2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第九章第四节直线与圆、圆与圆的位置关系

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系


1．直线与圆的位置关系(半径为r，圆心到直线的距离为d)

相离
相切
相交
图形



量化
方程
观点
Δ0
Δ＝0
Δ0
几何
观点
dr
dr
d＜r


2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r1，r2，d＝|O1O2|)

相离
外切
相交
内切
内含
图形





量的关系
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
d＜|r1－r2|

[小题体验]
1．(2019·徐州调研)已知圆x2＋y2＝r2与圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0相内切，则正数r的值为________．
解析：圆x2＋y2＋6x－8y－11＝0的标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36，圆心为(－3,4)，半径为6，圆x2＋y2＝r2的圆心为(0,0)，半径为r，则圆心距d＝＝5.若两圆内切，则|r－6|＝5，得r－6＝5或r－6＝－5，即r＝11或1.
答案：1或11
2．直线l：3x－y－6＝0与圆x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B两点，则AB＝________.
解析：由x2＋y2－2x－4y＝0，得(x－1)2＋(y－2)2＝5，
所以该圆的圆心坐标为(1,2)，半径r＝，
又圆心(1,2)到直线3x－y－6＝0的距离为d＝＝，由2＝r2－d2，得AB2＝4＝10，即AB＝.
答案：
3．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围为________．
解析：由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，
所以≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
答案：[－3,1]
4．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2－2mx＋m2－1＝0相外切，则实数m＝________.
解析：将圆x2＋y2－2mx＋m2－1＝0化成标准方程，得(x－m)2＋y2＝1，圆心为(m,0)，半径r1＝1，
圆x2＋y2＝4的圆心为(0,0)，半径r2＝2.
由两圆相外切，得|m|＝r1＋r2＝3，解得m＝±3.
答案：±3

1．对于圆的切线问题，尤其是圆外一点引圆的切线，易忽视切线斜率k不存在的情形．
2．两圆相切问题易忽视分两圆内切与外切两种情形．
[小题纠偏]
1．过点(2,3)与圆(x－1)2＋y2＝1相切的直线的方程为________．
解析：①若切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y＝k(x－2)＋3，
由圆心(1,0)到切线的距离为半径1，
得k＝，
所以切线方程为4x－3y＋1＝0，
②若切线的斜率不存在，则切线方程为x＝2，也是圆的切线，
所以直线方程为4x－3y＋1＝0或x＝2.
答案：x＝2或4x－3y＋1＝0
2．若圆x2＋y2＝1与圆(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，则常数a＝________.
答案：±2或0

