2020届高考数学一轮复习新课改省份专用学案：第六章第五节数列的综合应用

第五节　数列的综合应用题型一　数列在数学文化与实际问题中的应用[典例]　(1)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则此人第4天和第5天共走了(　　)A．60里　　　　　　　 B．48里C．36里  D．24里(2)(2019·北京东城区模拟)为了观看2022年的冬奥会，小明打算从2018年起，每年的1月1日到银行存入a元 的一年期定期储蓄，若年利率为p，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期．到2022年的1月1日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回________元．[解析]　(1)由题意知，此人每天走的里数构成公比为的等比数列{an}，设等比数列的首项为a1，则＝378，解得a1＝192，所以a4＝192×＝24，a5＝24×＝12，则a4＋a5＝24＋12＝36，即此人第4天和第5天共走了36里．(2)2022年1月1日可取出钱的总数为a(1＋p)4＋a(1＋p)3＋a(1＋p)2＋a(1＋p)＝a·＝[(1＋p)5－(1＋p)]＝[(1＋p)5－1－p]．[答案]　(1)C　(2)[(1＋p)5－1－p][方法技巧]1．数列与数学文化解题3步骤读懂题意会脱去数学文化的背景，读懂题意构建模型由题意，构建等差数列或等比数列或递推关系式的模型求解模型利用所学知识求解数列的相关信息，如求指定项、通项公式或前n项和的公式2.解答数列应用题需过好“四关”审题关仔细阅读材料，认真理解题意建模关将已知条件翻译成数学语言，将实际问题转化成数列问题，并分清数列是等差数列还是等比数列求解关求解该数列问题还原关将所求的结果还原到实际问题中[针对训练]1．在我国古代著名的数学名著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？(　　)A．9日  B．8日C．16日  D．12日解析：选A　由题意知，良马每日行的距离成等差数列，记为{an}，其中a1＝103，d＝13；驽马每日行的距离成等差数列，记为{bn}，其中b1＝97，d＝－0.5.设第m天相逢，则a1＋a2＋…＋am＋b1＋b2＋…＋bm＝103m＋＋97m＋＝2×1 125，解得m1＝9或m2＝－40(舍去)，故选A.2．(2018·江西金溪一中月考)据统计测量，已知某养鱼场，第一年鱼的质量增长率为200%，以后每年的增长率为前一年的一半．若饲养5年后，鱼的质量预计为原来的t倍．下列选项中，与t值最接近的是(　　)A．11  B．13C．15  D．17解析：选B　设鱼原来的质量为a，饲养n年后鱼的质量为an，q＝200%＝2，则a1＝a(1＋q)，a2＝a1＝a(1＋q)，…，a5＝a(1＋2)×(1＋1)×××＝a≈12.7a，即5年后，鱼的质量预计为原来的12.7倍，故选B.题型二　数列中的新定义问题[典例]　若数列{an}满足－＝d(n∈N*，d为常数)，则称数列{an}为“调和数列”，已知正项数列为“调和数列”，且b1＋b2＋…＋b2 019＝20 190，则b2b2 018的最大值是________．[解析]　因为数列是“调和数列”，所以bn＋1－bn＝d，即数列{bn}是等差数列，所以b1＋b2＋…＋b2 019＝＝＝20 190，所以b2＋b2 018＝20.又>0，所以b2>0，b2 018>0，所以b2＋b2 018＝20≥2，即b2b2 018≤100(当且仅当b2＝b2 018时等号成立)，因此b2b2 018的最大值为100.[答案]　100[方法技巧]新定义数列问题的特点及解题思路新定义数列题的特点是：通过给出一个新的数列的概论，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的．遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决．　　[针对训练]1．定义一种运算“※”，对于任意n∈N*均满足以下运算性质：(1)2※2 019＝1；(2)(2n＋2)※2 019＝(2n)※2 019＋3，则2 018※2 019＝________.解析：设an＝(2n)※2 019，则由运算性质(1)知a1＝1，由运算性质(2)知an＋1＝an＋3，即an＋1－an＝3.所以数列{an}是首项为1，公差为3的等差数列，故2 018※2 019＝(2×1 009)※2 019＝a1 009＝1＋1 008×3＝3 025.答案：3 0252．定义各项为正数的数列{pn}的“美数”为(n∈N*)．若各项为正数的数列{an}的“美数”为，且bn＝，则＋＋…＋＝________.解析：因为各项为正数的数列{an}的“美数”为，所以＝.设数列{an}的前n项和为Sn，则Sn＝n(2n＋1)，Sn－1＝(n－1)[2(n－1)＋1]＝2n2－3n＋1(n≥2)，所以an＝Sn－Sn－1＝4n－1(n≥2)．又＝，所以a1＝3，满足式子an＝4n－1，所以an＝4n－1(n∈N*)．又bn＝，所以bn＝n，所以＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.答案：题型三　数列与函数的综合问题[典例]　(1)(2019·重庆模拟)已知f(x)＝x2＋aln x在点(1，f(1))处的切线方程为4x－y－3＝0，an＝f′(n)－n(n≥1，n∈N*)，{an}的前n项和为Sn，则下列选项正确的是(　　)A．S2 018－1<ln 2 018　　  B．S2 018>ln 2 018＋1C．ln 2 018<S1 009－1  D．ln 2 018>S2 017(2)(2019·昆明模拟)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，且满足f(3－x)＝f(x)，f(－1)＝3，数列{an}满足a1＝1且an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则f(a36)＋f(a37)＝________.[解析]　(1)由题意得f′(x)＝2x＋，∴f′(1)＝2＋a＝4，解得a＝2.∴an＝f′(n)－n＝－n＝(n≥1，n∈N*)．