2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第七章第一节一元二次不等式及其解法

第一节一元二次不等式及其解法


“三个二次”的关系
判别式Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象



一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根
有两相异实根x1，x2(x1＜x2)
有两相等实根x1＝x2＝－
没有实数根
一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集
{x|x＜x1或x＞x2}

R
一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集
{x|x1＜x＜x2}
∅


[小题体验]
1．不等式3x2－x－4≤0的解集是________．
解析：由3x2－x－4≤0，得(3x－4)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤.
答案：
2．(2018·南京、盐城二模)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥－1的解集是________．
解析：不等式f(x)≥－1⇔或
解得－4≤x≤0或0＜x≤2，
故不等式f(x)≥－1的解集是[－4,2]．
答案：[－4,2]
3．已知不等式ax2－bx－1≥0的解集是，则不等式x2－bx－a＜0的解集是________．
解析：由题意知－，－是方程ax2－bx－1＝0的根，所以解得不等式x2－bx－a＜0，即为x2－5x＋6＜0，解得2＜x＜3.
答案：{x|2＜x＜3}

1．对于不等式ax2＋bx＋c＞0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．
2．当Δ＜0时，ax2＋bx＋c＞0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．
3．含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论．
[小题纠偏]
1．已知不等式x2－2x＋k2－3＞0的解集为R，则实数k的取值范围是________________．
解析：由Δ＝4－4(k2－3)＜0，解得k＞2或k＜－2.
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
2．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析：当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－4＜0，所以a＝2时成立，
当a－2≠0，即a≠2时，由题意得
即
解得－2＜a＜2.
综上所述，－2＜a≤2.
答案：(－2,2]

　
[题组练透]
1．(2018·南通中学检测)不等式－3x2＋6x＞2的解集为________．
解析：将不等式－3x2＋6x＞2转化为3x2－6x＋2＜0，所以不等式的解集是
答案：
2．(2019·东湖中学检测)已知函数f(x)＝则不等式f(f(x))≤3的解集为________．
解析：当x≥0时，f(f(x))＝f(－x2)＝(－x2)2－2x2≤3，即(x2－3)(x2＋1)≤0，解得0≤x≤；当－2＜x＜0时，f(f(x))＝f(x2＋2x)＝(x2＋2x)2＋2(x2＋2x)≤3，即(x2＋2x－1)(x2＋2x＋3)≤0，即－2＜x＜0；当x≤－2时，f(f(x))＝f(x2＋2x)＝－(x2＋2x)2≤3，解得x≤ －2.综上，不等式的解集为{x|x≤ }．
答案：{x|x≤}
3．解下列不等式：
(1)(易错题)－3x2－2x＋8≥0；
(2)0＜x2－x－2≤4.
解：(1)原不等式可化为3x2＋2x－8≤0，
即(3x－4)(x＋2)≤0.
解得－2≤x≤，
所以原不等式的解集为.
(2)原不等式等价于
⇔
⇔⇔
借助于数轴，如图所示，

所以原不等式的解集为.
[谨记通法]
解一元二次不等式的4个步骤

　
[典例引领]
(2019·天一中学检测)解关于x的不等式：ax2＋(a－2)x－2≥0.
解：①当a＝0时，原不等式化为x＋1≤0，解得x≤－1.
②当a＞0时，原不等式化为(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1.
③当a＜0时，原不等式化为(x＋1)≤0.
当＞－1，即a＜－2时，解得－1≤x≤；
当＝－1，即a＝－2时，解得x＝－1；
当＜－1，即a＞－2时，解得≤x≤－1.
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a＞0时，不等式的解集为；
当－2＜a＜0时，不等式的解集为；
当a＝－2时，不等式的解集为{x|x＝－1}；
当a＜－2时，不等式的解集为.
[由题悟法]
解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据
(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．
(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．
(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式．
[提醒]　当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．


