2020届高考数学一轮复习新课改省份专用学案：第六章第三节等比数列及其前n项和
展开第三节 等比数列及其前n项和
突破点一 等比数列的基本运算
1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q.
(2)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab.
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1qn－1.
(2)前n项和公式：Sn＝
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)满足an＋1＝qan(n∈N*，q为常数)的数列{an}为等比数列．( )
(2)G为a，b的等比中项⇔G2＝ab.( )
(3)若{an}为等比数列，bn＝a2n－1＋a2n，则数列{bn}也是等比数列．( )
(4)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×
二、填空题
1．已知递增的等比数列{an}中，a2＋a8＝3，a3·a7＝2，则＝________.
答案：
2．各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝2，a6＝a1a2a3，则公比q的值为________．
答案：2
3．在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋2a4，则a6的值是________．
答案：4
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn等于________．
答案：n－1
1．已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项和S5＝( )
A. B．31
C. D．以上都不正确
解析：选B 设{an}的公比为q，则q>0且q≠1.由已知得a4＋3a3＝2×5a2，即a2q2＋3a2q＝10a2，q2＋3q－10＝0，解得q＝2或q＝－5(舍去)，又a2＝2，则a1＝1，所以S5＝＝＝31.
2．(2018·全国卷Ⅲ)等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)记Sn为{an}的前n项和，若Sm＝63，求m.
解：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.
由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)或q＝－2或q＝2.
故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.
(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.
由Sm＝63，得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．
若an＝2n－1，则Sn＝＝2n－1.
由Sm＝63，得2m＝64，解得m＝6.
综上，m＝6.
解决等比数列基本量计算问题的常用思想方法
(1)方程的思想：等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．
(2)分类讨论的思想：等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝.
1．(2019·豫北重点中学联考)数列{an}满足a4＝27，an＋1＝－3an(n∈N*)，则a1＝( )
A．1 B．3
C．－1 D．－3
解析：选C 由题意知数列{an}是以－3为公比的等比数列，
∴a4＝a1(－3)3＝27，∴a1＝＝－1.故选C.
2．(2019·绵阳诊断性考试)设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )
A. B．
C. D．
解析：选B 设数列{an}的公比为q，则显然q≠1，由题意得解得或(舍去)，∴S5＝＝＝.
3．(2019·兰州诊断性测试)设数列{an＋1}是一个各项均为正数的等比数列，已知a3＝7，a7＝127.
(1)求a5的值；
(2)求数列{an}的前n项和．
解：(1)由题可知a3＋1＝8，a7＋1＝128，则有(a5＋1)2＝(a3＋1)(a7＋1)＝8×128＝1 024，可得a5＋1＝32，即a5＝31.
(2)设数列{an＋1}的公比为q，由(1)知得
所以数列{an＋1}是一个以2为首项，2为公比的等比数列，
所以an＋1＝2×2n－1＝2n，所以an＝2n－1，
利用分组求和可得，数列{an}的前n项和Sn＝－n＝2n＋1－2－n.
突破点二 等比数列的性质
(1)若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq，其中m，n，p，q∈N*.特别地，若2s＝p＋r，则apar＝a，其中p，s，r∈N*.对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝….
(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm(k，m∈N*)．
(3)若数列{an}，{bn}是两个项数相同的等比数列，则数列{ban}，{pan·qbn}和(其中b，p，q是非零常数)也是等比数列．
(4)当q≠－1或q＝－1且k为奇数时，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…是等比数列，其公比为qk.
(5)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，，…成等比数列．
1．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝________.
答案：4
2．(2019·长春调研)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________.
答案：14
3．已知等比数列{an}中，a2＋a3＝1，a4＋a5＝2，则a6＋a7等于________．
答案：4
4．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于________．
答案：
1．(2019·洛阳尖子生高三第一次联考)在等比数列{an}中，a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，则的值为( )
A．－ B．－
C. D．－或
解析：选B 设等比数列{an}的公比为q，因为a3，a15是方程x2＋6x＋2＝0的根，所以a3·a15＝a＝2，a3＋a15＝－6，所以a3<0，a15<0，则a9＝－，所以＝＝a9＝－，故选B.
2．(2019·丽水模拟)设各项都是正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于( )
A．150 B．－200
C．150或－200 D．400或－50
解析：选A 易知S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)，即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30.又S20>0，所以S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，故S40－S30＝80，所以S40＝150.故选A.
应用等比数列性质解题时的2个注意点
(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq”，可以减少运算量，提高解题速度．
(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．
1．(2019·惠州调研)等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝( )
A．12 B．10
C．8 D．2＋log35
解析：选B ∵a5a6＋a4a7＝18，∴a5a6＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)＝log3(a5a6)5＝5log39＝10.
2．(2019·兰州一中测试)在等比数列{an}中，若a1＋a2＋a3＋a4＝，a2a3＝－，则＋＋＋等于( )
A. B．
C．－ D．－
解析：选D ＋＋＋＝＋.
∵在等比数列{an}中，a1·a4＝a2·a3，
∴原式＝＝×＝－.故选D.
3．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝( )
A．135 B．100
C．95 D．80
解析：选A 由等比数列前n项和的性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，其首项为40，公比为＝，所以a7＋a8＝40×3＝135.
突破点三 等比数列的判定与证明
[典例] (2018·全国卷Ⅰ)已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
[解] (1)由条件可得an＋1＝an.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.
从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2)数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
理由如下：
由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，
又b1＝1，所以数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
[方法技巧]
等比数列的4种常用判定方法
定义法 | 若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列 |
中项公式法 | 若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列 |
通项公式法 | 若数列{an}的通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列 |
前n项和公式法 | 若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列 |
[提醒] (1)证明一个数列为等比数列常用定义法与中项公式法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．
(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．
[针对训练]
(2019·湖北八校联考)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝4，an＋2＝4an＋1－4an.
(1)求证：数列{an＋1－2an}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
解：(1)证明：由an＋2＝4an＋1－4an得an＋2－2an＋1＝2an＋1－4an＝2(an＋1－2an)＝22(an－2an－1)＝…＝2n(a2－2a1)≠0，∴＝2，∴{an＋1－2an}是等比数列．
(2)由(1)可得an＋1－2an＝2n－1(a2－2a1)＝2n，
∴－＝，
∴是首项为，公差为的等差数列，
∴＝，an＝n·2n－1.
