2020版新设计一轮复习数学（文）江苏专版讲义：第十章第二节复数

第二节复__数1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a＋bi为实数；若b≠0，则a＋bi为虚数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数．(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．(4)复数的模：向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝.2．复数的几何意义(1)复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量 .3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．  [小题体验]1．(2019·徐州调研)若复数z满足i·z＝1＋2i(其中i为虚数单位)，则z的模为________．解析：由i·z＝1＋2i，得z＝＝＝2－i，∴|z|＝.答案：2．若复数z＝(i是虚数单位)，则z的共轭复数为________．解析：因为z＝＝＝1＋2i，所以＝1－2i.答案：1－2i3．四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是1＋3i，－i,2＋i，则点D对应的复数为________．答案：3＋5i1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．2．两个虚数不能比较大小．3．注意不能把实数集中的所有运算法则和运算性质照搬到复数集中来．例如，若z1，z2∈C，z＋z＝0，就不能推出z1＝z2＝0；z2＜0在复数范围内有可能成立．[小题纠偏]1．设复数z1＝2－i，z2＝a＋2i(i是虚数单位，a∈R)，若z1·z2∈R，则a＝________.解析：依题意，复数z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i是实数，因此4－a＝0，a＝4.答案：42．设i是虚数单位，若复数(2＋ai)i的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．解析：因为(2＋ai)i＝－a＋2i，又其实部与虚部互为相反数，所以－a＋2＝0，即a＝2.答案：2　 [题组练透]1．(2018·扬州期末)已知i是虚数单位，则复数z＝的共轭复数是________．解析：∵z＝＝＝－i，∴＝＋i.答案：＋i 2．(2019·盐城模拟)设复数z＝(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a的值为________．解析：法一：复数z＝＝＝＋i为纯虚数，则＝0，≠0，故a＝－1.法二：设z＝＝bi，b∈R，b≠0，则a＋i＝bi(1＋i)＝－b＋bi，故得a＝－1.答案：－13．(易错题)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为，则|(1－z)·|＝________.解析：依题意得(1－z)·＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，则|(1－z)·|＝|－3＋i|＝＝.答案：4．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，则z2＝________.解析：(z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.因为z1·z2∈R，所以a＝4.所以z2＝4＋2i.答案：4＋2i[谨记通法]求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．　  [题组练透]1．(2019·淮安模拟)复数z＝＋3i在复平面内对应的点所在的象限为________．解析：z＝＋3i＝＋3i＝＋3i＝2－i＋3i＝2＋2i，故z在复平面内对应的点在第一象限．答案：第一象限2．在复平面内与复数z＝所对应的点关于实轴对称的点为A，则A对应的复数为________．解析：因为z＝＝＝i(1－i)＝1＋i，所以A点坐标为(1，－1)，其对应的复数为1－i.答案：1－i3．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是________．解析：因为z＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在复平面内对应的点为(a＋1,1－a)，又此点在第二象限，所以解得a＜－1.答案：(－∞，－1)4．已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________．解析：因为|z－2|＝＝，所以(x－2)2＋y2＝3.由图可知max＝＝.答案：[谨记通法]对复数几何意义的理解及应用(1)复数z、复平面上的点Z及向量相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔.(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．　[题组练透]1．(2019·赣榆检测)复数z满足(1＋i)z＝|2i|(i为虚数单位)，则z＝________.解析：由(1＋i)z＝|2i|，得z＝＝＝1－i.答案：1－i2．(2018·苏州测试)已知＝3＋i(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝________.解析：因为＝3＋i，所以a＋bi＝(3＋i)(2－i)＝7－i，所以a＝7，b＝－1，所以a＋b＝6.答案：63．已知复数z＝，是z的共轭复数，则z·＝________.解析：因为z＝＝＝＝＝＝－＋i，故＝－－i，所以z·＝＝＋＝.答案：4．(2018·江苏信息卷)已知复数z＝(b∈R)的实部和虚部相等，则z2 018＝________.解析：复数z＝＝－b－i，因为复数的实部和虚部相等，所以b＝1，所以z2 018＝(－1－i)2 018＝(2i)1 009＝21 009i.