设g(x)＝ln(x＋1)－x，则当x∈(0,1)时，g′(x)＝－1＝<0，∴g(x)在(0,1)上单调递减，∴g(x)<g(0)＝0，即ln(x＋1)<x.令x＝，则ln＝ln<，∴ln ＋ln ＋ln ＋…＋ln <1＋＋＋…＋，故ln(n＋1)<Sn.设h(x)＝ln x＋－1，则当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＝－>0，∴h(x)在(1，＋∞)上单调递增，       ∴h(x)>h(1)＝0，即ln x>1－，x∈(1，＋∞)．令x＝1＋，则ln＝ln >，∴ln ＋ln ＋ln ＋…＋ln >＋＋…＋＋，故ln(n＋1)>Sn＋1－1.故选A.(2)因为函数f(x)是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，又因为f(3－x)＝f(x)，所以f(3＋x)＝f(－x)＝－f(x)＝－f(3－x)＝f(x－3)，即f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)是以6为周期的周期函数．由an＝n(an＋1－an)可得＝，则an＝···…··a1＝····…·×1＝n，即an＝n，所以a36＝36，a37＝37，又因为f(－1)＝3，f(0)＝0，所以f(a36)＋f(a37)＝f(0)＋f(1)＝f(1)＝－f(－1)＝－3.[答案]　(1)A　(2)－3[方法技巧]数列与函数综合问题的类型及注意点类型(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题(2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形；注意点解题时要注意数列与函数的内在联系，灵活运用函数的思想方法求解，在问题的求解过程中往往会遇到递推数列，因此掌握递推数列的常用解法有助于该类问题的解决[针对训练]1．(2019·玉溪模拟)函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝(　　)A．18  B．21C．24  D．30解析：选B　∵函数y＝x2(x>0)的导函数为y′＝2x，∴函数y＝x2(x>0)的图象在点(ak，a)处的切线方程为y－a＝2ak(x－ak)．令y＝0，可得x＝ak，即ak＋1＝ak，∴数列{an}为等比数列，an＝16×n－1，∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.故选B.2．已知数列{an}的前n项和为Sn，点(n，Sn＋3)(n∈N*)在函数y＝3×2x的图象上，等比数列{bn}满足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n项和为Tn，则下列结论正确的是(　　)A．Sn＝2Tn  B．Tn＝2bn＋1C．Tn>an  D．Tn<bn＋1解析：选D　因为点(n，Sn＋3)在函数y＝3×2x的图象上，所以Sn＋3＝3×2n，即Sn＝3×2n－3.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3×2n－3－(3×2n－1－3)＝3×2n－1，又当n＝1时，a1＝S1＝3，所以an＝3×2n－1.设bn＝b1qn－1，则b1qn－1＋b1qn＝3×2n－1，可得b1＝1，q＝2，所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1.由等比数列前n项和公式可得Tn＝2n－1.综合选项可知，只有D正确．3．(2019·抚顺模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx的图象经过(－1，0)点，且在x＝－1处的切线斜率为－1.设数列{an}的前n项和Sn＝f(n)(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列前n项的和Tn.解：(1)函数f(x)＝ax2＋bx的图象经过(－1,0)点，则a－b＝0，即a＝b.①因为f′(x)＝2ax＋b，函数f(x)＝ax2＋bx在x＝－1处的切线斜率为－1，所以－2a＋b＝－1.②由①②得a＝1，b＝1，所以数列{an}的前n项和Sn＝f(n)＝n2＋n.当n≥2时，Sn－1＝(n－1)2＋(n－1)，所以an＝Sn－Sn－1＝2n.当n＝1时，a1＝2符合上式，则an＝2n.(2)由于an＝2n，则＝＝，则Tn＝＝＝.题型四　数列与不等式的综合问题[典例]　(2019·福州八校联考)数列{an}中，a1＝3，an＋1＝2an＋2(n∈N*)．(1)求证：{an＋2}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn，证明：对任意n∈N*，都有≤Sn<.[证明]　(1)∵an＋1＝2an＋2，∴an＋1＋2＝2(an＋2)．∵{an＋2}是以a1＋2＝5为首项，公比q＝2的等比数列，∴an＝5×2n－1－2.(2)由(1)可得bn＝，∴Sn＝，①Sn＝，②①－②可得Sn＝＝＝<.∴Sn<，又∵Sn＋1－Sn＝bn＋1＝>0，∴数列{Sn}单调递增，Sn≥S1＝，∴对任意n∈N*，都有≤Sn<.[方法技巧]数列中不等式证明问题的解题策略数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．放缩法常见的放缩技巧有：(1)<＝.(2)－<<－.(3)2(－)<<2(－)．　　[针对训练](2019·广安模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且Sn＋1＝Sn＋an＋n＋1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列的前n项和为Tn，求满足不等式Tn≥的最小正整数n.解：(1)由Sn＋1＝Sn＋an＋n＋1(n∈N*)，得an＋1－an＝n＋1，又a1＝1，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝n＋(n－1)＋…＋2＋1＝.所以数列{an}的通项公式为an＝.(2)由(1)知＝＝2，所以Tn＝2＋＋…＋＝2＝.令≥，解得n≥19，所以满足不等式Tn≥的最小正整数n为19.