2020届高考数学一轮复习新课改省份专用学案：第七章第五节空间向量及其运算和空间位置关系
展开第五节 空间向量及其运算和空间位置关系
突破点一 空间向量及其运算
1．空间向量及其有关概念
(1)空间向量的有关概念
空间向量 | 在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量 |
相等向量 | 方向相同且模相等的向量 |
共线向量 | 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 |
共面向量 | 平行于同一个平面的向量 |
(2)空间向量中的有关定理
共线向量定理 | 对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b⇔存在唯一一个λ∈R，使a＝λb |
共面向量定理 | 若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面⇔存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b |
空间向量基本定理 | 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝x a＋y b＋z c |
2.两个向量的数量积
(1)非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(2)空间向量数量积的运算律
①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；
②交换律：a·b＝b·a；
③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.
3．空间向量的运算及其坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
| 向量表示 | 坐标表示 |
数量积 | a·b | a1b1＋a2b2＋a3b3 |
共线 | a＝λb(b≠0) | a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 |
垂直 | a·b＝0(a≠0，b≠0) | a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 |
模 | |a| | |
夹角 | 〈a，b〉(a≠0，b≠0) | cos〈a，b〉＝ |
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.( )
(2)|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件．( )
(3)空间中任意两非零向量a，b共面．( )
(4)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．( )
(5)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.( )
(6)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)× (6)×
二、填空题
1．如图，已知空间四边形ABCD，则＋＋等于________．
答案：
2．已知i，j，k为标准正交基底，a＝i＋2j＋3k，则a在i方向上的投影为________．
答案：1
3．若空间三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(p,3，q＋2)共线，则p＝________，q＝________.
答案：3 2
4．已知向量a＝(－1,0,1)，b＝(1,2,3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________.
答案：7
考法一 空间向量的线性运算
[例1] 已知四边形ABCD为正方形，P是ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O.Q是CD的中点，求下列各题中x，y的值：
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
[解] (1)如图，∵＝－＝－(＋)＝－－，∴x＝y＝－.
(2)∵＋＝2，
∴＝2－.
又∵＋＝2，∴＝2－.
从而有＝2－(2－)＝2－2＋.
∴x＝2，y＝－2.
[方法技巧]
用已知向量表示某一向量的3个关键点
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．
(3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．
考法二 共线、共面向量定理的应用
[例2] 已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，用向量方法求证：
(1)E，F，G，H四点共面；
(2)BD∥平面EFGH.
[证明] (1)如图，连接BG，则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，
由共面向量定理知：E，F，G，H四点共面．
(2)因为＝－＝－＝(－)＝，
因为E，H，B，D四点不共线，所以EH∥BD.
又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
[方法技巧]
1．证明空间三点P，A，B共线的方法
(1)＝λ(λ∈R)；
(2)对空间任一点O，＝＋t (t∈R)；
(3)对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．
2．证明空间四点P，M，A，B共面的方法
(1)＝x＋y；
(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；
(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z (x＋y＋z＝1)；
(4) ∥ (或∥或∥)．
考法三 空间向量数量积的应用
[例3] 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是C1D1，D1D的中点．若正方体的棱长为1.求cos〈，〉．
[解] ∵||＝＝＝＝||，
∴·＝||||cos〈，〉＝cos〈，〉．
又∵＝＋，＝＋，
∴·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋·＋·＝||||＝1×＝.
∴cos〈，〉＝.
[方法技巧] 空间向量数量积的3个应用
求夹角 | 设向量a，b所成的角为θ，则cos θ＝，进而可求两异面直线所成的角 |
求长度 | 运用公式|a|2＝a·a，可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题 |
解决垂直问题 | 利用a⊥b⇔a·b＝0(a≠0，b≠0)，可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题 |
1.已知三棱锥OABC，点M，N分别为AB，OC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则等于( )
A.(b＋c－a) B.(a＋b＋c)
C.(a－b＋c) D.(c－a－b)
解析：选D ＝＋＋＝＋＋＝(－)＋＋＝－－＋＝(c－a－b)．
2.O为空间任意一点，若＝＋＋， 则A，B，C，P四点( )
A．一定不共面 B．一定共面
C．不一定共面 D．无法判断
解析：选B 因为＝＋＋，且＋＋＝1.所以P，A，B，C 四点共面．
3.如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且 ∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为________．
解析：设＝a，＝b，＝c，
由已知条件，得〈a，b〉＝〈a，c〉＝，
且|b|＝|c|，·＝a·(c－b)＝a·c－a·b
＝|a||c|－|a||b|＝0，
∴⊥，∴cos〈，〉＝0.
