2020版新一线高考文科数学（北师大版）一轮复习教学案：第2章第12节　导数与函数的极值、最值


第十二节　导数与函数的极值、最值
[考纲传真]　1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次).3.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)．

1．导数与函数的极值
(1)函数的极大值与导数的关系
x
(a，x0)
极大值点x0
(x0，b)
f′(x)
＋
0
－
y＝f(x)
↗
极大值
↘
图示

(2)函数的极小值与导数的关系
x
(a，x0)
极小值点x0
(x0，b)
f′(x)
－
0
＋
y＝f(x)
↘
极小值
↗
图示


2．求f(x)在[a，b]上的最大(小)值
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值．
(2)将函数y＝f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，最大的为最大值，最小的为最小值．

对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的极大值一定比极小值大． (　　)
(2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件． (　　)
(3)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值． (　　)
(4)x＝0是函数f(x)＝x3的极值点． (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)×
2．(教材改编)函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为(　　)

A．1　　 B．2　　　　C．3　　 D．4
A　[导函数f′(x)的图像与x轴的交点中，左侧图像在x轴下方，右侧图像在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点．]
3．设函数f(x)＝＋ln x，则(　　)
A．x＝为f(x)的极大值点
B．x＝为f(x)的极小值点
C．x＝2为f(x)的极大值点
D．x＝2为f(x)的极小值点
D　[函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
f′(x)＝－＝，
令f′(x)＝0得x＝2，
又0＜x＜2时，f′(x)＜0，
x＞2时，f′(x)＞0.
因此x＝2为f(x)的极小值点，故选D.]
4．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(　　)
A．－4 B．－2
C．4 D．2
D　[由题意得f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0得x＝±2，∴当x2时，f′(x)>0；当－20；
当x∈时，f′(x)0时，f(x)在x＝处取得最大值，最大值为
f ＝ln＋a＝－ln a＋a－1.
因此f >2a－2等价于ln a＋a－1