜率等于1,则m的值为________.
    答案:1
    2.若直线l1:(a-1)x+y-1=0和直线l2:3x+ay+2=0垂直,则实数a的值为________.
    答案:
    3.(2019·湖南百所中学检测)若直线l1:ax+y-1=0与l2:3x+(a+2)y+1=0平行,则a的值为________.
    答案:1
    4.直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是________.
    答案:



    考法一 直线的倾斜角与斜率 
    1.直线都有倾斜角,但不一定都有斜率,二者的关系具体如下:
    斜率k
    k=tan α>0
    k=0
    k=tan α<0
    不存在
    倾斜角α
    锐角

    钝角
    90°

    2.在分析直线的倾斜角和斜率的关系时,要根据正切函数k=tan α的单调性,如图所示:

    (1)当α取值在内,由0增大到时,k由0增大并趋向于正无穷大;
    (2)当α取值在内,由增大到π(α≠π)时,k由负无穷大增大并趋近于0.
    解决此类问题,常采用数形结合思想.
    [例1] (1)(2019·江西五校联考)已知直线l与两条直线y=1,x-y-7=0分别交于P,Q两点,线段PQ的中点坐标为(1,-1),那么直线l的斜率是(  )
    A.          B.
    C.- D.-
    (2)(2019·张家口模拟)直线l经过A(2,1),B(1,-m2)(m∈R)两点,则直线l的倾斜角α的取值范围是(  )
    A. B.
    C. D.
    [解析] (1)设P(a,1),Q(b,b-7),
    则解得所以P(-2,1),Q(4,-3),
    所以直线l的斜率k==-,故选C.
    (2)直线l的斜率k=tan α==m2+1≥1,所以≤α<.
    [答案] (1)C (2)C
    [方法技巧]
    求直线倾斜角范围的注意事项
    直线倾斜角的范围是[0,π),而这个区间不是正切函数的单调区间,因此根据斜率求倾斜角的范围时,要分与两种情况讨论.由正切函数图象可以看出,当α∈时,斜率k∈[0,+∞);当α=时,斜率不存在;当α∈时,斜率k∈(-∞,0).  
    考法二 两直线的位置关系 
    两直线位置关系的判断方法
    (1)已知两直线的斜率存在
    ①两直线平行⇔两直线的斜率相等且坐标轴上的截距不相等;
    ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积为-1.
    (2)已知两直线的斜率不存在
    若两直线的斜率不存在,当两直线在x轴上的截距不相等时,两直线平行;否则两直线重合.

    [例2] (1)(2019·武邑中学月考)已知过两点A(-3,m),B(m,5)的直线与直线3x+y-1=0平行,则m的值为(  )
    A.3 B.7
    C.-7 D.-9
    (2)(2019·安徽六安四校联考)设m∈R,则“m=0”是“直线l1:(m+1)x+(1-m)y-1=0与直线l2:(m-1)x+(2m+1)y+4=0垂直”的(  )
    A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
    C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
    [解析] (1)由题可知,=-3,解得m=-7,故选C.
    (2)由直线l1与l2垂直可得(m+1)(m-1)+(1-m)·(2m+1)=0,解得m=0或m=1.所以“m=0”是“直线l1:(m+1)x+(1-m)y-1=0与直线l2:(m-1)x+(2m+1)y+4=0垂直”的充分不必要条件.故选A.
    [答案] (1)C (2)A
    [方法技巧]
    由一般式方程确定两直线位置关系的方法
    直线方程
    l1:A1x+B1y+C1=0(A+B≠0)
    l2:A2x+B2y+C2=0(A+B≠0)
    l1与l2垂直的充要条件
    A1A2+B1B2=0
    l1与l2平行的充分条件
    =≠(A2B2C2≠0)
    l1与l2相交的充分条件
    ≠(A2B2≠0)
    l1与l2重合的充分条件
    ==(A2B2C2≠0)
    [提醒] 当直线方程中存在字母参数时,不仅要考虑到斜率存在的一般情况,也要考虑到斜率不存在的特殊情况.同时还要注意x,y的系数不能同时为零这一隐含条件.

    1.已知直线过A(2,4),B(1,m)两点,且倾斜角为45°,则m=(  )
    A.3 B.-3
    C.5 D.-1
    解析:选A ∵直线过A(2,4),B(1,m)两点,∴直线的斜率为=4-m.又∵直线的倾斜角为45°,∴直线的斜率为1,即4-m=1,∴m=3.故选A.

