2020版新设计一轮复习数学（文）江苏专版讲义：第十一章第三节古典概型

第三节古典概型


1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
(1)
(2)概率计算公式：
P(A)＝.
[小题体验]
1．同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次，则至少有两枚硬币正面向上的概率为________．
解析：同时抛掷三枚质地均匀、大小相同的硬币一次所得的结果有8种，有两枚硬币正面向上的结果有3种，有三枚硬币正面向上的结果有1种，则至少有两枚硬币正面向上的结果有4种，从而至少有两枚硬币正面向上的概率P＝＝.
答案：
2．从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．
解析：两数之和等于5有两种情况(1,4)和(2,3)，总的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种．所以所求概率P＝＝.
答案：
3．小明忘记了微信登录密码的后两位，只记得最后一位是字母A，a，B，b中的一个，另一位是数字4,5,6中的一个，则小明输入一次密码能够成功登录的概率是________．
解析：开机密码有(4，A)，(4，a)，(4，B)，(4，b)，(5，A)，(5，a)，(5，B)，(5，b)，(6，A)，(6，a)，(6，B)，(6，b)，共12种可能，所以小明输入一次密码能够成功登录的概率是.
答案：

在计算古典概型中试验的所有结果数和事件发生结果时，易忽视它们是否是等可能的．
[小题纠偏]
1．从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是________．
解析：由题意得，所求概率P＝＝.
答案：
2．把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，记第一次出现的点数为a，第二次出现的点数为b，直线l1：ax＋by＝4，直线l2：x＋2y＝2，则l1∥l2的概率为________．
解析：把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，共有36种结果．要使直线l1：ax＋by＝4与直线l2：x＋2y＝2平行，则有a＝1，b＝2或a＝3，b＝6，即(1,2)，(3,6)，共2种结果，所以两条直线平行的概率是＝.
答案：

　
[题组练透]
1．抛一枚硬币3次，恰好2次正面向上的概率为________．
解析：抛一枚硬币3次的基本事件有8种，恰好2次正面向上的基本事件有3种，则恰好2次正面向上的概率为.
答案：
2．(2019·启东中学月考)现有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为________．
解析：从5支不同颜色的彩笔中任取2支的取法有10种，取到含有红色彩笔的取法有4种，故所求概率P＝＝.
答案：
3．(2018·苏州测试)现有五条线段，其长度分别为2,3,4,5,7.现任取三条，则这三条线段可以构成三角形的概率是________．
解析：从长度分别为2,3,4,5,7的五条线段中任取三条，有(2,3,4)，(2,3,5)，(2,3,7)，(2,4,5)，(2,4,7)，(2,5,7)，(3,4,5)，(3,4,7)，(3,5,7)，(4,5,7)共10个基本事件，记“这三条线段可以构成三角形”为事件A，则事件A包含(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，(3,5,7)，(4,5,7)共5个基本事件，所以这三条线段可以构成三角形的概率是.
答案：
4．从－＝1(其中m，n∈{－1,2,3})所表示的圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)方程中任取一个，则此方程是焦点在x轴上的双曲线方程的概率为________．
解析：当方程－＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线时，不能有m＜0，n＞0，所以方程－＝1表示椭圆、双曲线、抛物线等圆锥曲线的(m，n)有(2，－1)，(3，－1)，(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，(－1，－1)，共7种，其中表示焦点在x轴上的双曲线时，则m＞0，n＞0，有(2,2)，(3,2)，(2,3)，(3,3)，共4种，所以所求概率P＝.
答案：
[谨记通法]
1．求古典概型概率的步骤
(1)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
(2)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
(3)利用公式P(A)＝，求出事件A的概率．
2．基本事件个数的确定方法
方法
适用条件
列表法
此法适合于从多个元素中选定两个元素的试验，也可看成是坐标法
树状图法
树状图是进行列举的一种常用方法，适合于有顺序的问题及较复杂问题中基本事件数的探求