　
[题组练透]
1．(易错题)(2018·苏北四市调研)直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的位置关系是________．
解析：法一：x2＋y2－2x＋2y－7＝0化为圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝9，故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝3，圆心到直线的距离d＝＝.再根据r2－d2＝9－＝，而7a2－4a＋7＝0的判别式Δ＝16－196＝－180＜0，故有r2＞d2，即d＜r，故直线与圆相交．
法二：由(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)整理得x－y＋a(x＋y＋2)＝0，则由解得x＝－1，y＝－1，即直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)过定点(－1，－1)，又(－1)2＋(－1)2－2×(－1)＋2×(－1)－7＝－5＜0，则点(－1，－1)在圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0的内部，故直线(a＋1)x＋(a－1)y＋2a＝0(a∈R)与圆x2＋y2－2x＋2y－7＝0相交．
答案：相交
2．(2019·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy中，若直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝16相交于A，B两点，且△ABC为直角三角形，则实数a的值是________．
解析：因为△ABC为直角三角形，所以BC＝AC＝r＝4，所以圆心C到直线AB的距离为2，从而有＝2，解得a＝－1.
答案：－1
3．(2018·苏州高三暑假测试)已知点A(1,0)和点B(0,1)，若圆x2＋y2－4x－2y＋t＝0上仅有两个不同的点P，使得△PAB的面积为，则实数t的取值范围是________．
解析：由题可得AB＝，若△PAB的面积为，则点P到直线AB的距离为，圆x2＋y2－4x－2y＋t＝0的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5－t，圆心到直线AB的距离为，所以－＜＜＋，解得＜t＜.
答案：
[谨记通法]
判断直线与圆的位置关系的两种方法
(1)几何法：圆心到直线的距离与圆半径比较大小，即可判断直线与圆的位置关系．这种方法的特点是计算量较小．
(2)代数法：将直线方程与圆方程联立方程组，再将二次方程组转化为一元二次方程，该方程解的情况即对应直线与圆的位置关系．这种方法具有一般性，适合于判断直线与圆锥曲线的位置关系，但是计算量较大，能用几何法，尽量不用代数法．
　
[锁定考向]
与圆有关的切线及弦长问题，是近年来高考的一个热点，常见的命题角度有：
(1)求圆的切线方程(切线长)；
(2)求弦长；
(3)由弦长或切线问题求参数．　　　 　
[题点全练]
角度一：求圆的切线方程(切线长)
1．已知圆的方程为x2＋y2＝1，则在y轴上截距为的切线方程为________________．
解析：在y轴上截距为且斜率不存在的直线显然不是切线，故设切线方程为y＝kx＋，则＝1，所以k＝±1，故所求切线方程为y＝x＋或y＝－x＋.
答案：y＝x＋或y＝－x＋
角度二：求弦长
2．若a2＋b2＝2c2(c≠0)，则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为________．
解析：因为圆心(0,0)到直线ax＋by＋c＝0的距离d＝＝＝，
因此根据直角三角形的关系，弦长的一半就等于 ＝，
所以弦长为.
答案：
角度三：由弦长或切线问题求参数
3．(2018·苏州期末)在平面直角坐标系xOy中，已知过点M(1，1)的直线l与圆(x＋1)2＋(y－2)2＝5相切，且与直线ax＋y－1＝0垂直，则实数a＝________.
解析：因为点M在圆上，所以切线方程为(1＋1)(x＋1)＋(1－2)(y－2)＝5，即2x－y－1＝0，所以2a－1＝0，即a＝.
答案：
4．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝2截y轴所得线段与截直线y＝2x＋b所得线段的长度相等，则b＝________.
解析：记圆C与y轴的两个交点分别是A，B，由圆心C到y轴的距离为1，CA＝CB＝可知，圆心C(1,2)到直线2x－y＋b＝0的距离也等于1才符合题意，于是＝1，解得b＝±.
答案：±
[通法在握]
1．圆的切线方程的2种求法
(1)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
(2)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
[提醒]　若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则过M点的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
2．弦长的2种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程．在判别式Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长．
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
[演练冲关]
1．(2019·启东检测)已知点P是直线y＝x上一个动点，过点P作圆(x＋2)2＋(y－2)2＝1的切线，切点为T，则线段PT长度的最小值为________．
解析：圆心C(－2,2)，半径r＝1，则切线长PT＝.要使PT最小，只需PC最小即可，此时CP垂直于直线y＝x，则C到直线x－y＝0的距离d＝＝＝2，此时PT＝＝，故线段PT长度的最小值为.
答案：
2．过原点且与直线x－y＋1＝0平行的直线l被圆x2＋(y－)2＝7所截得的弦长为________．
解析：由题意可得l的方程为x－y＝0，
因为圆心(0，)到l的距离d＝＝1，
所以所求弦长l＝2＝2＝2.
答案：2
3．已知点A(1，a)，圆x2＋y2＝4.
(1)若过点A的圆的切线只有一条，求a的值及切线方程；
(2)若过点A且在两坐标轴上截距相等的直线与圆相切，求a的值及切线方程．
解：(1)由于过点A的圆的切线只有一条，则点A在圆上，
故12＋a2＝4，得a＝±.
当a＝，即A(1，)时，切线的斜率为－，
故切线方程为y－＝－(x－1)，即x＋y－4＝0，
当a＝－，即A(1，－)时，切线的斜率为，
故切线的方程为y＋＝(x－1)，即x－y－4＝0.
所以a＝时，切线方程为x＋y－4＝0，a＝－时，切线方程为x－y－4＝0.
(2)设直线方程为x＋y＝b，
由于直线过点A，所以1＋a＝b，
所以直线方程为x＋y＝1＋a，即x＋y－a－1＝0.
又直线与圆相切，所以d＝＝2，所以a＝±2－1.
所以切线方程为x＋y＋2＝0或x＋y－2＝0.
　
[典例引领]
1．(2019·常州调研)若圆O：x2＋y2＝10与圆M：(x－a)2＋y2＝90(a＞0)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．
解析：由题意得，O(0,0)，r1＝，M(a,0)，r2＝3，
∴2＜|a|＜4.
∵OA⊥MA，
∴在Rt△AOM中，根据勾股定理，得OM2＝OA2＋MA2，
即a2＝()2＋(3)2＝100，
∴a＝10或a＝－10(不合题意，舍去)，
则线段AB的长度为＝＝6.
答案：6
2．(2018·南京、盐城、连云港、徐州二模)已知圆O：x2＋y2＝1，动圆M：(x－a)2＋(y－a＋4)2＝1.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则实数a的取值范围为________．
解析：由题意得圆心M(a，a－4)在直线x－y－4＝0上运动，所以动圆M是圆心在直线x－y－4＝0上，半径为1的圆．又因为圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使∠APB＝60°，所以OP＝2，即点P也在x2＋y2＝4上，于是2－1≤≤2＋1，即1≤≤3，解得2－≤a≤2＋，故实数a的取值范围是.
答案：
[由题悟法]
圆与圆位置关系问题的解题策略
(1)处理两圆位置关系多用圆心距与半径和或差的关系判断，一般不采用代数法．
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差得到．
[即时应用]
1.已知圆x2＋y2＝9与圆x2＋y2－4x＋2y－3＝0相交于A，B两点，则线段AB的长为________．
解析：由题意，两圆的公共弦为2x－y－3＝0，
∵圆x2＋y2＝9的圆心坐标为(0,0)，半径为3，
∴圆心到直线的距离d＝，
∴线段AB的长为2＝.
答案：
2．(2019·镇江模拟)若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝________.
解析：圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，
因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，
所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝(m＜25)．
从而C1C2＝＝5.
由两圆外切，得C1C2＝r1＋r2，
即1＋＝5，解得m＝9.
答案：9