[即时应用]
1．(2019·苏州实验中学检测)已知x2＋px＋q＜0的解集为，则不等式qx2＋px＋1＞0的解集为________．
解析：∵x2＋px＋q＜0的解集为，
∴－，是方程x2＋px＋q＝0的两实数根，
则解得
∴不等式qx2＋px＋1＞0可化为－x2＋x＋1＞0，即x2－x－6＜0，解得－2＜x＜3，
∴不等式qx2＋px＋1＞0的解集为{x|－2＜x＜3}．
答案：{x|－2＜x＜3}
2．求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．
解：原不等式可化为12x2－ax－a2＞0，
即(4x＋a)(3x－a)＞0，
令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－，x2＝.
当a＞0时，不等式的解集为∪；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a＜0时，不等式的解集为∪.
　

[锁定考向]
一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．
常见的命题角度有：
(1)形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数范围；
(2)形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围；
(3)形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围．　　　 　
[题点全练]
角度一：形如f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数范围
1．(2019·南通中学测试)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R且a≠0)，若对任意实数x，不等式2x≤f(x)≤(x＋1)2恒成立．
(1)求f(1)的值；
(2)求a的取值范围．
解：(1)令x＝1，由2x≤f(x)≤(x＋1)2，可得2≤f(1)≤2，所以f(1)＝2.
(2)由f(1)＝2，可得a＋b＋c＝2，即b＝2－(a＋c)，
因为对一切实数x，f(x)－2x≥0恒成立，
所以ax2＋(b－2)x＋c≥0(a≠0)对一切实数x恒成立，
所以即
可得(a－c)2≤0，但(a－c)2≥0，即有a＝c＞0，
则f(x)＝ax2＋bx＋a，
f(x)≤(x＋1)2恒成立，即x2＋(b－1)x＋≤0恒成立，
所以a－＜0，且Δ＝(b－1)2－42≤0，
由b－1＝1－2a，即有Δ＝0成立．
综上可得a的取值范围是.
角度二：形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围
2．已知函数f(x)＝－x2＋ax＋b2－b＋1(a∈R，b∈R)，对任意实数x都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，若当x∈[－1,1]时，f(x)＞0恒成立，求b的取值范围．
解：由f(1－x)＝f(1＋x)知f(x)的图象关于直线x＝1对称，即＝1，解得a＝2.
又因为f(x)开口向下，
所以当x∈[－1,1]时，f(x)为增函数，
所以f(x)min＝f(－1)＝－1－2＋b2－b＋1
＝b2－b－2，
f(x)＞0恒成立，即b2－b－2＞0恒成立，
解得b＜－1或b＞2.
所以b的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
角度三：形如f(x)≥0(参数m∈[a，b])确定x的范围
3．对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值 范围．
解：由f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m
＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
所以
解得x＜1或x＞3.
故当x∈(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m∈[－1,1]，函数f(x)的值恒大于零．
[通法在握]
一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法
方法
解　读
适合题型
判别式法
(1)ax2＋bx＋c≥0对任意实数x恒成立的条件是
(2)ax2＋bx＋c≤0对任意实数x恒成立的条件是
二次不等式在R上恒成立
分离参数法
如果不等式中的参数比较“孤单”，分离后其系数与0能比较大小，便可将参数分离出来，利用下面的结论求解：a≥f(x)恒成立等价于a≥f(x)max；a≤f(x)恒成立等价于a≤f(x)min
适合参数与变量能分离且f(x)的最值易求
主参换位法
把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．常见的是转化为一次函数f(x)＝ax＋b(a≠0)在[m，n]恒成立问题，若f(x)＞0恒成立⇔
若f(x)＜0恒成立⇔
若在分离参数时会遇到讨论参数与变量，使求函数的最值比较麻烦，或者即使能容易分离出却难以求出时

