2020版新设计一轮复习数学（文）江苏专版讲义：第三章第一节导数的概念及导数的运算

第一节导数的概念及导数的运算


1．导数的概念
(1)平均变化率
一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为.
(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
①定义：
设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，此值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
②几何意义：
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
(3)函数f(x)的导函数
若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数．
2．基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)＝xα
f′(x)＝αxα－1
f(x)＝sin x
f′(x)＝cos_x
f(x)＝cos x
f′(x)＝－sin_x
f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝axln_a
f(x)＝ex
f′(x)＝
f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)
f′(x)＝
f(x)＝ln x
f′(x)＝

3．导数的运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
(2)[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C为常数)；
(3)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
(4)′＝(g(x)≠0)．
[小题体验]
1．设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0的值为________．
解析：由f(x)＝xln x得f′(x)＝ln x＋1.
根据题意知ln x0＋1＝2，所以ln x0＝1，因此x0＝e.
答案：e
2．曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为________．
答案：2x－y＋1＝0
3．已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝_____.

解析：由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，所以f′(3)＝－，因为g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×＝0.
答案：0

1．利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(xα)′＝αxα－1与指数函数的求导公式(ax)′＝axln a混淆．
2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．
[小题纠偏]
1．函数y＝xcos x－sin x的导数为________．
解析：y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝x′cos x＋x(cos x)′－cos x＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.
答案：－xsin x
2．已知直线y＝－x＋1是函数f(x)＝－·ex图象的切线，则实数a＝________.
解析：设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝－·e＝－1，
所以e＝a，又－·e＝－x0＋1，所以x0＝2，a＝e2.
答案：e2
3．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a＝________.
解析：因为y＝x3，所以y′＝3x2，设过(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x)，则在该点处的切线斜率为k＝3x，所以切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x，又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝，当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－，当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切，可得a＝－1.
答案：－1或－

　
[题组练透]
求下列函数的导数．
(1)f(x)＝x3＋x；
(2)f(x)＝sin x＋x；
(3)f(x)＝excos x；
(4)f(x)＝－ln x.
解：(1)f′(x)＝(x3＋x)′＝(x3)′＋(x)′＝3x2＋1.
(2)f′(x)＝cos x＋1.
(3)f′(x)＝excos x－exsin x＝ex(cos x－sin x)．
(4)f′(x)＝－＝.
[谨记通法]
求函数导数的3种原则



　
[锁定考向]
导数的几何意义是把函数的导数与曲线的切线联系在一起，一般不单独考查，在填空题中会出现，有时也体现在解答题中，难度偏小．
常见的命题角度有：
(1)求切线方程；
(2)求切点坐标；
(3)求参数的值(范围)．　　　 　
[题点全练]
角度一：求切线方程
1．(2019·泰州检测)若函数f(x)＝2在点(a，f(a))处的切线与直线2x＋y－4＝0垂直，则该切线方程为________．
解析：∵切线与直线2x＋y－4＝0垂直，
∴切线的斜率是.
∵f(x)＝2，∴f′(x)＝x，∴f′(a)＝a＝.
解得a＝4，则f(4)＝4，故函数f(x)在点(4,4)处的切线方程为x－2y＋4＝0.
答案：x－2y＋4＝0
2．已知曲线y＝与y＝的交点为C，两曲线在点C处的切线分别为l1，l2，则切线l1，l2与y轴所围成的三角形的面积为________．
解析：由解得
即C(4,2)，由y＝，得y′＝()′＝，
则直线l1的斜率k1＝，
∴l1：y＝x＋1.
同理可得l2：y＝－x＋4，
如图，易知S△ABC＝×3×4＝6，即所求的面积为6.
答案：6