    2.已知倾斜角为θ的直线l与直线x+2y-3=0垂直,则cos 2θ的值为(  )
    A. B.-
    C. D.-
    解析:选B 由题意得-·tan θ=-1,∴tan θ=2,cos 2θ===-,故选B.
    3.若直线l1:ax-(a+1)y+1=0与直线l2:2x-ay-1=0垂直,则实数a=(  )
    A.3 B.0
    C.-3 D.0或-3
    解析:选D ∵直线l1与直线l2垂直,∴2a+a(a+1)=0,整理得a2+3a=0,
    解得a=0或a=-3.故选D.
    4.设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的(  )
    A.充分必要条件 B.必要不充分条件
    C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
    解析:选C 当a=1时,直线l1:x+2y-1=0与直线l2:x+2y+4=0的斜率都是-,截距不相等,∴两条直线平行,故前者是后者的充分条件;当两条直线平行时,得=≠,解得a=-2或a=1,∴后者不能推出前者,∴前者是后者的充分不必要条件.故选C.
    突破点二 直线的方程

    直线方程的五种形式
    形式
    几何条件
    方程
    适用范围
    点斜式
    过一点(x0,y0),斜率k
    y-y0=k(x-x0)
    与x轴不垂直的直线
    斜截式
    纵截距b,斜率k
    y=kx+b
    与x轴不垂直的直线
    两点式
    过两点(x1,y1),(x2,y2)

    与x轴、y轴均不垂直的直线
    截距式
    横截距a,纵截距b
    +=1
    不含垂直于坐标轴和过原点的直线
    一般式

    Ax+By+C=0,A2+B2≠0
    平面直角坐标系内所有直线


    一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)
    (1)经过定点A(0,b)的直线都可以用方程y=kx+b表示.(  )
    (2)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(  )
    (3)不经过原点的直线都可以用+=1表示.(  )
    答案:(1)× (2)√ (3)×
    二、填空题
    1.过点M(3,-4),且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为______________.
    答案:4x+3y=0或x+y+1=0
    2.(2019·开封模拟)过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x斜率的-的直线方程为____________.
    答案:3x+4y+15=0
    3.已知三角形的三个顶点A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上中线所在的直线方程为____________.
    解析:由已知,得BC的中点坐标为,且直线BC边上的中线过点A,则BC边上中线的斜率k=-,故BC边上的中线所在直线方程为y+=-,即x+13y+5=0.
    答案:x+13y+5=0

    考法一 求直线方程 
    [例1] (2019·湖北十堰模拟)已知菱形ABCD的顶点A,C的坐标分别为A(-4,7),C(6,-5),BC边所在直线过点P(8,-1).求:
    (1)AD边所在直线的方程;
    (2)对角线BD所在直线的方程.
    [解] (1)kBC==2,
    ∵AD∥BC,∴kAD=2.
    ∴AD边所在直线的方程为y-7=2(x+4),
    即2x-y+15=0.
    (2)kAC==-.
    ∵菱形的对角线互相垂直,
    ∴BD⊥AC,∴kBD=.
    ∵AC的中点(1,1),也是BD的中点,
    ∴对角线BD所在直线的方程为y-1=(x-1),即5x-6y+1=0.
    [方法技巧]
    求直线方程的注意事项
    (1)在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.
    (2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应先判断截距是否为零).  
    考法二 与直线方程有关的最值问题 
    [例2] (1)已知直线x+a2y-a=0(a是正常数),当此直线在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是(  )
    A.0            B.2
    C. D.1
    (2)若直线x-2y+b=0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1,那么b的取值范围是(  )
    A.[-2,2] B.(-∞,-2]∪[2,+∞)
    C.[-2,0)∪(0,2] D.(-∞,+∞)
    [解析] (1)直线x+a2y-a=0(a是正常数)在x轴,y轴上的截距分别为a和,此直线在x轴,y轴上的截距和为a+≥2,当且仅当a=1时,等号成立.故当直线x+a2y-a=0在x轴,y轴上的截距和最小时,正数a的值是1,故选D.
    (2)令x=0,得y=,令y=0,得x=-b,所以所求三角形面积为|-b|=b2,且b≠0,因为b2≤1,所以b2≤4,所以b的取值范围是[-2,0)∪(0,2].
    [答案] (1)D (2)C
    [方法技巧]
    与直线方程有关的最值问题的解题思路
    (1)借助直线方程,用y表示x或用x表示y;
    (2)将问题转化成关于x(或y)的函数;
    (3)利用函数的单调性或基本不等式求最值.  

    1.已知直线l过点P(1,3),且与x轴,y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6,则直线l的方程是(  )
    A.3x+y-6=0 B.x+3y-10=0
    C.3x-y=0 D.x-3y+8=0
    解析:选A 设直线l的方程为+=1(a>0,b>0).
    由题意得解得a=2,b=6.
    故直线l的方程为+=1,
    即3x+y-6=0.故选A.
    2.过点M(-3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________.
    解析:当直线过原点时,直线方程为y=-x;
    当直线不过原点时,设直线方程为+=1(a≠0),
    即x-y=a(a≠0),把(-3,5)代入,得a=-8,
    所以直线方程为x-y+8=0.
    故所求直线方程为y=-x或x-y+8=0.
    答案:y=-x或x-y+8=0
    3.已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0<a<2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数a=________.
    解析:直线l1可写成a(x-2)=2(y-2),直线l2可写成2(x-2)=a2(2-y),所以直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1的纵截距为2-a,直线l2的横截距为a2+2,所以四边形的面积S=×2×(2-a)+×2×(a2+2)=a2-a+4=2+.当a=时,面积最小.
    答案:
    突破点三 直线的交点、距离与对称问题


