2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第四章第六节简单的三角恒等变换

第六节简单的三角恒等变换


1．常用的公式变形
(1)由(sin α±cos α)2＝sin2α＋cos2α±2sin αcos α＝1±sin 2α.
(2)由(sin α±cos α)2＝1±sin 2α
⇒
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；
cos2α＝，sin2α＝.
(4)sin α±cos α＝sin.
2．几个常用的恒等变换
(1)万能代换：sin α＝；cos α＝；tan α＝.
(2)恒等式：tan ＝＝.

[小题体验]
1．计算：cos2－＝________.
解析：原式＝＝＝.
答案：
2．已知sin＝，sin＝，则tan x＝________.
解析：因为sin＝，sin＝，
两式展开相加得2sin xcos ＝，　①
两式相减得2cos xsin ＝－，　 ②
①②两式相除得tan x＝－7.
答案：－7

1．在三角函数式化简时，要结合三角函数的性质进行考虑，易出现符号的差错．
2．三角恒等变换时，选择合适的公式会简化化简过程．易出现公式的不合理使用．

[小题纠偏]
1．(2019·镇江调研)已知x∈，且sin 2x＝，则sin x－cos x＝________.
解析：∵x∈，∴sin x＜cos x，
又sin 2x＝，∴sin x－cos x＝－
＝－＝－.
答案：－
2．已知sin －cos ＝－，450°＜α＜540°，则tan ＝________.
解析：已知等式两边平方得sin α＝，又450°＜α＜540°，所以cos α＝－，所以tan ＝＝2.
答案：2

　
[题组练透]
1．化简：＝________.
解析：原式＝＝2cos α.
答案：2cos α
2．化简：(0＜θ＜π)．
解：原式＝
＝cos·＝.
因为0＜θ＜π，所以0＜＜，所以cos＞0，所以原式＝－cos θ.
[谨记通法]
1．三角函数式的化简要遵循“三看”原则

2．三角函数式化简的方法
弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．
在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．
　
[锁定考向]
研究三角函数式的求值，解题的关键都是找出条件中的角与结论中的角的联系，依据函数名称的变换特点，选择合适的公式求解．
常见的命题角度有：
(1)给值求值；
(2)给角求值；
(3)给值求角．　　　 　
[题点全练]
角度一：给值求值
1．(2018·启东中学高三测试)已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－，若f(α)＝，则cos＝________.
解析：法一：f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－＝sin xcos x＋cos2x－＝sin 2x＋－＝sin 2x＋cos 2x＝sin，因为f(α)＝，所以sin＝，所以cos＝cos＝sin＝.
法二：f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－＝sin xcos x＋cos2x－＝sin 2x＋－＝ sin 2x＋cos 2x，因为f(α)＝，所以sin 2α＋cos 2α＝，
所以cos＝cos cos 2α＋sin sin 2α＝(cos 2α＋sin 2α)＝×＝.
答案：
角度二：给角求值
2．化简：sin 50°(1＋tan 10°)＝________.
解析：sin 50°(1＋tan 10°)
＝sin 50°
＝sin 50°×
＝sin 50°×
＝
＝＝＝1.
答案：1
角度三：给值求角
3．若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β＝________.
解析：因为α∈，所以2α∈，
因为sin 2α＝，所以2α∈.
所以α∈且cos 2α＝－，
又因为sin(β－α)＝，β∈，
所以β－α∈，cos(β－α)＝－，
所以cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]
＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α
＝×－×＝，
又α＋β∈，所以α＋β＝.
答案：
[通法在握]
三角函数求值的类型及解题策略
(1)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(2)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
(3)“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角．
[演练冲关]
1．已知cos＝，则cos＝________.
解析：∵cos＝sin＝，
∴cos＝1－2sin2＝1－2×2＝.
答案：
2.＝________.
解析：原式＝＝＝－.
答案：－
3．已知α∈，tan＝，那么sin 2α＋cos 2α＝________.
解析：由tan＝，知＝，
所以tan 2α＝－.
因为2α∈，所以sin 2α＝，cos 2α＝－.
所以sin 2α＋cos 2α＝－.
答案：－
　