角度二：求切点坐标
3．(2019·扬州模拟)曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为________．
解析：f′(x)＝3x2－1，令f′(x)＝2，则3x2－1＝2，解得x＝1或x＝－1，所以P(1,3)或(－1,3)，经检验，点(1,3)，(－1,3)均不在直线y＝2x－1上，符合题意．
答案：(1,3)和(－1,3)
角度三：求参数的值(范围)
4．(2018·常州高三期末)已知函数f(x)＝bx＋ln x，其中b∈R.若过原点且斜率为k的直线与曲线y＝f(x)相切，则k－b的值为________．
解析：设切点为(x0，bx0＋ln x0)，
f′(x)＝b＋，则k＝b＋，
故切线方程为y－(bx0＋ln x0)＝(x－x0)，
将(0,0)代入，可得x0＝e，则k＝b＋，
∴k－b＝.
答案：
[通法在握]
与切线有关问题的处理策略
(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值，k＝f′(x0)．
(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1))，即解方程f′(x1)＝k.
(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0))，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.
[演练冲关]
1．曲线f(x)＝2x－ex与y轴的交点为P，则曲线在点P处的切线方程为________．
解析：曲线f(x)＝2x－ex与y轴的交点为(0，－1)．
且f′(x)＝2－ex，所以f′(0)＝1.
所以所求切线方程为y＋1＝x，
即x－y－1＝0.
答案：x－y－1＝0
2．(2018·南京、盐城高三二模)在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝(m＞0)在x＝1处的切线为l，则点(2，－1)到直线l的距离的最大值为________．
解析：把x＝1代入y＝，得y＝，
则切线l过点.
∵y′＝－，
∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝－.
∴切线l的方程为y－＝－(x－1)，
即mx＋4y－3m＝0.
∴点(2，－1)到直线l的距离d＝＝＝＝＝＝＝ ≤ ＝，
当且仅当m＝，即m＝4时取“＝”，
故所求最大值为.
答案：
3．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a，b的值；
(2)若曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围．
解：f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)．
(1)由题意得
解得b＝0，a＝－3或a＝1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在两条垂直于y轴的切线，
所以关于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有两个不相等的实数根，
所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0，
即4a2＋4a＋1＞0，
所以a≠－.
所以a的取值范围为∪.