[演练冲关]
1．(2018·盱眙二模)若对于任意的a，b∈R，存在λ∈R使不等式a2＋mb2≥λb(a＋b)成立，则实数m的取值范围为________．
解析：∵a2＋mb2≥λb(a＋b)对于任意的a，b∈R恒成立，
∴a2＋mb2－λb(a＋b)≥0对于任意的a，b∈R恒成立，
即a2－(λb)a＋(m－λ)b2≥0恒成立，
由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b2＋4(λ－m)b2≤0，
即λ2＋4λ－4m≤0，
又∵存在λ∈R使得上述不等式恒成立，
∴Δ＝16＋16m≥0，解得m≥－1.
答案：[－1，＋∞)
2．设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．
解：要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，
则mx2－mx＋m－6＜0，
即m2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．
因为x2－x＋1＝2＋＞0，
又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜.
因为函数y＝＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m＜即可．
因为m≠0，所以m的取值范围是(－∞，0)∪.

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1．(2019·扬州模拟)不等式2x2－x－1＞0的解集为________．
解析：不等式2x2－x－1＞0可化为(2x＋1)(x－1)＞0，
解得x＞1或x＜－，
则原不等式的解集为∪(1，＋∞)．
答案：∪(1，＋∞)
2．(2018·靖江中学期末)若集合A＝{x|ax2－ax＋1＜0}＝∅，则实数a的取值范围是________．
解析：由题意知a＝0时，满足条件．a≠0时，由得0＜a≤4，所以实数a的取值范围是[0,4]．
答案：[0,4]
3．(2019·昆明模拟)不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.
答案：[－1,4]
4．不等式|x(x－2)|＞x(x－2)的解集是________．
解析：不等式|x(x－2)|＞x(x－2)的解集即x(x－2)＜0的解集，解得0＜x＜2.
答案：(0,2)
5．(2019·南通月考)关于x的不等式x2－x＋1＜0(a＞1)的解集为________．
解析：不等式x2－x＋1＜0可化为(x－a)＜0，
又a＞1，∴a＞，∴不等式的解集为.
答案：
6．(2018·如东中学测试)已知函数f(x)＝则不等式f(x)≥x2的解集为________．
解析：当x≤0时，x＋2≥x2，解得－1≤x≤0；①
当x＞0时，－x＋2≥x2，解得0＜x≤1. ②
由①②得原不等式的解集为{x|－1≤x≤1}．
答案：[－1,1]
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1．(2019·常州检测)若关于x的不等式x2－3ax＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞m}，则a＋m＝________.
解析：关于x的不等式x2－3ax＋2＞0的解集为{x|x＜1或x＞m}，则1与m是对应方程x2－3ax＋2＝0的两个实数根，把x＝1代入方程得1－3a＋2＝0，解得a＝1，∴不等式化为x2－3x＋2＞0，其解集为{x|x＜1或x＞2}，∴m＝2，
∴a＋m＝3.
答案：3
2．(2018·清河中学检测)不等式(x＋2)≤0的解集为________．
解析：由题意或x2－9＝0，即或x＝±3，即x≤－3或x＝3.
答案：(－∞，－3]∪{3}
3．(2019·郑州调研)规定记号“⊙”表示一种运算，定义a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数)，若1⊙k2＜3，则k的取值范围是________．
解析：因为定义a⊙b＝＋a＋b(a，b为正实数)，
1⊙k2＜3，所以＋1＋k2＜3，
化为(|k|＋2)(|k|－1)＜0，所以|k|＜1，
所以－1＜k＜1.
答案：(－1,1)
4．如果关于x的不等式5x2－a≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a的取值范围是________．
解析：由5x2－a≤0，得－≤x≤，
而正整数解是1,2,3,4，则4≤ ＜5，所以80≤a＜125.
答案：[80,125)
5．(2019·南通调研)已知关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1,5)，其中a，b，c为常数．则不等式cx2＋bx＋a≤0的解集为________．
解析：因为不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－1,5)，所以a(x＋1)(x－5)＞0，且a＜0，即ax2－4ax－5a＞0，则b＝－4a，c＝－5a，故cx2＋bx＋a≤0，即为－5ax2－4ax＋a≤0，从而5x2＋4x－1≤0，故不等式cx2＋bx＋a≤0的解集为.
