2020版新一线高考文科数学（北师大版）一轮复习教学案：第3章第4节　函数y＝Asin（ωx＋φ）的图像及三角函数模型的简单应用

第四节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用[考纲传真]　1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图像，了解参数A，ω，φ对函数图像变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．1．函数y＝Asin (ωx＋φ)中各量的物理意义y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动振幅周期频率相位初相AT＝f ＝＝ωx＋φφ2.五点法作图 ωx＋φ0π2πx－y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.三角函数图像变换的两种方法(ω＞0)先平移后伸缩　　　　　　　　先伸缩后平移　　        　⇓　　　　　　　　  　　⇓1．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换中，应向左平移个单位长度，而非φ个单位长度．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝sin的图像是由y＝sin的图像向右平移个单位长度得到的． (　　)(2)利用图像变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．              (　　)(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图像的两个相邻对称中心之间的距离为．              (　　)(4)把y＝sin x的图像上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图像对应的函数解析式为y＝sinx．              (　　)[答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)×2．(教材改编)y＝2sin，x∈[0，＋∞)的振幅、频率和初相分别为(　　)A．2，，－　　 B．2，，－C．2，，－ D．2，，－A　[振幅为2，频率为＝，初相为－，故选A．]3．为了得到函数y＝2sin的图像，可以将函数y＝2sin 2x的图像(　　)A．向右平移个单位长度   B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度   D．向左平移个单位长度A　[y＝2sin＝2sin，故选A．]4．函数y＝sin在区间上的简图是(　　)A　[当x＝－时，y＝sin＝－sinπ＋＝sin＝＞0，排除B、D．当x＝时，y＝sin＝sin 0＝0，故排除C，故选A．]5．用五点法作函数y＝sin在一个周期内的图像时，主要确定的五个点是________、________、________、________、________.；；；；　[令x－分别等于0，，π，，2π可得x的值分别为，，，，，则需确定的五个点为，，，，.]五点法作图及图像变换 【例1】　(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2D　[因为y＝sin＝cos＝cos，所以曲线C1：y＝cos x上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos 2x，再把得到的曲线y＝cos 2x向左平移个单位长度，得到曲线y＝cos 2＝cos，故选D．](2)已知函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx(ω＞0)的最小正周期为π.①求ω的值，并在下面提供的坐标系中画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图像；②函数y＝f(x)的图像可由函数y＝sin x的图像经过怎样的变换得到？[解]　①由题意知f(x)＝sin，因为T＝π，所以＝π，即ω＝2，故f(x)＝sin.列表如下：2x＋π2πx0πf(x)10－10y＝f(x)在[0，π]上的图像如图所示．②将y＝sin x的图像上的所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图像，再将y＝sinx＋的图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数f(x)＝sin(x∈R)的图像．[规律方法]　函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图像的两种作法(1)变换法作图像的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ω确定平移单位．(2)用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，描点得出图像．如果在限定的区间内作图像，还应注意端点的确定． (1)把函数y＝sin x的图像上所有点的横坐标都缩小为原来的，纵坐标保持不变，再把图像向右平移个单位长度，则所得图像的解析式为(　　)A．y＝sin　　　 B．y＝sinC．y＝sin D．y＝sin(2)(2019·宝鸡模拟)为了得到函数y＝sin的图像，只需把函数y＝cos的图像(　　)A．向左平移个单位长度     B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度     D．向右平移个单位长度(1)A　(2)A　[(1)把函数y＝sin x的图像上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到y＝sin 2x的图像，再把y＝sin 2x的图像向右平移个单位长度，得到y＝sin，即y＝sin的图像，故选A．(2)y＝cos＝sin＝sin2x－，故要得到函数y＝sin的图像，只需要平移－＝个单位长度，又＞0，所以应向左平移，故选A．] 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 【例2】　(1)(2019·哈尔滨模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，若x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝(　　)A．　　　B．　　　C．　　　D．1(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，x∈R，ω＞0，|φ|＜π)的部分图像如图所示，则函数f(x)的解析式为f(x)＝________.