一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2019·常州调研)函数f(x)＝ex＋x2＋sin x的导函数f′(x)＝________.
答案：ex＋2x＋cos x
2．(2018·镇江调研)函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于________．
解析：由f(x)＝(x＋1)2(x－1)＝x3＋x2－x－1，得f′(x)＝3x2＋2x－1，
所以f′(1)＝3＋2－1＝4.
答案：4
3．(2018·苏州暑假测试)曲线y＝ex在x＝0处的切线方程为____________．
解析：因为y′＝ex，所以y＝ex在x＝0处的切线斜率k＝e0＝1，
因此切线方程为y－1＝1×(x－0)，即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
4．已知函数f(x)＝cos x，则f(π)＋f′＝________.
解析：因为f′(x)＝－cos x＋(－sin x)，
所以f(π)＋f′＝－＋·(－1)＝－.
答案：－
5．(2019·苏州调研)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋b(a，b∈R)图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是________．
解析：∵f′(x)＝－3x2＋2ax＝－32＋，
当x＝时，f′(x)取到最大值.
∴＜1，解得－＜a＜.
答案：(－，)
6．(2018·苏北四市调研)已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．
解析：因为f(x)＝x3－2x2＋x＋6，
所以f′(x)＝3x2－4x＋1，所以f′(－1)＝8，
故切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0，
令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－，
所以所求面积S＝××10＝.
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．设函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(2)＝________.
解析：因为f(x)＝x2＋2xf′(1)，所以f′(x)＝2x＋2f′(1)，令x＝1，得f′(1)＝2＋2f′(1)，解得f′(1)＝－2，则f′(x)＝2x－4，所以f′(2)＝2×2－4＝0.
答案：0
2．已知f(x)＝ax4＋bcos x＋7x－2.若f′(2 018)＝6，则f′(－2 018)＝________.
解析：因为f′(x)＝4ax3－bsin x＋7.
所以f′(－x)＝4a(－x)3－bsin(－x)＋7
＝－4ax3＋bsin x＋7.
所以f′(x)＋f′(－x)＝14.
又f′(2 018)＝6，
所以f′(－2 018)＝14－6＝8.
答案：8
3．(2019·淮安调研)曲线y＝1－在点(－1，－1)处的切线方程为________．
解析：因为y＝1－＝，
所以y′＝＝，y′
所以曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2，
所以所求切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
答案：y＝2x＋1
4．(2018·无锡期末)在曲线y＝x－(x＞0)上一点P(x0，y0)处的切线分别与x轴，y轴交于点A，B，O是坐标原点，若△OAB的面积为，则x0＝________.
解析：因为y′＝1＋，切点P，x0＞0，
所以切线斜率k＝y′|x＝x0＝1＋，
所以切线方程是y－＝(x－x0)．
令y＝0，得x＝，即A；
令x＝0，得y＝－，即B.
所以S△OAB＝··＝＝，解得x0＝.
答案：
5．已知f(x)＝ln x，g(x)＝x2＋mx＋(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m＝________.
解析：因为f′(x)＝，
所以直线l的斜率为k＝f′(1)＝1，
又f(1)＝0，
所以切线l的方程为y＝x－1.
g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，
则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，y0＝x＋mx0＋，m＜0，
解得m＝－2.
答案：－2
6．(2018·淮安高三期中)已知函数f(x)＝x3.设曲线y＝f(x)在点P(x1，f(x1))处的切线与该曲线交于另一点Q(x2，f(x2))，记f′(x)为函数f(x)的导函数，则的值为________．
解析：由f′(x)＝3x2，得f′(x1)＝3x，所以曲线y＝f(x)在点P(x1，x)处的切线方程为y＝3xx－2x，由解得Q(－2x1，－8x)，所以x2＝－2x1，所以＝＝.
答案：
7．(2019·南通一调)已知两曲线f(x)＝2sin x，g(x)＝acos x，x∈相交于点P.若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为________．
解析：f′(x)＝2cos x，g′(x)＝－asin x．设点P的横坐标为x0，则f(x0)＝g(x0)，f′(x0)·g′(x0)＝－1，即2sin x0＝acos x0，(2cos x0)·(－asin x0)＝－1，所以4sin2x0＝1.即 sin x0＝±，因为x0∈，所以sin x0＝，cos x0＝，所以a＝.
答案：
8．曲边梯形由曲线y＝x2＋1，y＝0，x＝1，x＝2所围成，过曲线y＝x2＋1(x∈[1,2])上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为________．
解析：设P(x0，x＋1)，x0∈[1,2]，则易知曲线y＝x2＋1在点P处的切线方程为y－(x＋1)＝2x0(x－x0)，所以y＝2x0(x－x0)＋x＋1，设g(x)＝2x0(x－x0)＋x＋1，则g(1)＋g(2)＝－2x＋6x0＋2，所以S普通梯形＝×1＝－x＋3x0＋1＝－2＋，所以P点坐标为时，S普通梯形最大．
答案：
9．(2019·盐城中学月考)求下列函数的导数：
(1)y＝x2(ln x＋sin x)；
(2)y＝；
(3)y＝ln x.
解：(1)y′＝2x(ln x＋sin x)＋x2＝2xln x＋2xsin x＋x＋x2cos x.
(2)y′＝
＝.
(3)y′＝ln x＋·＝.
10．已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.
(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；
(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．
解：(1)因为f′(x)＝3x2－8x＋5，所以f′(2)＝1，又f(2)＝－2，
所以曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，
即x－y－4＝0.
(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)，
因为f′(x0)＝3x－8x0＋5，
所以切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，
又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)，
所以x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，
整理得(x0－2)2(x0－1)＝0，解得x0＝2或1，
所以经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0或y＋2＝0.
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1．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋在x＝0处的切线与曲线g(x)＝－ln x相切，则a的值为________．
解析：由f(x)＝x3＋ax＋得，
f′(x)＝3x2＋a，f′(0)＝a，f(0)＝，
所以曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为y－＝ax.
设直线y－＝ax与曲线g(x)＝－ln x相切于点(x0，－ln x0)，
g′(x)＝－，
所以
将②代入①得ln x0＝，
所以x0＝e，
所以a＝－＝－e.
答案：－e
2．(2018·启东中学高三测试)已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线l：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.
(1)求a的值；
(2)是否存在实数k，使直线l既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．
解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，
因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，解得a＝－2.
(2)存在，理由如下：
由已知得，直线l恒过定点(0,9)，
若直线l是曲线y＝g(x)的切线，
则设切点为(x0,3x＋6x0＋12)．
因为g′(x0)＝6x0＋6，
所以切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，
将(0,9)代入切线方程，解得x0＝±1.
当x0＝－1时，切线方程为y＝9；
当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.
由(1)知f′(x)＝－6x2＋6x＋12，
①由f′(x)＝0，得－6x2＋6x＋12＝0，
解得x＝－1或x＝2.
当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；
当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9，
所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.
②由f′(x)＝12，得－6x2＋6x＋12＝12，
解得x＝0或x＝1.
在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；
在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10.
所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.
综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.