答案：21 009i[谨记通法]复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．[提醒]　在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度．(1)(1±i)2＝±2i；＝i；＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．若z＝3－2i，则＝________.解析：由z＝3－2i，得＝3＋2i.则＝＝＝＋i.答案：＋i2．(2018·淮安调研)复数z＝i(1－2i)(i是虚数单位)的实部为________．解析：因为z＝i(1－2i)＝2＋i，所以复数z的实部为2.答案：23．(2018·泰州中学高三学情调研)已知复数z＝(a－i)(1＋i)(a∈R，i是虚数单位)是实数，则a＝________.解析：因为z＝(a－i)(1＋i)＝a＋1＋(a－1)i，所以a－1＝0，所以a＝1.答案：14．(2019·徐州调研)已知(1＋3i)(a＋bi)＝10i，其中i为虚数单位，a，b∈R，则ab的值为________．解析：∵(1＋3i)(a＋bi)＝10i，∴a－3b＋(3a＋b－10)i＝0，∴a－3b＝3a＋b－10＝0，解得a＝3，b＝1，则ab＝3.答案：35．(2018·苏州一调)若复数(a＋i)2对应的点在y轴的负半轴上(其中i是虚数单位)，则实数a的值是________．解析：因为(a＋i)2＝a2－1＋2ai，由条件得从而a＝－1.答案：－16．已知复数z满足(1＋i)z＝i，其中i为虚数单位，则复数z的实部为________．解析：因为(1＋i)z＝i，所以z＝＝＝，所以z的实部为.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·南京名校联考)若i是虚数单位，复数z满足(1－i)z＝1，则|2z－3|＝________.解析：由(1－i)z＝1得z＝＝，则|2z－3|＝|－2＋i|＝.答案：2．(2019·常熟高三学情调研)已知i为虚数单位，则复数z＝的共轭复数对应的点位于第________象限．解析：∵z＝＝＝1＋i，∴＝1－i.则对应的点的坐标为(1，－1)，位于第四象限．答案：四3．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0的复数z的共轭复数在复平面内对应的点在第________象限．解析：由题意得，2zi－[－i(1＋i)]＝0，则z＝＝－－i，所以＝－＋i，其在复平面内对应的点在第二象限．答案：二4．(2019·金陵中学检测)若z＝，则z100＋z50＋1的值是________．解析：∵z＝，∴z2＝2＝－i.又∵i2＝－1，i3＝－i，i4＝1，∴z100＋z50＋1＝i50－i25＋1＝－i.答案：－i5．若复数z满足(z－1)i＝－1＋i，其中i是虚数单位，则复数z的模是________．解析：因为z＝1＋＝2＋i，所以|z|＝＝.答案：6．已知复数z满足：(1－i)z＝4＋2i(i为虚数单位)，则z的虚部为________．解析：由(1－i)z＝4＋2i，得z＝＝＝1＋3i，∴z的虚部为3.答案：37．已知复数z满足＝i(其中i是虚数单位)，则|z|＝________.解析：由＝i知，z＋2＝zi－2i，即z＝，所以|z|＝＝＝2.答案：28．(2019·苏州一模)已知i是虚数单位，复数的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．解析：∵＝＝＋i的实部与虚部互为相反数，∴＋＝0，即a＝－3.答案：－39．(2018·常州期末)已知x＞0，若(x－i)2是纯虚数(其中i为虚数单位)，则x＝________.解析：因为(x－i)2＝x2－2xi＋i2＝x2－1＋2xi为纯虚数，所以解得x＝1.答案：110．(2018·南京、盐城二模)若复数z满足z(1－i)＝2i(i是虚数单位)，是z的共轭复数，则z·＝________.解析：因为z·＝|z|2，且|z|＝＝＝，所以z·＝2.答案：211．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－4i，它们在复平面上对应的点分别为A，B，C，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，求λ＋μ的值．解：由条件得＝(3，－4)，＝(－1,2)，＝(1，－1)，根据＝λ＋μ得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以解得所以λ＋μ＝1.12．计算：(1)；(2)；(3)＋；(4).解：(1)＝＝－1－3i.(2)＝＝＝＝＋i.(3)＋＝＋＝＋＝－1.(4)＝＝＝＝－－i.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·扬州期末)若复数(a－2i)(1＋3i)是纯虚数，则实数a的值为________．解析：∵(a－2i)(1＋3i)＝(a＋6)＋(3a－2)i是纯虚数，∴即a＝－6.答案：－62．已知复数z1＝cos 15°＋sin 15°i和复数z2＝cos 45°＋sin 45°i，则z1·z2＝________.解析：z1·z2＝(cos 15°＋sin 15°i)(cos 45°＋sin 45°i)＝(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＋  (sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°)i＝cos 60°＋sin 60°i＝＋i.答案：＋i3．(2019·淮安调研)已知复数z＝1－2i(i为虚数单位)．(1)若z·z0＝2z＋z0，求复数z0的共轭复数；(2)若z是关于x的方程x2－mx＋5＝0的一个虚根，求实数m的值．解：(1)∵复数z＝1－2i，z·z0＝2z＋z0，∴z0(z－1)＝2z，∴z0＝＝＝2＋i，∴复数z0的共轭复数 ＝2－i.(2)∵复数z＝1－2i是关于 x 的方程x2－mx＋5＝0的一个虚根，∴(1－2i)2－(1－2i)m＋5＝0，整理，得2－m＋(2m－4)i＝0，解得m＝2.