2020版新一线高考文科数学（北师大版）一轮复习教学案：第7章第2节　空间图形的基本关系与公理

第二节　空间图形的基本关系与公理

[考纲传真]　1.理解空间直线、平面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的公理和定理.3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．

1．空间图形的公理

(1)公理1：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)．

(2)公理2：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内(即直线在平面内)．

(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

(4)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．

2．空间中两直线的位置关系

(1)空间中两直线的位置关系

(2)异面直线所成的角

①定义：过空间任意一点P分别引两条异面直线a，b的平行线l1，l2(a∥l1，b∥l2)，这两条相交直线所成的锐角(或直角)就是异面直线a，b所成的角．

②范围：.

(3)定理(等角定理)

空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

3．空间中直线与平面、平面与平面的位置关系

(1)空间中直线与平面的位置关系

(2)空间中两个平面的位置关系

1．公理2的三个推论

推论1　经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．

推论2　经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3　经过两条平行直线，有且只有一个平面．

2．异面直线的判定定理

经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．

3．等角定理的引申

(1)在等角定理中，若两角的两边平行且方向相同或相反，则这两个角相等．

(2)在等角定理中，若两角的两边平行且方向一个边相同，一个边相反，则这两个角互补．

[基础自测]

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线． (　　)

(2)两两相交的三条直线最多可以确定三个平面． (　　)

(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合． (　　)

(4)若直线a不平行于平面α，且a⃘α，则α内的所有直线与a异面． (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×

2．(教材改编)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为(　　)

A．30°　　　　 B．45°

C．60° D．90°

C　[连接B1D1，D1C(图略)，则B1D1∥EF，故∠D1B1C为所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，

∴∠D1B1C＝60°.]

3．(教材改编)下列命题正确的是(　　)

A．经过三点确定一个平面

B．经过一条直线和一个点确定一个平面

C．四边形确定一个平面

D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面

D　[根据确定平面的公理和推论知选项D正确．]

4．已知空间四边形的两条对角线相互垂直，顺次连接四边中点的四边形 一定是(　　)

A．空间四边形 B．矩形

C．菱形 D．正方形

B　[四边形的相邻两边分别平行于空间四边形的两角对角线，故选B．]

5．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

A　[由题意知aα，bβ，若a，b相交，则a，b有公共点，从而α，β有公共点，可得出α，β相交；反之，若α，β相交，则a，b的位置关系可能为平行、相交或异面．因此“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选A．]

【例1】　(1)以下命题中，正确命题的个数是(　　)

①不共面的四点中，其中任意三点不共线；

②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则A，B，C，D，E共面；

③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；

④依次首尾相接的四条线段必共面．

A．0　　   B．1　　　　C．2　　　　D．3

B　[①正确，可以用反证法证明，假设任意三点共线，则四个点必共面，与不共面的四点矛盾；②中若点A，B，C在同一条直线上，则A，B，C，D，E不一定共面，故②错误；③中，直线b，c可能是异面直线，故③错误；④中，当四条线段构成空间四边形时，四条线段不共面，故④错误．]

(2)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点．求证：

①E，C，D1，F四点共面；

②CE，D1F，DA三线共点．

[解]　①如图，连接EF，CD1，A1B．

∵E，F分别是AB，AA1的中点，

∴EF∥BA1.

又∵A1B∥D1C，∴EF∥CD1，

∴E，C，D1，F四点共面．

②∵EF∥CD1，EF<CD1，

∴CE与D1F必相交，设交点为P，

则由P∈直线CE，CE平面ABCD，

得P∈平面ABCD．

同理P∈平面ADD1A1.

又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，

∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点．

(1)如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是   (　　)

A　　　　　B　　　　C　　　　D

D　[根据异面直线的判定定理，选项D中PS与QR是异面直线，则四点P，Q，R，S不共面．故选D．]

(2)如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1，H，O三点共线．

[证明]　如图，连接BD，B1D1，

则BD∩AC＝O，

因为BB1DD1，

所以四边形BB1D1D为平行四边形，

又H∈B1D，

B1D平面BB1D1D，

则H∈平面BB1D1D，

因为平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，

所以H∈OD1.