　
[锁定考向]
古典概型常与平面向量、解析几何、统计等知识交汇命题，命题的角度新颖，考查知识全面，能力要求较高．
常见的命题角度有：
(1)古典概型与平面向量相结合；
(2)古典概型与直线、圆相结合；
(3)古典概型与统计相结合．　　　 　
[题点全练]
角度一：古典概型与平面向量相结合
1．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数a，从集合{1,3,5}中随机抽取一个数b，则向量m＝(a，b)与向量n＝(1，－1)垂直的概率为________．
解析：由题意可知m＝(a，b)所有基本事件有4×3＝12种情况，m⊥n，即m·n＝0.
所以a×1＋b×(－1)＝0，即a＝b，
满足条件的有(3,3)，(5,5)，共2种情况，所以所求概率为.
答案：
角度二：古典概型与直线、圆相结合
2．(2019·扬州调研)已知A，B∈{－3，－1,1,2}且A≠B，则直线Ax＋By＋1＝0的斜率小于0的概率为________．
解析：由题意知，所有的基本事件(A，B)为(－3，－1)，(－3,1)，(－3,2)，(－1,1)， (－1,2)，(1,2)，(－1，－3)，(1，－3)，(2，－3)，(1，－1)，(2，－1)，(2,1)，共12种，其中(－3，－1)，(1,2)，(－1，－3)，(2,1)这4种能使直线Ax＋By＋1＝0的斜率小于0，所以所求的概率P＝＝.
答案：
3．将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．
解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足≤ ，即a≤b，则当a＝1时，b＝1,2,3,4,5,6，共有6种，当a＝2时，b＝2,3,4,5,6，共5种，同理当a＝3时，有4种，a＝4时，有3种，a＝5时，有2种，a＝6时，有1种，故共6＋5＋4＋3＋2＋1＝21种，因此所求的概率等于＝.
答案：
角度三：古典概型与统计相结合
4．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n(n＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：
编号n
1
2
3
4
5
成绩xn
70
76
72
70
72

(1)求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s.
(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率．
解：(1)因为这6位同学的平均成绩为75分，
所以(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90,
这6位同学成绩的方差
s2＝[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，
所以标准差s＝7.
(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种结果，
恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种结果，故所求的概率P＝＝，
即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为.
[通法在握]
求解古典概型的交汇问题，关键是把相关的知识转化为事件，然后利用古典概型的有关知识解决，其解题流程为：

[演练冲关]
1．某同学同时掷两颗骰子，得到点数分别为a，b，则椭圆＋＝1的离心率e＞的概率是________．
解析：同时掷两颗骰子，得到的点数所形成的数组共有36种情况，当a＞b时，e＝＞⇒＜⇒a＞2b，符合a＞2b的情况有：当b＝1时，有a＝3,4,5,6四种情况；
当b＝2时，有a＝5,6两种情况．总共有6种情况，则概率是＝.同理当a＜b时，e＞的概率也为.
综上可知e＞的概率为.
答案：
2．(2018·苏北四市联考)某校高三学生体检后，为了解高三学生的视力情况，该校从高三六个班的300名学生中以班为单位(每班学生50人)，每班按随机抽样方法抽取了8名学生的视力数据．其中高三(1)班抽取的8名学生的视力数据与人数见下表：
视力数据
4.0
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
5.0
5.1
5.2
5.3
人数




2

2

2
1

1


(1)用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值；
(2)已知其余五个班学生视力的平均值分别为4.3,4.4，4.5，4.6,4.8.若从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，求抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率．
解：(1)高三(1)班学生视力的平均值为
＝4.7，
故用上述样本数据估计高三(1)班学生视力的平均值为4.7.
(2)从这六个班中任意抽取两个班学生视力的平均值作比较，所有的取法共有15种，而满足抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的取法有：(4.3,4.5)，(4.3,4.6)，(4.3,4.7)，(4.3,4.8)，(4.4,4.6)，(4.4,4.7)，(4.4,4.8)，(4.5,4.7)，(4.5,4.8)，(4.6,4.8)，共有10种，故抽取的两个班学生视力的平均值之差的绝对值不小于0.2的概率为P＝＝.

