2020版新一线高考文科数学（北师大版）一轮复习教学案：第2章第8节　函数与方程

第八节　函数与方程[考纲传真]　结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性与根的个数．1．函数的零点(1)定义：把函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点．(2)三个等价关系：方程f(x)＝0有实数解⇔函数f(x)的图像与x轴有公共点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图像与零点的关系Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图像与x轴的交点(x1,0)，(x2,0)(x1,0)无交点零点个数2101．函数f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的曲线，则“f(a)·f(b)＜0”是函数f(x)在区间(a，b)内有零点的充分不必要条件．2．若函数f(x)在区间[a，b]上是单调函数，且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在区间(a，b)内只有一个零点．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的零点就是函数的图像与x轴的交点． (　　)(2)函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)⊆D内有零点(函数图像连续不断)，则f(a)·f(b)＜0．              (　　)(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．(　　)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点． (　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√2．(教材改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是(　　)A．0　　    B．1　　　　C．2　　   D．3B　[∵f(－1)＝－3＜0，f(0)＝1＞0，∴f(x)在(－1,0)内有零点，又f(x)为增函数，∴函数f(x)有且只有一个零点．]3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是(　　)A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1A　[由于y＝sin x是奇函数，y＝ln x是非奇非偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，只有y＝cos x是偶函数又有零点．]4．函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是(　　)A．(0,1) B．(1,2)C．(－2，－1) D．(－1,0)D　[∵f(－2)＝－，f(－1)＝－，f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，∴f(0)f(1)＞0，f(1)f(2)＞0，f(－2)f(－1)＞0，f(－1)f(0)＜0，故选D.]5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．　[∵函数f(x)的图像为直线，由题意可得f(－1)f(1)＜0，∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得＜a＜1，∴实数a的取值范围是.] 判断函数零点所在的区间 1．若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)A．(a，b)和(b，c)内　　 B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内A　[∵a＜b＜c，∴f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0，由函数零点存在性定理可知：在区间(a，b)和(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点，因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内，故选A．]2．设x0是方程＝的解，则x0所在的范围是(　　)A． B．C． D．B　[构造函数f(x)＝－，因为f(0)＝－＝1＞0，f ＝－＝－＞0，f ＝－＝－＜0.所以由零点存在性定理可得函数f(x)＝－在上存在零点，即x0∈，故选B．]3．设函数y1＝x3与y2＝的图像的交点为(x0，y0)，若x0∈(n，n＋1)，n∈N，则x0所在的区间是________．(1,2)　[设f(x)＝x3－，则f(x)在R上是增函数，又f(1)＝1－2＝－1＜0，f(2)＝8－1＝7＞0，则x0∈(1,2)．]4．已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g(x)＝[x]为取整函数，x0是函数f(x)＝ln x－的零点，则g(x0)＝________.2　[f(2)＝ln 2－1＜0，f(3)＝ln 3－＞0，则x0∈(2,3)，故g(x0)＝2.][规律方法]　判断函数零点所在区间的3种方法(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．(2)定理法：利用函数零点的存在性定理，首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是否连续，再看是否有f(a)·f(b)＜0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(3)图像法：通过画函数图像，观察图像与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 判断函数零点(或方程根)的个数 【例1】　(1)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)A．1 B．2C．3 D．4(2)(2019·兰州模拟)已知函数f(x)满足：①定义域为R；②任意x∈R，都有f(x＋2)＝f(x)；③当x∈[－1,1]时，f(x)＝－|x|＋1.则方程f(x)＝log2|x|在区间[－3,5]内解的个数是(　　)A．5　　   B．6　　　　C．