2020版新一线高考文科数学（北师大版）一轮复习教学案：第5章第1节　数列的概念与简单表示法

第章　数　列

第一节　数列的概念与简单表示法

[考纲传真]　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．

1．数列的定义

按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．

2．数列的分类

3.数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和通项公式法．

4．数列的通项公式

如果数列{an}的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成an＝f(n)，那么这个式子就叫作这个数列的通项公式．

5．an与Sn的关系

若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，

则an＝

1．数列{an}是递增数列⇔an＋1＞an恒成立．

2．数列{an}是递减数列⇔an＋1＜an恒成立．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)所有数列的第n项都能使用公式表达． (　　)

(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个． (　　)

(3)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn． (　　)

(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列． (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．(教材改编)数列－1，，－，，－，…的一个通项公式为(　　)

A．an＝±　　　 B．an＝(－1)n·

C．an＝(－1)n＋1 D．an＝

B　[由a1＝－1，代入检验可知选B．]

3．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　)

A．15　　B．16　　　　　C．49　　　　　D．64

A　[当n＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15.]

4．把3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图所示)．

则第6个三角形数是(　　)

A．27　　　  B．28　　　  C．29　　　  D．30

B　[由题图可知，第6个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.]

5．在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋(n≥2)，则a5＝(　　)

A．  B．    C．    D．

D　[a2＝1＋＝2，a3＝1＋＝1－＝，a4＝1＋＝1＋2＝3，a5＝1＋＝1－＝.]

1．数列0，，，，…的一个通项公式为(　　)

A．an＝(n∈N*) B．an＝(n∈N*)

C．an＝(n∈N*) D．an＝(n∈N*)

C　[注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可．]

2．数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的一个通项公式是an＝__________.

　[数列{an}的前4项可变形为，，，，故an＝.]

3．写出下面各数列的一个通项公式：

(1)3,5,7,9，…；

(2)，－，，－，，…；

(3)3,33,333,3 333，…；

(4)－1,1，－2,2，－3,3….

[解]　(1)各项减去1后为正偶数，所以an＝2n＋1.

(2)数列中各项的符号可通过(－1)n＋1表示．每一项绝对值的分子比分母少1，而分母组成数列21，22，23，24，…，

所以an＝(－1)n＋1.

(3)将数列各项改写为，，，，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，

所以an＝(10n－1)．

(4)数列的奇数项为－1，－2，－3，…可用－表示，

数列的偶数项为1,2,3，…可用表示．

因此an＝

【例1】　(1)若数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.

(2)若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________.

(1)　(2)(－2)n－1　[(1)当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2×1＋1＝2；

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，显然当n＝1时，不满足上式．

故数列的通项公式为an＝

(2)由Sn＝an＋，得当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，

两式相减，得an＝an－an－1，

∴当n≥2时，an＝－2an－1，即＝－2.

又n＝1时，S1＝a1＝a1＋，a1＝1，

∴an＝(－2)n－1.]

(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n＋1，则数列的通项公式an＝________.

(2)在数列{an}中，Sn是其前n项和，且Sn＝2an＋1，则数列的通项公式an＝________.

(1)　(2)－2n－1　[(1)当n＝1时，a1＝S1＝3＋1＝4，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n＋1－3n－1－1＝2·3n－1.

显然当n＝1时，不满足上式．

∴an＝

(2)依题意得Sn＋1＝2an＋1＋1，Sn＝2an＋1，两式相减得Sn＋1－Sn＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，又S1＝2a1＋1＝a1，因此a1＝－1，所以数列{an}是以a1＝－1为首项、2为公比的等比数列，an＝－2n－1.]

►考法1　形如an＋1＝an＋f(n)，求an

【例2】　在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．

[解]　(1)∵an＋1－an＝3n＋2，

∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，

∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

＝(n≥2)．

当n＝1时，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，

∴an＝n2＋.

►考法2　形如an＋1＝anf(n)，求an

【例3】　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2nan，求数列{an}的通项公式．

[解]　∵an＋1＝2nan，∴＝2n，∴＝2n－1(n≥2)，

∴an＝··…··a1

＝2n－1·2n－2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n－1)

＝2.

又a1＝1适合上式，故an＝2.

►考法3　形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an.

【例4】　已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．

[解]　∵an＋1＝3an＋2，

∴an＋1＋1＝3(an＋1)，

又a1＝1，∴a1＋1＝2，

故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，

∴an＋1＝2·3n－1，因此an＝2·3n－1－1.

根据下列条件，求数列{an}的通项公式．

(1)a1＝1，an＋1＝an＋2n；

(2)a1＝，an＝an－1(n≥2)；

(3)a1＝1，an＋1＝2an＋3；

(4)a1＝1，an＋1＝.

[解]　(1)由题意知an＋1－an＝2n，

an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.

(2)因为an＝an－1(n≥2)，

所以当n≥2时，＝，

所以＝，＝，…，＝，＝，

以上n－1个式子相乘得··…··＝··…··，

即＝××2×1，所以an＝.

当n＝1时，a1＝＝，与已知a1＝相符，

所以数列{an}的通项公式为an＝.

(3)由an＋1＝2an＋3得an＋1＋3＝2(an＋3)．

又a1＝1，∴a1＋3＝4.

故数列{an＋3}是首项为4，公比为2的等比数列，

∴an＋3＝4·2n－1＝2n＋1，∴an＝2n＋1－3.

(4)因为an＋1＝，a1＝1，所以an≠0，

所以＝＋，即－＝.

又a1＝1，则＝1，所以是以1为首项，为公差的等差数列．

所以＝＋(n－1)×＝＋.所以an＝(n∈N*)．

1．(2014·全国卷Ⅱ)数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.

　[∵an＋1＝，

∴an＋1＝＝＝

＝＝1－

＝1－＝1－(1－an－2)＝an－2，

∴周期T＝(n＋1)－(n－2)＝3.

∴a8＝a3×2＋2＝a2＝2.

而a2＝，∴a1＝.]

2．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________.

－　[∵an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，

∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.

∵Sn≠0，∴－＝1，即－＝－1.

又＝－1，∴是首项为－1，公差为－1的等差数列．

∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.]

3．(2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{an}满足a1＝1，a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0.

(1)求a2，a3；

(2)求{an}的通项公式．

[解]　(1)由题意可得a2＝，a3＝.

(2)由a－(2an＋1－1)an－2an＋1＝0得

2an＋1(an＋1)＝an(an＋1)．

因为{an}的各项都为正数，所以＝.

故{an}是首项为1，公比为的等比数列，因此an＝.