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．从2个黄球，3个红球中随机取出两个球，则两球颜色不同的概率是________.
解析：由列举法得，基本事件共10个，满足条件的事件共6个，所以概率为＝.
答案：
2．(2018·苏锡常镇一模)从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，则这两个数的和为3的倍数的概率为________．
解析：从集合{1,2,3,4}中任取两个不同的数，基本事件总数n＝6，这两个数的和为3的倍数包含的基本事件有(1,2)，(2,4)，共2个，所以这两个数的和为3的倍数的概率P＝＝.
答案：
3．(2019·盐城模拟)从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取出2个数，则所取2个数的和能被3整除的概率为________．
解析：从1,2,3,4,5,6这六个数中一次随机地取出2个数，基本事件总数n＝15，所取2个数的和能被3整除包含的基本事件有(1,2)，(1,5)，(2,4)，(3,6)，(4,5)，共5个，所以所取2个数的和能被3整除的概率P＝＝.
答案：
4．(2018·苏北四市一模)现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是________.
解析：把这三张卡片排序有“中国梦”，“中梦国”，“国中梦”，“国梦中”，“梦中国”，“梦国中”，共有6种，能组成“中国梦” 的只有1种，故所求概率为.
答案：
5．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋ni)(n－mi)为实数的概率为________．
解析：因为(m＋ni)(n－mi)＝2mn＋(n2－m2)i，所以要使其为实数，须n2＝m2，即m＝n.由已知得，事件的总数为36，m＝n，有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)共6个，所以所求的概率P＝＝.
答案：
6．(2018·苏州期末)连续2次抛掷一枚骰子(六个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6)，则事件“两次向上的数字之和等于7”发生的概率为________．
解析：设基本事件为(a，b)，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，共有6×6＝36个．满足a＋b＝7的解有6组：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，所以P＝＝.
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2018·南通调研)100张卡片上分别写有1,2,3，…，100.从中任取1张，则这张卡片上的数是6的倍数的概率为________．
解析：从100张分别写有1,2,3，…，100的卡片中任取1张，基本事件总数n＝100，所取这张卡片上的数是6的倍数包含的基本事件有1×6,2×6，…，16×6，共16个，所以所取卡片上的数是6的倍数的概率为＝.
答案：
2．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为________．
解析：如图，在正六边形ABCDEF的6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF，BCDE，ABCF，CDEF，ABCD，ADEF，共6种情况，故构成的四边形是梯形的概率P＝＝.
答案：
3．(2019·张家港模拟)若先后抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，点P(m，n)落在区域|x－2|＋|y－2|≤2内的概率为________．
解析：由题意可得，基本事件n＝36.当m＝1时，1≤n≤3，故符合条件的基本事件有3个；当m＝2 时，1≤n≤4，故符合条件的基本事件有4个；当m＝3时，1≤n≤3，故符合条件的基本事件有3个；当m＝4时，n＝2，故符合条件的基本事件有1个．故符合条件的基本事件共11个，所以所求概率为.
答案：
4．(2018·南京一模)甲盒子中有编号分别为1,2的2个乒乓球，乙盒子中有编号分别为3,4,5,6的4个乒乓球．现分别从两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为________．
解析：由题意得，从甲、乙两个盒子中随机地各取出1个乒乓球，共有2×4＝8种情况，编号之和大于6的有(1,6)，(2,5)，(2,6)，共3种，所以取出的乒乓球的编号之和大于6的概率为.
答案：
5．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a＞b，b＜c时，称该三位自然数为“凹数”(如213,312等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是________．
解析：由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理由1,2,4组成的三位自然数共6个；由1,3,4组成的三位自然数也是6个；由2,3,4组成的三位自然数也是6个．所以共有4×6＝24个．当b＝1时，有214,213,312,314,412,413，共6个“凹数”；当b＝2时，有324,423，共2个“凹数”．所以这个三位数为“凹数”的概率P＝＝.
答案：
6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b2x＋1，若a是从1,2,3三个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为________．
解析：对函数f(x)求导可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要满足题意需x2＋2ax＋b2＝0有两个不等实根，即Δ＝4(a2－b2)＞0，即a＞b.又(a，b)的取法共有9种，其中满足a＞b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6种，故所求的概率P＝＝.
答案：
7．有红心1,2,3,4和黑桃5这五张扑克牌，现从中随机抽取两张，则抽到的牌均为红心的概率是________．