    1.两条直线的交点

    2.三种距离
    类型
    条件
    距离公式
    两点间的距离
    点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离
    |P1P2|=
    点到直线的距离
    点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离
    d=
    两平行直线间的距离
    两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离
    d=


    一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)
    (1)若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交.(  )
    (2)点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为.(  )
    (3)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.(  )
    (4)若点A,B关于直线l:y=kx+b(k≠0)对称,则直线AB的斜率等于-,且线段AB的中点在直线l上.(  )
    答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)√
    二、填空题
    1.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a的值为________.
    答案:-1
    2.若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2间的距离为________.
    答案:
    3.当0<k<时,直线l1:kx-y=k-1与直线l2:ky-x=2k的交点在第________象限.
    答案:二
    4.(2018·忻州检测)在平面直角坐标系中,点(0,2)与点(4,0)关于直线l对称,则直线l的方程为______________.
    答案:2x-y-3=0


    考法一 距离问题 
    [例1] (2019·北京西城期中)已知直线l经过点P(-2,1).
    (1)若点Q(-1,-2)到直线l的距离为1,求直线l的方程;
    (2)若直线l在两坐标轴上截距相等,求直线l的方程.
    [解] (1)当直线l的斜率不存在时,即直线l的方程为x=-2,符合要求;
    当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-1=k(x+2),
    整理得kx-y+2k+1=0,
    Q(-1,-2)到直线l的距离d===1,
    解得k=-,所以直线l的方程为4x+3y+5=0.
    (2)由题知,直线l的斜率k一定存在且k≠0,故可设直线l的方程为kx-y+2k+1=0,
    当x=0时,y=2k+1,当y=0时,x=-,
    ∴2k+1=-,解得k=-1或-,
    即直线l的方程为x+2y=0或x+y+1=0.
    [方法技巧]
    1.解决与点到直线的距离有关的问题
    应熟记点到直线的距离公式,若已知点到直线的距离求直线方程,一般考虑待定斜率法,此时必须讨论斜率是否存在.
    2.求两条平行线间的距离
    要先将直线方程中x,y的对应项系数转化成相等的形式,再利用距离公式求解.也可以转化成点到直线的距离问题.  
    考法二 对称问题 
    [例2] 已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2).求:
    (1)点A关于直线l的对称点A′的坐标;
    (2)直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程;
    (3)直线l关于点A(-1,-2)对称的直线l′的方程.
    [解] (1)设A′(x,y),由题意知
    解得
    所以A′.
    (2)在直线m上取一点M(2,0),
    则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上.
    设M′(a,b),则
    解得M′.
    设直线m与直线l的交点为N,
    则由得N(4,3).
    又因为m′经过点N(4,3),
    所以由两点式得直线m′的方程为9x-46y+102=0.
    (3)设P(x,y)为l′上任意一点,
    则P(x,y)关于点A(-1,-2)的对称点为P′(-2-x,-4-y),
    因为P′在直线l上,
    所以2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,
    即2x-3y-9=0.
    [方法技巧]
    1.中心对称问题的两种类型及求解方法
    点关于点对称
    若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则由中点坐标公式得进而求解
    直线关于点对称
    ①在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程;
    ②求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程

    2.轴对称问题的两种类型及求解方法
    点关于直线对称
    若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称,由方程组可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B≠0,x1≠x2)
    直线关于直线对称
    ①若直线与对称轴平行,则在直线上取一点,求出该点关于轴的对称点,然后用点斜式求解.
    ②若直线与对称轴相交,则先求出交点,然后再取直线上一点,求该点关于轴的对称点,最后由两点式求解


    1.“C=2”是“点(1,)到直线x+y+C=0的距离为3”的(  )
    A.充要条件         B.充分不必要条件
    C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
    解析:选B 若点(1,)到直线x+y+C=0的距离为3,则有=3,解得C=2或C=-10,故“C=2”是“点(1,)到直线x+y+C=0的距离为3”的充分不必要条件,故选B.
    2.直线3x-4y+5=0关于x轴对称的直线的方程是(  )
    A.3x+4y+5=0 B.3x+4y-5=0
    C.-3x+4y-5=0 D.-3x+4y+5=0
    解析:选A 在所求直线上任取一点P(x,y),则点P关于x轴的对称点P′(x,-y)在已知的直线3x-4y+5=0上,所以3x-4(-y)+5=0,即3x+4y+5=0,故选A.
    3.已知l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,则直线l1的方程是________________.
    解析:当直线AB与l1,l2垂直时,l1,l2间的距离最大.因为A(1,1),B(0,-1),所以kAB==2,所以两平行直线的斜率为k=-,所以直线l1的方程是y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.
    答案:x+2y-3=0
    4.若直线l与直线2x-y-2=0关于直线x+y-4=0对称,则直线l的方程为________________.
    解析:由得即两直线的交点坐标为(2,2),在直线2x-y-2=0上取一点A(1,0),设点A关于直线x+y-4=0的对称点的坐标为(a,b),则解得即点A关于直线x+y-4=0的对称点的坐标为(4,3),则直线l的方程为=,整理得x-2y+2=0.
    答案:x-2y+2=0

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