7　　   D．8(3)函数f(x)＝的零点个数是______．(1)B　(2)A　(3)3　[(1)令f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，可得|log0.5x|＝.设g(x)＝|log0.5x|，h(x)＝，在同一直角坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图像，可以发现两个函数图像一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．(2)由f(x＋2)＝f(x)知函数f(x)是周期为2的函数，在同一直角坐标系中，画出y1＝f(x)与y2＝log2|x|的图像，如图所示．由图像可得方程解的个数为5，故选A．(3)当x＞0时，作函数y＝ln x和y＝x2－2x的图像，由图知，当x＞0时，f(x)有2个零点；当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)所以在(－∞，0]上有一个零点，综上知f(x)有3个零点．][规律方法]　判断函数零点个数的3种方法(1)方程法：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图像与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图像的交点个数问题．先画出两个函数的图像，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点． (1)函数f(x)＝的零点个数为(　　)A．3　　   B．2　　　　C．1　　   D．0(2)(2019·泰安模拟)已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的取值范围是________．(1)B　(2)(1，＋∞)　[(1)法一：由f(x)＝0得或解得x＝－2或x＝e.因此函数f(x)共有2个零点．法二：函数f(x)的图像如图所示，由图像知函数f(x)共有2个零点．(2)问题等价于函数y＝f(x)与y＝－x＋a的图像有且只有一个交点，作出函数f(x)的图像(如图所示)，结合函数图像可知a＞1.] 函数零点的应用 ►考法1　根据零点的范围求参数【例2】　若函数f(x)＝log2x＋x－k(k∈Z)在区间(2,3)上有零点，则k＝________.4　[函数f(x)＝log2x＋x－k在(2,3)上单调递增，所以f(2)·f(3)＜0，即(log22＋2－k)·(log23＋3－k)＜0，整理得(3－k)(log23＋3－k)＜0，解得3＜k＜3＋log23，而4＜3＋log23＜5，因为k∈Z，故k＝4.]►考法2　已知函数零点或方程根的个数求参数【例3】　(2019·青岛模拟)已知函数f(x)＝其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．(3，＋∞)　[作出f(x)的图像如图所示．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m2<m，即m2－3m>0.又m>0，解得m>3.][规律方法]　已知函数的零点或方程根，求参数问题的三种方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图像，然后数形结合求解． (1)函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是(　　)A．(1,3) B．(1,2)C．(0,3) D．(0,2)(2)已知函数f(x)＝则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是(　　)A．[0,1) B．(－∞，1)C．(－∞，1]∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪(1，＋∞)(1)C　(2)D　[(1)∵函数f(x)＝2x－－a在区间(1,2)上是增加的，又函数f(x)＝2x－－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)＜0，∴(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，∴0＜a＜3，故选C．(2)函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＝m－x的根，在同一坐标系中画出函数f(x)和y＝m－x的图像，如图所示，由图像知，当m≤0或m＞1时方程f(x)＝m－x有根，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点，故选D.] 1．(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)有唯一零点，则a＝(　　)A．－　　 B．C． D．1C　[法一：f(x)＝x2－2x＋a(ex－1＋e－x＋1)＝(x－1)2＋a[ex－1＋e－(x－1)]－1，令t＝x－1，则g(t)＝f(t＋1)＝t2＋a(et＋e－t)－1.∵g(－t)＝(－t)2＋a(e－t＋et)－1＝g(t)，∴函数g(t)为偶函数．∵f(x)有唯一零点，∴g(t)也有唯一零点．又g(t)为偶函数，由偶函数的性质知g(0)＝0，∴2a－1＝0，解得a＝.故选C．法二：f(x)＝0⇔a(ex－1＋e－x＋1)＝－x2＋2x.ex－1＋e－x＋1≥2＝2，当且仅当x＝1时取“＝”．－x2＋2x＝－(x－1)2＋1≤1，当且仅当x＝1时取“＝”．若a>0，则a(ex－1＋e－x＋1)≥2a，要使f(x)有唯一零点，则必有2a＝1，即a＝.若a≤0，则f(x)的零点不唯一．故选C．]2．(2014·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0>0，则a的取值范围是(　　)A．(2，＋∞) B．(－∞，－2)C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)B　[f ′(x)＝3ax2－6x，当a＝3时，f ′(x)＝9x2－6x＝3x(3x－2)，则当x∈(－∞，0)时，f ′(x)>0；x∈时，f ′(x)<0；x∈时，f ′(x)>0，注意f(0)＝1，f ＝>0，则f(x)的大致图像如图(1)所示．图(1)不符合题意，排除A、C．当a＝－时，f ′(x)＝－4x2－6x＝－2x(2x＋3)，则当x∈时，f ′(x)<0，x∈时，f ′(x)>0，x∈(0，＋∞)时，f ′(x)<0，注意f(0)＝1，f ＝－，则f(x)的大致图像如图(2)所示．图(2)不符合题意，排除D.]