[典例引领]
1. (2019·睢宁模拟)已知函数f(x)＝cos xcos＋sin2x－.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若x∈，f(x)＝，求cos 2x的值．
解：(1)函数f(x)＝cos xcos＋sin2 x－＝sin xcos x＋－＝sin，
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
故函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(2)∵x∈，∴2x－∈，
又f(x)＝sin＝，
∴cos＝ ＝，
∴cos 2x＝cos＝coscos－sin sin＝×－×＝.
2．已知函数f(x)＝5sin xcos x－5cos2x＋(其中x∈R)，求：
(1)函数f(x)的单调区间；
(2)函数f(x)图象的对称轴和对称中心．
解：(1)因为f(x)＝sin 2x－(1＋cos 2x)＋＝5＝5sin，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调增区间为(k∈Z)．
由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的单调减区间为(k∈Z)．
(2)由2x－＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的对称中心为(k∈Z)．
[由题悟法]
三角恒等变换在研究三角函数性质中的2个注意点
(1)三角函数的性质问题，往往都要先化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式再求解．要注意在进行此步骤之前，如果函数解析式中出现α及其二倍角、半角或函数值的平方，应根据变换的难易程度去化简，往往要利用到二倍角公式、升幂或降幂公式，把解析式统一化成关于同一个角的三角函数式．
(2)要正确理解三角函数的性质，关键是记住三角函数的图象，根据图象并结合整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期．
[即时应用]
　(2019·南通中学检测)已知函数f(x)＝cos2，g(x)＝1＋sin 2x.
(1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(2x0)的值；
(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)，x∈的值域．
解：(1)f(x)＝cos2＝，
∵x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，
∴2x0＋＝kπ(k∈Z)，∴2x0＝kπ－(k∈Z)，
∴g(2x0)＝1＋sin 4x0＝1＋sin＝.
(2)h(x)＝f(x)＋g(x)＝＋1＋sin 2x
＝＋＝＋sin，
∵x∈，∴2x＋∈，
∴sin∈，
∴h(x)＝＋sin∈.
即函数h(x)在上的值域为.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2018·东台期末)已知α∈(0，π)，tan α＝2，则cos 2α＋cos α＝________.
解析：由α∈(0，π)，tan α＝2＝，得α为锐角，
结合sin2α＋cos2α＝1，可得sin α＝，cos α＝，
∴cos 2α＋cos α＝2cos2α－1＋cos α＝2×－1＋＝.
答案：
2．(2018·苏州高三期中调研)已知tan＝2，则cos 2α＝________.
解析：cos 2α＝sin＝2sincos＝＝＝－.
答案：－
3．(2018·通州期末)已知cos＝，则sin＝________.
解析：∵cos＝，
∴sin＝sin
＝cos＝2cos2－1
＝2×2－1＝－.
答案：－
4．化简：＝________.
解析：原式＝
＝＝＝.
答案：
5．已知tan(3π－x)＝2，则＝________.
解析：由诱导公式得tan(3π－x)＝－tan x＝2，
故＝＝＝－3.
答案：－3
6．(2019·宜兴检测)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足4cos2－ cos 2(B＋C)＝，则角A的大小为________．
解析：由4cos2－cos 2(B＋C)＝，
得2(1＋cos A)－cos 2(π－A)＝，
化简得4cos2A－4cos A＋1＝0，解得cos A＝，
∵0＜A＜π，故A＝.
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2018·金陵中学检测)已知sin＝cos，则cos 2α＝________.
解析：因为sin＝cos，
所以cos α－sin α＝cos α－sin α，
即sin α＝－cos α，
所以tan α＝＝－1，
所以cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝0.
答案：0
2．(2019·苏州中学模拟)已知α∈，sin＝，则tan 2α＝________.
解析：由sin＝－cos α＝，可得cos α＝－.
又α∈，∴sin α＝，tan α＝＝－，
∴tan 2α＝＝.