答案：
6．(2018·江阴期中)若关于x的不等式mx2－mx－1≥0的解集为∅，则实数m的取值范围是________．
解析：当m＝0时，原不等式化为－1≥0，其解集是空集；
当m≠0时，要使关于x的不等式mx2－mx－1≥0的解集为∅，
则解得－4＜m＜0.
综上，实数m的取值范围是(－4,0]．
答案：(－4,0]
7．(2018·海门检测)已知一元二次不等式f(x)＜0的解集为，则f(ex)＞0的解集为________．
解析：由题意f(x)＞0的解集为，不等式f(ex)＞0可化为－1＜ex＜，解得x＜－ln 3，即f(ex)＞0的解集为(－∞，－ln 3)．
答案：(－∞，－ln 3)
8．(2019·金陵中学检测)如果关于x的不等式(1－m2)x2－(1＋m)x－1＜0的解集是R，则实数m的取值范围是________________．
解析：令1－m2＝0，解得m＝±1；
当m＝1，不等式化为－2x－1＜0，不满足题意；
当m＝－1时，不等式化为－1＜0，满足条件；
当m≠±1时，则有
解得即m＜－1或m＞，
综上，实数m的取值范围是(－∞，－1]∪.
答案：(－∞，－1]∪
9．已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)＞0；
(2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1,3)，求实数a，b的值．
解：(1)因为f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
所以f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3，
所以原不等式可化为a2－6a－3＜0，
解得3－2＜a＜3＋2.
所以原不等式的解集为{a|3－2＜a＜3＋2}．
(2)f(x)＞b的解集为(－1,3)等价于方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，
等价于解得
10．(2018·北京朝阳统一考试)已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝(x＞0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
解：(1)依题意得y＝＝＝x＋－4.
因为x＞0，所以x＋≥2.
当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立．
所以y≥－2.
所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使得“∀x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”，
只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]恒成立”．
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．
所以即解得a≥.
则a的取值范围为.
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1．(2019·宿迁调研)若关于x的不等式ax2＋6x－a2＜0的解集是(－∞，1)∪(m，＋∞)，则实数m＝________.
解析：∵ax2＋6x－a2＜0的解集是(－∞，1)∪(m，＋∞)，
∴a＜0，且1和m是方程ax2＋6x－a2＝0的两个根，
∴a＋6－a2＝0，即a2－a－6＝0，
解得a＝－2或a＝3(舍去)．
∴不等式化为－2x2＋6x－4＜0，即x2－3x＋2＞0，
解得x＜1或x＞2，∴m＝2.
答案：2
2．(2018·扬州中学检测)已知二次函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f(x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f(x)＞1的解集为________．
解析：因为f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1(a≠0)，Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4＞0，所以函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1必有两个不同的零点．因此f(－2)f(－1)＜0，所以(6a＋5)(2a＋3)＜0.解得－＜ a＜－.又a∈Z，所以a＝－1.不等式f(x)＞1，即为－x2－x＞0，解得－1＜x＜0.
答案：(－1,0)
3．已知函数f(x)＝的定义域为R.
(1)求a的取值范围；
(2)若函数f(x)的最小值为，解关于x的不等式x2－x－a2－a＜0.
解：(1)因为函数f(x)＝的定义域为R，
所以 ax2＋2ax＋1≥0恒成立，
当a＝0时，1≥0恒成立．
当a≠0时，需满足题意，
则需解得0＜a≤1，
综上可知，a的取值范围是[0,1]．
(2)f(x)＝＝，
由题意及(1)可知0＜a≤1，
所以当x＝－1时，f(x)min＝，
由题意得，＝，
所以a＝，
所以不等式x2－x－a2－a＜0可化为x2－x－＜0.
解得－＜x＜，
所以不等式的解集为.