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2018·扬州期末)已知直线l：x＋y－2＝0与圆C：x2＋y2＝4交于A，B两点，则弦AB的长为________．
解析：圆心C(0,0)到直线l的距离d＝＝1，所以AB＝2＝2，故弦AB的长为2.
答案：2
2．(2019·南京调研)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y＝0与圆(x－3)2＋(y－1)2＝25相交于A，B两点，则线段AB的长为________．
解析：圆(x－3)2＋(y－1)2＝25的圆心坐标为(3,1)，半径为5.
∵圆心(3,1)到直线x＋2y＝0的距离d＝＝，
∴线段AB的长为2＝2＝4.
答案：4
3．设圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r＞0)上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于2，则圆半径r的取值范围为________．
解析：∵圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r＞0)的圆心坐标为(3，－5)，半径为r，
∴圆心(3，－5)到直线4x－3y－2＝0的距离d＝＝5，
∵圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2(r＞0)上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离等于2，∴|r－5|＜2，解得3＜r＜7.
答案：(3,7)
4．(2018·苏锡常镇调研)若直线3x＋4y－m＝0与圆x2＋y2＋2x－4y＋4＝0始终有公共点，则实数m的取值范围是________．
解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝1，故圆心到直线的距离d＝≤1.
即|m－5|≤5，解得0≤m≤10.
答案：[0,10]
5．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0的圆心为C，点A，B在圆C上，且AB＝2，则S△ABC＝________.
解析：圆C：x2＋y2－6x＋5＝0化为标准方程得(x－3)2＋y2＝4，圆心为(3,0)，半径为2.
∵点A，B在圆C上，且AB＝2，
∴圆心(3,0)到直线AB的距离为＝1，
∴S△ABC＝×2×1＝.
答案：
6．若圆x2＋y2＋mx－＝0与直线y＝－1相切，其圆心在y轴的左侧，则m＝________.
解析：圆的标准方程为2＋y2＝2，圆心到直线y＝－1的距离＝|0－(－1)|，解得m＝±，因为圆心在y轴的左侧，所以m＝.
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2019·苏北四市调研)在平面直角坐标系xOy中，若点A到原点的距离为2，到直线 x＋y－2＝0的距离为1，则满足条件的点A的个数为________．
解析：如图，作出直线x＋y－2＝0，作出以原点为圆心，以2为半径的圆，
∵原点O到直线x＋y－2＝0的距离为1，
∴在直线x＋y－2＝0的右上方有一点满足到原点的距离为2，到直线x＋y－2＝0的距离为1，
过原点作直线x＋y－2＝0的平行线，交圆于两点，则两交点满足到原点的距离为2，到直线x＋y－2＝0的距离为1.
故满足条件的点A共3个．
答案：3