答案：
3．(2018·通州期中)计算：tan 20°＋tan 40°＋tan 20°·tan 40°＝________.
解析：tan 20°＋tan 40°＋tan 20°tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°)＋tan 20°tan 40°＝－tan 20°tan 40°＋tan 20°tan 40°＝.
答案：
4．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且α，β∈，则α＋β＝________.
解析：由题意得tan α＋tan β＝－3＜0，tan αtan β＝4＞0，
所以tan(α＋β)＝＝，且tan α＜0，tan β＜0，
又α，β∈，故α，β∈，
所以α＋β∈(－π，0)，所以α＋β＝－.
答案：－
5．(2019·如东中学月考)已知cos＝，≤α≤，则cos＝________.
解析：∵≤α≤，cos＝＞0，
∴＜α＋≤，
∴sin＝－ ＝－，
∴sin α＝sin＝sin－cos＝－，
cos α＝－＝－，
∴cos 2α＝2cos2α－1＝－，sin 2α＝2sin αcos α＝，
则cos＝cos 2α－sin 2α＝－.
答案：－
6．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则tan αtan β的值为________．
解析：因为cos(α＋β)＝，
所以cos αcos β－sin αsin β＝.①
因为cos(α－β)＝，
所以cos αcos β＋sin αsin β＝.②
①＋②得cos αcos β＝.
②－①得sin αsin β＝.
所以tan αtan β＝＝.
答案：
7．若tan α＋＝，α∈，则sin＝________.
解析：由tan α＋＝，得＋＝，所以＝，所以sin 2α＝.因为α∈，所以2α∈，所以cos 2α＝－.所以sin＝sin 2αcos ＋cos 2αsin ＝×＝－.
答案：－
8．(2019·南京模拟)若tan α＋＝，α∈，则sin＋2coscos2α的值为________．
解析：∵tan α＋＝，α∈，
∴tan α＝3或tan α＝(舍去)，
则sin＋2coscos2α
＝sin 2αcos＋cos 2αsin＋·
＝sin 2α＋cos 2α＋
＝·＋·＋
＝·＋·＋
＝×＋×＋＝0.
答案：0
9．(2018·南通调研)已知sin＝，α∈.
求：(1)cos α的值；
(2)sin的值．
解：(1)因为α∈，所以α＋∈，
又sin＝，
所以cos＝－ ＝－ ＝－.
所以cos α＝cos＝coscos ＋sinsin ＝－×＋×＝－.
(2)因为α∈，cos α＝－，
所以sin α＝＝ ＝.
所以sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，
cos 2α＝2cos2α－1＝2×2－1＝－.
所以sin＝sin 2αcos －cos 2αsin ＝×－×＝－.
10．(2019·扬州调研)已知cos＝，α∈.
(1)求sin α的值；
(2)若cos β＝，β∈(0，π)，求cos(α－2β)的值．
解：(1)∵cos＝，α∈，
∴sin＝ ＝，
∴sin α＝sin＝sincos－cossin＝×－×＝.
(2)由(1)知cos α＝＝，
∵cos β＝，β∈(0，π)，∴sin β＝＝，
∴cos 2β＝2cos2β－1＝－，sin 2β＝2sin βcos β＝2××＝，
∴cos(α－2β)＝cos αcos 2β＋sin αsin 2β＝×＋×＝.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．(2018·启东高三测试)若sin 2α＝2cos，则sin 2α＝________.
解析：因为sin 2α＝2cos，所以sin22α＝4cos2，即sin22α＝4×，所以sin22α＝2(1＋sin 2α)，解得sin 2α＝1±，显然sin 2α＝1＋不成立，所以sin 2α＝1－.
答案：1－
2．化简：coscoscoscoscos＝________.
解析：原式＝－coscoscoscoscos
＝－
＝－＝＝＝.
答案：
3．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点P(－3，)．
(1)求sin 2α－tan α的值；
(2)若函数f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α，求函数g(x)＝f－2f 2(x)在区间上的值域．
解：(1)因为角α的终边经过点P(－3，)，
所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－.
所以sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－＋＝－.
(2)因为f(x)＝cos(x－α)cos α－sin(x－α)sin α＝cos x，x∈R，
所以g(x)＝cos－2cos2x＝sin 2x－1－cos 2x＝2sin－1，
因为0≤x≤，所以－≤2x－≤.
所以－≤sin≤1，所以－2≤2sin－1≤1，
故函数g(x)＝f－2f2(x)在区间上的值域是[－2,1]．