解析：从红心1,2,3,4和黑桃5这五张扑克牌中随机抽取两张，基本事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种不同的取法，
抽到的牌均为红心的事件为：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6种不同 的取法，
则所求的概率P＝＝.
答案：
8．现有7名数理化成绩优秀者，分别用A1，A2，A3，B1，B2，C1，C2表示，其中A1，A2，A3的数学成绩优秀，B1，B2的物理成绩优秀，C1，C2的化学成绩优秀．从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则A1和B1不全被选中的概率为________．
解析：从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个基本事件为：(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)．
设“A1和B1不全被选中”为事件N，则其对立事件表示“A1和B1全被选中”，由于＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)}，所以P()＝＝，由对立事件的概率计算公式得P(N)＝1－P()＝1－＝.
答案：
9．(2019·南通调研)某奶茶公司对一名员工进行测试以便确定其考评级别．公司准备了两种不同的奶茶共5杯，其颜色完全相同，并且其中3杯为A奶茶，另外2杯为B奶茶，公司要求此员工一一品尝后，从5杯奶茶中选出2杯奶茶．若该员工2杯都选A奶茶，则评为优秀；若2杯选中1杯A奶茶，则评为良好；否则评为及格．假设此人对A和B两种奶茶没有鉴别能力．
(1)求此人被评为优秀的概率；
(2)求此人被评为良好及以上的概率．
解：(1)假设3杯A奶茶为A1，A2，A3,2杯B奶茶为B1，B2，
则从五杯奶茶中任选两杯的所有可能结果为：
A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10种结果.
记“此人被评为优秀”为事件M，
则事件M包含的所有结果为：A1A2，A1A3，A2A3，共3种结果，
所以此人被评为优秀的概率P(M)＝.
(2)记“此人被评为良好及以上”为事件N，
则事件N包含的所有结果为：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，共9种结果，
所以此人被评为良好及以上的概率P(N)＝.
10．一个均匀的正四面体四个面上分别涂有1,2,3,4四个数字，现随机投掷两次，正四面体面朝下的数字分别为b，c.
(1)记z＝(b－3)2＋(c－3)2，求z＝4的概率；
(2)若方程x2－bx－c＝0至少有一根a∈{1,2,3,4}，就称该方程为“漂亮方程”，求方程为“漂亮方程”的概率．
解：(1)因为是投掷两次，因此基本事件(b，c)共有4×4＝16种．
当z＝4时，(b，c)的所有取值为(1,3)，(3,1)，共2种，所以z＝4的概率P＝＝.
(2)①若方程一根为x＝1，则1－b－c＝0，即b＋c＝1，不成立．
②若方程一根为x＝2，则4－2b－c＝0，即2b＋c＝4，所以b＝1，c＝2.
③若方程一根为x＝3，则9－3b－c＝0，即3b＋c＝9，所以b＝2，c＝3.
④若方程一根为x＝4，则16－4b－c＝0，即4b＋c＝16，所以b＝3，c＝4.
综上所述，(b，c)的所有可能取值为(1,2)，(2,3)，(3,4)．
所以方程为“漂亮方程”的概率P＝.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．从集合A＝{－2，－1,2}中随机选取一个数记为a，从集合B＝{－1，1,3}中随机选取一个数记为b，则直线ax－y＋b＝0不经过第四象限的概率为________．
解析：从集合A，B中随机选取后组合成的数对有(－2，－1)，(－2,1)，(－2,3)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,3)，(2，－1)，(2,1)，(2,3)，共9种，要使直线ax－y＋b＝0不经过第四象限，则需a＞0，b＞0，共有2种满足，所以所求概率P＝.
答案：
2．设集合A＝{0,1,2}，B＝{0,1,2}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上一个点P(a，b)，设“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(0≤n≤4，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则n的值为________．
解析：由题意知，点P的坐标的所有情况为(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，共9种．
当n＝0时，落在直线x＋y＝0上的点的坐标为(0,0)，共1种；
当n＝1时，落在直线x＋y＝1上的点的坐标为(0,1)和(1,0)，共2种；
当n＝2时，落在直线x＋y＝2上的点的坐标为(1,1)，(2,0)，(0,2)，共3种；
当n＝3时，落在直线x＋y＝3上的点的坐标为(1,2)，(2,1)，共2种；
当n＝4时，落在直线x＋y＝4上的点的坐标为(2,2)，共1种．
因此，当Cn的概率最大时，n＝2.
答案：2
3.(2019·昆山检测)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
解：用数对(x，y)表示儿童参加活动两次记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应，因为S中元素个数是4×4＝16，所以基本事件总数n＝16.
(1)记“xy≤3”为事件A.
则事件A包含的基本事件共有5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.
(2)记“xy≥8”为事件B，“3＜xy＜8”为事件C.则事件B包含的基本事件共有6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以P(B)＝＝.事件C包含的基本事件共有5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，所以P(C)＝.
因为＞，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．