2．(2018·苏州调研)两圆交于点A(1,3)和B(m,1)，两圆的圆心都在直线x－y＋＝0上， 则m＋c＝________.
解析：由题意可知线段AB的中点在直线x－y＋＝0上，代入得m＋c＝3.
答案：3
3．(2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在平面直角坐标系xOy中，过点P(－2,0)的直线与圆x2＋y2＝1相切于点T，与圆(x－a)2＋(y－)2＝3相交于点R，S，且PT＝RS，则正数a的值为________．
解析：因为PT与圆x2＋y2＝1相切于点T，所以在Rt△OPT中，OT＝1，OP＝2， ∠OTP＝，从而∠OPT＝，PT＝，故直线PT的方程为x±y＋2＝0，因为直线PT截圆(x－a)2＋(y－)2＝3得弦长RS＝，设圆心到直线的距离为d，则d＝，又＝2，即d＝，即|a±3＋2|＝3，解得a＝－8或a＝－2或a＝4，因为a＞0，所以a＝4.
答案：4
4．(2018·无锡模拟)已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，线段EF在直线l：y＝x＋1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆C上存在两点A，B，使得·≤0，则线段EF长度的最大值是________．
解析：由·≤0得∠APB≥90°，从直线上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时，∠APB才是最大的角，不妨设切线为PM，PN，当∠APB≥90°时， ∠MPN≥90°，sin∠MPC＝≥sin 45°＝，所以PC≤2.另当过点P，C的直线与直线l：y＝x＋1垂直时，PCmin＝，以C为圆心，CP＝2为半径作圆交直线l于E，F两点，这时的线段长即为线段EF长度的最大值，所以EFmax＝2＝.
答案：
5．(2019·镇江调研)若圆O：x2＋y2＝5与圆O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．
解析：如图，因为圆O1与圆O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，所以O1A⊥OA. 又因为OA＝，O1A＝2，所以OO1＝5.又A，B关于OO1对称，所以AB为Rt△OAO1斜边上高的2倍．由·OA·O1A＝OO1·AC，得AC＝2.所以AB＝4.
答案：4
6．(2018·淮阴期末)圆C1：x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和圆C2：x2＋y2－2by＋b2－1＝0相内切，若a，b∈R，且ab≠0，则＋的最小值为________．
解析：由题意，两圆的标准方程分别为 (x＋a)2＋y2＝4，x2＋(y－b)2＝1，
∴圆心分别为(－a,0)，(0，b)，半径分别为2和1.
∵两圆相内切，∴＝1，∴a2＋b2＝1，
∴＋＝(a2＋b2)＝5＋＋≥5＋4＝9，当且仅当＝，即a2＝，b2＝时等号成立．
故＋的最小值为9.
答案：9
7．(2018·苏北四市期末)已知A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的动点，AB＝，P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，则|＋|的取值范围为________．
解析：如图，因为A，B是圆C1：x2＋y2＝1上的动点，AB＝，所以线段AB的中点H在圆O：x2＋y2＝上，且|＋|＝
2||.因为点P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，所以5－≤||≤5＋，即≤||≤，所以7≤2||≤13，从而|＋|的取值范围为[7,13]．
答案：[7,13]
8．(2019·淮安模拟)已知圆O：x2＋y2＝1.若直线y＝x＋2上总存在点P，使得过点P的圆O的两条切线互相垂直，则实数k的最小值为________．
解析：圆O的圆心为O(0,0)，半径r＝1.设两个切点分别为A，B，则由题意可得四边形PAOB为正方形，故有PO＝r＝，∴圆心O到直线y＝x＋2的距离小于或等于PO＝，即≤，即1＋k≥2，解得k≥1，
∴实数k的最小值为1.
答案：1
9．已知圆C经过点A(2，－1)，和直线x＋y＝1相切，且圆心在直线y＝－2x上．
(1)求圆C的方程；
(2)已知直线l经过原点，并且被圆C截得的弦长为2，求直线l的方程．