(1)C　(2)2sin＋1　[(1)由题图知，＝，即T＝π，则ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，因为点在函数f(x)的图像上，所以sin＝0，即＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，所以φ＝2kπ＋，k∈Z，又|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin，因为x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，所以＝，所以x1＋x2＝，所以f(x1＋x2)＝sin＝.(2)由题图可知，函数的最大值为A＋B＝3，最小值为－A＋B＝－1，解得A＝2，B＝1.函数的最小正周期为T＝2×＝π，由＝π，解得ω＝2.由f  ＝2sin＋1＝－1，得sin＝－1，故φ－＝2kπ－(k∈Z)，解得φ＝2kπ－(k∈Z)，又因为|φ|＜π，所以φ＝－.所以f(x)＝2sin＋1.][规律方法]　确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝.(2)求ω：确定函数的最小正周期T，则可得ω＝.(3)求φ：常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图像与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图像的“峰点)时ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z；“最小值点”(即图像的“谷点”)时ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z. (1)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图像如图所示，f ＝－，则f ＝(　　)A．－ B．－C． D．(2)(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f ＝2，f ＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝(1)A　(2)A　[(1)由题图知＝－＝，所以T＝，即ω＝3，当x＝时，y＝0，即3×＋φ＝2kπ－，k∈Z，所以φ＝2kπ－，k∈Z，即k＝1时，φ＝－，所以f(x)＝Acos.即Acos＝－，得A＝，所以f(x)＝cos，故f ＝cos＝－.(2)∵f ＝2，f ＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，∴f(x)的最小正周期为4＝3π，∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.∴2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z.又|φ|<π，∴取k＝0，得φ＝.故选A．] 三角函数模型的简单应用 【例3】　某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11 ℃，则在哪段时间实验室需要降温？[解]　(1)因为f(t)＝10－2＝10－2sin，又0≤t＜24，所以≤t＋＜，－1≤sin≤1.当t＝2时，sin＝1；当t＝14时，sin＝－1.于是f(t)在[0,24)上取得最大值12，取得最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.(2)依题意，当f(t)＞11时实验室需要降温．由(1)得f(t)＝10－2sin，故有10－2sin＞11，即sin＜－.又0≤t＜24，因此＜t＋＜，即10＜t＜18.故在10时至18时实验室需要降温．[规律方法]　解决三角函数实际应用题的三个注意点：(1)准确理解题意，将实际问题数学化．(2)“ωx＋φ”整体处理．(3)活用函数图像性质，数形结合． (1)(2019·黄山模拟)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为(　　)A．5　　  B．6　　　　C．8　　　　D．10(2)据市场调查，某种商品一年内每年出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA＞0，ω＞0，|φ|＜的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为________元．(1)C　(2)6 000　[(1)根据图像得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.(2)作出函数简图如图：三角函数模型为：y＝Asin(ωx＋φ)＋B，由题意知：A＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，∴ω＝＝.将点(3,9 000)代入y＝2000sin＋7000得cos φ＝1，∴φ＝2kπ，k∈Z，又|φ|＜，则φ＝0.故f(x)＝2 000sinx＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．∴f(7)＝2 000×sin＋7 000＝6 000.故7月份的出厂价格为6 000元．]1．(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin2x＋的图像向右平移个周期后，所得图像对应的函数为(　　)A．y＝2sin B．y＝2sinC．y＝2sin D．y＝2sinD　[函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图像向右平移个周期即个单位长度，所得图像对应的函数为y＝2sin2x－＋＝2sin，故选D．]2．(2016·全国卷Ⅱ)函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则(　　)A．y＝2sin B．y＝2sinC．y＝2sin D．y＝2sinA　[由图像知＝－＝，故T＝π，因此ω＝＝2.又图像的一个最高点坐标为，所以A＝2，且2×＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，故φ＝2kπ－(k∈Z)，结合选项可知y＝2sin.故选A．]3．(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f(x)的递减区间为(　　)A．，k∈Z B．，k∈ZC．，k∈Z D．，k∈ZD　[由图像知，周期T＝2＝2，∴＝2，∴ω＝π.由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，∴f(x)＝cos.由2kπ<πx＋<2kπ＋π，得2k－<x<2k＋，k∈Z，∴f(x)的递减区间为，k∈Z.故选D．]4．(2016·全国卷Ⅲ)函数y＝sin x－cos x的图像可由函数y＝2sin x的图像至少向右平移________个单位长度得到．　[∵y＝sin x－cos x＝2sin，∴函数y＝sin x－cos x的图像可由函数y＝2sin x的图像向右平移个单位长度得到．]