2020版新一线高考文科数学（北师大版）一轮复习教学案：第2章第5节　指数与指数函数

第五节　指数与指数函数[考纲传真]　1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,3,10，，的指数函数的图像.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．有理数指数幂(1)分数指数幂①正分数指数幂：a＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；②负分数指数幂：a＝＝(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义．(2)有理数指数幂的运算性质①ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈Q)；②(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈Q)；③(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈Q)．2．指数函数的图像与性质y＝axa＞10＜a＜1图像定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)当x＞0时，y＞1；x＜0时，0＜y＜1当x＞0时，0＜y＜1；x＜0时，y＞1在R上是增函数在R上是减函数指数函数的图像与底数大小的关系如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图像，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图像越高，底数越大．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)＝－4． (　　)(2)(－1)＝(－1)＝． (　　)(3)函数y＝2x－1是指数函数． (　　)(4)若am＜an(a＞0且a≠1)，则m＜n． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×2．化简[(－2)6]－(－1)0的结果为(　　)A．－9　　B．7　　　　C．－10　　   D．9B　[原式＝(26)－1＝8－1＝7.]　3．(教材改编)若函数f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)的图像经过点P，则f(－1)等于(　　)A． B．C． D．4B　[由题意知＝a2，所以a＝，所以f(x)＝，所以f(－1)＝＝.]4．函数y＝ax－a(a＞0，且a≠1)的图像可能是(　　)A　　　  　B　　　　C　 　　　DC　[令y＝ax－a＝0，得x＝1，即函数图像必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C．]5．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，则a的取值范围是________．(1,2)　[由题意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.] 指数幂的化简与求值 1．(2019·济宁模拟)下列各式中成立的是(　　)A．＝n7m　　 B．＝C．＝(x＋y) D．＝D　[＝(9)＝9＝3＝，故选D.]2．若a＞0，b＞0，则化简＝________.ab－1　3．化简＋0.002－10(－2)－1＋3π0＋＝________.－16　[原式＝＋500－＋3＋＝＋10－10(＋2)＋3＋＝－16.]4．若x＋x＝3，则＝________.　[由x＋x＝3得x＋x－1＋2＝9.所以x＋x－1＝7.同理由x＋x－1＝7可得x2＋x－2＝47.x＋x＝(x＋x)(x＋x－1－1)＝3×6＝18.所以＝＝.][规律方法]　指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解题．易错警示：运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一． 指数函数的图像及应用 【例1】　(1)函数f(x)＝ax－b的图像如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是(　　)A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(2)已知函数f(x)＝3＋a2x－4的图像恒过定点P，则点P的坐标是________．(3)若曲线y＝|3x－1|与直线y＝k只有一个公共点，则实数k的取值范围为________．(1)D　(2)(2,4)　(3){0}∪[1，＋∞)　[(1)由f(x)＝ax－b的图像可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上是减少的，所递减以0＜a＜1.函数f(x)＝ax－b的图像是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b＜0.(2)令2x－4＝0得x＝2，且f(2)＝4，则点P的坐标为(2,4)．(3)函数y＝|3x－1|的图像是由函数y＝3x的图像向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图像沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图像如图所示．当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图像有唯一的交点．][规律方法]　指数函数图像应用的4个技巧(1)画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图像，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1)，.(2)已知函数解析式判断其图像一般是取特殊点，判断所给的图像是否过这些点，若不满足则排除．(3)对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(4)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解． (1)函数y＝(a＞1)的图像大致是(　　)A　　   B　　　C　　　　D(2)函数f(x)＝2|x－1|的图像是(　　)A　　　　B　　　　　C　　　D(3)已知a＞0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图像有两个交点，则实数a的取值范围是________．(1)B　(2)B　(3)　[(1)y＝又a＞1，故选B．(2)函数f(x)＝2|x－1|的图像可由y＝2|x|的图像向右平移1个单位得到，故选B．(3)①当0＜a＜1时，如图①，所以0＜3a＜2，即0＜a＜；②当a＞1时，如图②，而y＝3a＞1不符合要求．图①　　　　　图②所以0＜a＜.] 指数函数的性质及应用 ►考法1　比较指数式的大小【例2】　已知a＝3，b＝9，c＝121，则(　　)A．b＜a＜c B．a＜b＜cC．b＜c＜a D．c＜a＜bA　[因为a＝3＝9＞9＝b，c＝121＝11＞9＝a，所以c＞a＞b.故选A．]►考法2　解简单的指数方程或不等式【例3】　(1)设函数f(x)＝若f(a)＜1，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)C．(－3,1) D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)(2)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________．(1)C　(2)　[(1)当a＜0时，不等式f(a)＜1可化为－7＜1，即a＜8，即a＜，因为0＜＜1，所以a＞－3，此时－3＜a＜0；当a≥0时，不等式f(a)＜1可化为＜1，所以0≤a＜1.故a的取值范围是(－3,1)．故选C．(2)当a＜1时，41－a＝21，解得a＝；当a＞1时，代入不成立．故a的值为.]►考法3　与指数函数有关的函数的值域或最值问题【例4】　(1)已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.(2)已知0≤x≤2，则y＝4x－－3·2x＋5的最大值为________．(1)－　(2)　[(1)当a＞1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为增函数，由题意得无解．当0＜a＜1时，函数f(x)＝ax＋b在[－1,0]上为减函数，由题意得解得所以a＋b＝－.(2)y＝(2x)2－3·2x＋5.令t＝2x，由0≤x≤2得1≤t≤4，又y＝t2－3t＋5＝(t－3)2＋，∴当t＝1时，y有最大值，最大值为.]►考法4　复合函数的单调性、值域或最值【例5】　函数f(x)＝的递减区间是________，值域是________．(－∞，1]　　[令u＝－x2＋2x＋1，则u＝－(x－1)2＋2.又y＝u在R上是减函数，则函数f(x)＝的递减区间为函数u＝－x2＋2x＋1的增区间．由此函数f(x)的递减区间为(－∞，1]．因为u≤2，则f(x)≥＝，即函数f(x)的值域为.][规律方法]　指数函数性质应用的常考题型及求解策略常考题型求解策略比较幂值的大小(1)能化成同底数的先化成同底数幂再利用单调性比较大小．(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小解简单指数不等式先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致易错警示：在研究指数型函数单调性时，当底数与“1”的大小关系不明确时，要分类讨论． (1)(2019·信阳模拟)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)A．c＜a＜b B．a＜b＜cC．b＜a＜c D．c＜b＜a(2)(2019·长春模拟)函数y＝4x＋2x＋1＋1的值域为(　　)A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，＋∞)(3)已知函数y＝2－x2＋ax＋1在区间(－∞，3)上是增加的，则a的取值范围为________．(4)函数y＝2－x2＋2x的值域为________．(1)D　(2)B　(3)[6，＋∞)　(4)(0,2]　[(1)c＝＝，则＞＞，即a＞b＞c，故选D.(2)y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1，令t＝2x，则t＞0，∴y＝t2＋2t＋1＝(t＋1)2＞1，故选B．(3)由题意知，函数u＝－x2＋ax＋1在区间(－∞，3)上是增加的，则≥3，即a≥6.(4)－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，则0＜y≤2.即函数y＝2－x2＋2x的值域为(0,2]．]