解：(1)设圆心的坐标为C(a，－2a)，
则＝.
化简，得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.
所以C(1，－2)，半径r＝|AC|＝＝.
所以圆C的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
(2)①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝0，此时直线l被圆C截得的弦长为2，满足条件．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝kx，
由题意得＝1，解得k＝－，
所以直线l的方程为y＝－x.
综上所述，直线l的方程为x＝0或3x＋4y＝0.
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－4x＝0及点A(－1，0)，B(1,2)．
(1)若直线l∥AB，与圆C相交于M，N两点，MN＝AB，求直线l的方程；
(2) 在圆C上是否存在点P，使得PA2＋PB2＝12？若存在，求点P的个数；若不存在，请说明理由．
解：(1)圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝4，
所以圆心C(2,0)，半径为2.
因为l∥AB，A(－1,0)，B(1,2)，
所以直线l的斜率为＝1，
设直线l的方程为x－y＋m＝0，
则圆心C到直线l的距离为d＝.
因为MN＝AB＝＝2，
而CM2＝d2＋2，所以4＝＋2，
解得m＝0或m＝－4，
故直线l的方程为x－y＝0或x－y－4＝0.
(2)假设圆C上存在点P，设P(x，y)，则(x－2)2＋y2＝4，
PA2＋PB2＝(x＋1)2＋(y－0)2＋(x－1)2＋(y－2)2＝12，
即x2＋y2－2y－3＝0，即x2＋(y－1)2＝4.
因为|2－2|＜＜2＋2，
所以圆(x－2)2＋y2＝4与圆x2＋(y－1)2＝4相交，
所以点P的个数为2.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2019·苏州调研)过曲线y＝2|x－a|＋x－a上的点P向圆O：x2＋y2＝1作两条切线PA，PB，切点为A，B，且∠APB＝60°，若这样的点P有且只有两个，则实数a的取值范围是________．
解析：根据题意，若经过点P作圆O：x2＋y2＝1的两条切线，切点为A，B，且∠APB＝60°，则∠OPA＝30°，所以PO＝2AO＝2，故点P的轨迹方程为x2＋y2＝4.
y＝2|x－a|＋x－a＝
当x≤a时，曲线为x＋y－a＝0，
当x≥a时，曲线为3x－y－3a＝0.
故当a＜0时，若这样的点P有且只有两个，必有＜2，即－＜2，
解得a＞－，即－＜a＜0；
当a＝0时，曲线为y＝2|x|＋x＝符合题意；

当a＞0时，若这样的点P有且只有两个，必有＜2，解得a＜2，即0＜a＜2，
综上，实数a的取值范围是.
答案：
2．(2018·苏锡常镇调研)在平面直角坐标系xOy中，过点M(1,0)的直线l与圆x2＋y2＝5交于A，B两点，其中点A在第一象限，且＝2，则直线l的方程为__________．
解析：法一：易知直线l的斜率存在，设l：y＝k(x－1)．
由＝2，可设BM＝2t，MA＝t，如图，过原点O作OH⊥l于点H，则BH＝.设OH＝d，在Rt△OBH中，d2＋2＝r2＝5，
在Rt△OMH中，d2＋2＝OM2＝1，解得d2＝.
所以d2＝＝，解得k＝1或k＝－1，因为点A在第一象限，＝2，
由图知k＝1，所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以＝(x1－1，y1)，＝(1－x2，－y2)．
因为＝2，
所以即
又x＋y＝5，所以(2x1－3)2＋4y＝5，
联立
解得x1＝2，代入可得y1＝±1，
又点A在第一象限，故A(2,1)，
所以直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
3．已知圆C1：(x＋1)2＋y2＝1和圆C2：(x－4)2＋y2＝4.
(1)过点C1作圆C2的切线，求该切线方程；
(2)过圆心C1作倾斜角为θ的直线l交圆C2于A，B两点，且A为C1B的中点，求sin θ；
(3)过点P(m,1)引圆C2的两条割线l1和l2.直线l1和l2被圆C2截得的弦的中点分别为M，N，试问过点P，M，N，C2的圆是否过定点(异于点C2)？若过定点，求出该定点；若不过定点，说明理由．
解：(1)显然切线的斜率存在，设切线方程为y＝k(x＋1)，
由题意得＝2，解得k＝±，所以所求直线方程为y＝±(x＋1)，
即2x±y＋2＝0.
(2)设直线l的方程为y＝k(x＋1)，
则圆心C2到直线l的距离d＝，
设AB的中点为R，则AR＝＝AB＝C1R＝，解得d2＝.
在Rt△C1RC2中，sin θ＝＝＝.
(3)依题意，过点P，M，N，C2的圆即为以PC2为直径的圆，
所以(x－4)(x－m)＋(y－1)(y－0)＝0，
即x2－(m＋4)x＋4m＋y2－y＝0，
整理成关于实数m的等式(4－x)m＋x2－4x＋y2－y＝0恒成立，
则所以或(舍去)．
即存在定点(4,1)．