即D1，H，O三点共线．

【例2】　(1)已知a，b，c为三条不同的直线，且a平面α，b平面β，α∩β＝c，给出下列命题：

①若a与b是异面直线，则c至少与a，b中的一条相交；

②若a不垂直于c，则a与b一定不垂直；

③若a∥b，则必有a∥c.

其中真命题有________．(填序号)

(2)在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填上所有正确答案的序号)．

①　　　②　　　③　　　　④

(1)①③　(2)②④　[(1)对于①，若c与a，b都不相交，则c∥a，c∥b，从而a∥b，这与a与b是异面直线矛盾，故①正确．

对于②，a与b可能异面垂直，故②错误．

对于③，由a∥b可知a∥β，又α∩β＝c，从而a∥c，故③正确．

(2)图①中，直线GH∥MN；图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，因此直线GH与MN异面；图③中，连接MG(图略)，GM∥HN，因此GH与MN共面；图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，因此GH与MN异面，所以在图②④中，GH与MN异面．]

[规律方法]　异面直线的判定方法

(1)已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b(　　)

A．一定是异面直线　　 B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线

(2)如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论为________．(把你认为正确的结论的序号都填上)

(1)C　(2)③④　[(1)c与b可能相交，也可能异面，但可不能平行，故选C．

(2)根据两条异面直线的判定定理知，③④正确．]

【例3】　(1)(2018·全国卷Ⅱ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

(2)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，BB1＝1，P是AB的中点，则异面直线BC1与PD所成的角等于(　　)

A．30°   B．45°  C．60°   D．90°

(1)C　(2)C　[(1)如图，连接BE，

因为AB∥CD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即∠EAB．不妨设正方体的棱长为2，则CE＝1，BC＝2，由勾股定理得BE＝.又由AB⊥平面BCC1B1可得AB⊥BE，所以tan∠EAB＝＝.故选C．

(2)取CD的中点Q，

连接BQ，C1Q

∵P是AB的中点，

∴BQ∥PD

∴∠C1BQ是异面直线BC1与PD所成的角．

在△C1BQ中，C1B＝BQ＝C1Q＝，

∴∠C1BQ＝60°，

即异面直线BC1与PD所成的角等于60°，故选C．]

(1)已知P是△ABC所在平面外的一点，M，N分别是AB、PC的中点，若MN＝BC＝4，PA＝4，则异面直线PA与MN所成角的大小是(　　)

A．30° B．45°

C．60° D．90°

(2)如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．

(1)A　(2)　[(1)取AC的中点O，连接OM，ON，则

OMBC，ONPA．

∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角．

在△OMN中，MN＝4，OM＝2，ON＝2，∴cos∠ONM＝

＝＝，

∴∠ONM＝30°

即异面直线PA与MN所成角的大小为30°，故选A．

(2)取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，

因为C是圆柱下底面弧AB的中点，所以AD∥BC，

所以直线AC1与AD所成角等于异面直线AC1与BC所成角，因为C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，所以C1D⊥圆柱下底面，所以C1D⊥AD．

因为圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，所以C1D＝AD，所以直线AC1与AD所成角的正切值为，所以异面直线AC1与BC所成角的正切值为.]

1．(2017·全国卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)

A．　　　B．　　　C．　　　D．

C　[将直三棱柱ABC­A1B1C1补形为直四棱柱ABCD­A1B1C1D1，如图所示，连接AD1，B1D1，BD．

由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，所以AD1＝BC1＝，AB1＝，∠DAB＝60°.

在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD＝，所以B1D1＝.

又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角θ，

所以cos θ＝＝＝.

故选C．]

2．(2016·全国卷Ⅰ)平面α过正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)

A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．

A　[根据平面与平面平行的性质，将m，n所成的角转化为平面CB1D1与平面ABCD的交线及平面CB1D1与平面ABB1A1的交线所成的角．

设平面CB1D1∩平面ABCD＝m1.∵平面α∥平面CB1D1，∴m1∥m.

又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，

且平面CB1D1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，

∴B1D1∥m1.∴B1D1∥m.

∵平面ABB1A1∥平面DCC1D1，且平面CB1D1∩平面DCC1D1＝CD1，同理可证CD1∥n.

因此直线m与n所成的角即直线B1D1与CD1所成的角．

在正方体ABCD­A1B1C1D1中，△CB1D1是正三角形，

故直线B1D1与CD1所成角为60°，其正弦值为.]