答案：0
突破点二 利用空间向量证明平行与垂直
1．两个重要向量
直线的方向向量 | 直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个 |
平面的法向量 | 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量．显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量 |
2．空间中平行、垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则
线线平行 | l∥m⇔a＝kb(k∈R) |
线面平行 | l∥α⇔a⊥n1⇔a·n1＝0 |
面面平行 | α∥β⇔n1∥n2⇔n1＝kn2(k∈R) |
线线垂直 | l⊥m⇔a·b＝0 |
线面垂直 | l⊥α⇔a∥n1⇔a＝kn1(k∈R) |
面面垂直 | α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0 |
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )
(2)已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是
n0=±.( )
(3)两条不重合的直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是平行．( )
(4)若n1，n2分别是平面α，β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β.( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
二、填空题
1．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝________，y＝________.
答案：－14 6
2．若平面α的一个法向量为n1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为n2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.
答案：－3
3．若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－3,0，－6)，则l与α的位置关系是________．
答案：l⊥α
考法一 向量法证明平行与垂直关系
[例1] 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F.
(1)证明：PA∥平面EDB；
(2)证明：PB⊥平面EFD.
证明：如图所示，建立空间直角坐标系，D是坐标原点，
设DC＝a.
(1)连接AC交BD于G，连接EG.
依题意得A(a,0,0)，P(0,0，a)，E.
∵底面ABCD是正方形，
∴G是此正方形的中心．
故点G的坐标为，
且＝(a,0，－a)，＝，
∴＝2，∴PA∥EG.
又∵EG⊂平面EDB且PA⊄平面EDB，
∴PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a，a,0)，＝(a，a，－a)，＝，
故·＝0＋－＝0，∴PB⊥DE，
又∵EF⊥PB，且EF∩DE＝E，
∴PB⊥平面EFD.
[方法技巧]
1．利用空间向量证明平行的方法
线线平行 | 证明两直线的方向向量共线 |
线面平行 | ①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直； ②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行 |
面面平行 | ①证明两平面的法向量为共线向量； ②转化为线面平行、线线平行问题 |
2.利用空间向量证明垂直的方法
线线垂直 | 证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零 |
线面垂直 | 证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示 |
面面垂直 | 证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示 |
[提醒] 运用向量知识判定空间位置关系时，仍然离不开几何定理．如用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行时，仍需强调直线在平面外．
[针对训练]
已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.
证明：建立空间直角坐标系如图，
则有D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)，
所以＝(0,2,1)，＝(2,0,0)，＝(0,2,1)．
(1)设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
则即得
令z1＝2，则y1＝－1，所以n1＝(0，－1,2)．
因为·n1＝－2＋2＝0，所以⊥n，
又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
(2)∵＝(2,0,0)，
设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量，
由得得
令z2＝2，得y2＝－1，
所以n2 ＝(0，－1,2)，因为n1＝n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
考法二 向量法解决垂直、平行关系中的探索性问题
[例2] 如图所示，
在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？证明你的结论．
[解] 依题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，
则A1(0,0,1)，B(1,0,0)，B1(1,0,1)，E，＝(－1,0,1)，＝.
设n＝(x，y，z)是平面A1BE的一个法向量，
则由得
所以x＝z，y＝z.
取z＝2，得n＝(2,1,2)．
设棱C1D1上存在点F(t,1,1)(0≤t≤1)满足条件，又因为B1(1,0,1)，
所以＝(t－1,1,0)．
而B1F⊄平面A1BE，
于是B1F∥平面A1BE⇔·n＝0⇔(t－1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t－1)＋1＝0⇔t＝⇔F为C1D1的中点．这说明在棱C1D1上存在点F(C1D1的中点)，使B1F∥平面A1BE.
[方法技巧]
向量法解决与垂直、平行有关的探索性问题的思路
(1)根据题设条件中的垂直关系，建立适当的空间直角坐标系，将相关点、相关向量用坐标表示．
(2)假设所求的点或参数存在，并用相关参数表示相关点的坐标，根据线、面满足的垂直、平行关系，构建方程(组)求解，若能求出参数的值且符合该限定的范围，则存在，否则不存在．
[针对训练]
在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱BC的中点，则在线段CC1上是否存在一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE？证明你的结论．
解：存在点P，当点P为CC1的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE.证明如下：
如图，以D点为原点，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，P(0,1，a)(0≤a≤1)，
则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，E，C1(0,1,1)，
∴＝(0,1,0)，＝(－1,1，a－1)，
＝，＝(0,1,1)．
设平面A1B1P的一个法向量n1＝(x1，y1，z1)，
则∴
令z1＝1，则x1＝a－1，
∴n1＝(a－1,0,1)．
设平面C1DE的一个法向量n2＝(x2，y2，z2)，
则∴
令y2＝1，得x2＝－2，z2＝－1，
∴n2＝(－2,1，－1)．
若平面A1B1P⊥平面C1DE，
则n1·n2＝0，∴－2(a－1)－1＝0，解得a＝.
∴当P为C1C的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE.