命题点一　直线与方程、两条直线的位置关系
1.(2017·北京高考)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，则x2＋y2的取值范围是________．
解析：依题意，x2＋y2可视为原点到线段x＋y－1＝0(x≥0，y≥0)上的点的距离的平方，如图所示，故(x2＋y2)min＝2＝，(x2＋y2)max＝|OA|2＝|OB|2＝1，故x2＋y2∈.
答案：
2．(2015·山东高考改编)一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为________．
解析：由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0.由反射光线与圆相切，则有d＝＝1，解得k＝－或k＝－.
答案：－或－
3．(2016·上海高考)已知平行直线l1：2x＋y－1＝0，l2：2x＋y＋1＝0，则l1与l2的距离是________．
解析：由两平行线间的距离公式得d＝＝.
答案：
命题点二　圆的方程、直线与圆的位置关系
1．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，点P在圆O：x2＋y2＝50上．若·≤20，则点P的横坐标的取值范围是________．
解析：设P(x，y)，则·＝(－12－x，－y)·(－x,6－y)＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20.
又x2＋y2＝50，所以2x－y＋5≤0，
所以点P在直线2x－y＋5＝0的上方(包括直线上)．
又点P在圆x2＋y2＝50上，
由
解得x＝－5或x＝1，
结合图象，可得－5≤x≤1，
故点P的横坐标的取值范围是[－5，1]．
答案：[－5，1]
2．(2018·全国卷Ⅲ改编)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是________．
解析：设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，
则圆心C(2,0)，r＝，
所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为＝2，
可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝.
由已知条件可得|AB|＝2，
所以△ABP面积的最大值为×|AB|×dmax＝6，
△ABP面积的最小值为×|AB|×dmin＝2.
综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．
答案：[2,6]
3．(2018·北京高考改编)在平面直角坐标系中，记d为点P(cos θ，sin θ)到直线x－my－2＝0的距离，当θ，m变化时，d的最大值为________．
解析：由题知点P(cos θ，sin θ)是单位圆x2＋y2＝1上的动点，所以点P到直线x－my－2＝0的距离可转化为单位圆上的点到直线的距离．
又直线x－my－2＝0恒过点(2,0)，所以当m变化时，圆心(0,0)到直线x－my－2＝0的距离的最大值为2，所以点P到直线x－my－2＝0的距离的最大值为3，即d的最大值为3.
答案：3
4．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：由x2＋y2＋2y－3＝0，得x2＋(y＋1)2＝4.
∴圆心C(0，－1)，半径r＝2.圆心C(0，－1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝，
∴|AB|＝2＝2＝2.
答案：2
5．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0,1)，当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？说明理由；
(2)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
解：(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1,0)，B(x2,0)，则x1，x2满足x2＋mx－2＝0，
所以x1x2＝－2.
又C的坐标为(0,1)，
故AC的斜率与BC的斜率之积为·＝－，
所以不能出现AC⊥BC的情况．
(2)证明：由(1)知BC的中点坐标为，
可得BC的中垂线方程为y－＝x2.
由(1)可得x1＋x2＝－m，
所以AB的中垂线方程为x＝－.
联立可得
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.
故圆在y轴上截得的弦长为2＝3，即过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值．
6．(2016·江苏高考)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程；
(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q，使得＋＝，求实数t的取值范围．
解：圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，
所以圆心M(6,7)，半径为5.
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．
因为圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以0＜y0＜7，圆N的半径为y0，从而7－y0＝5＋y0，解得y0＝1.
因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.
(2)因为直线l∥OA，
所以直线l的斜率为＝2.
设直线l的方程为y＝2x＋m，
即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线l的距离
d＝＝.
因为BC＝OA＝＝2，
而MC2＝d2＋2，
所以25＝＋5，解得m＝5或m＝－15.
故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.
(3)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
因为A(2,4)，T(t,0)，＋＝，
所以①
因为点Q在圆M上，所以(x2－6)2＋(y2－7)2＝25.②
将①代入②，得(x1－t－4)2＋(y1－3)2＝25.
于是点P(x1，y1)既在圆M上，又在圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25上，
从而圆(x－6)2＋(y－7)2＝25与圆[x－(t＋4)]2＋(y－3)2＝25有公共点，
所以5－5≤≤5＋5，
解得2－2≤t≤2＋2.
因此，实数t的取值范围是[2－2，2＋2 ]．