2020版江苏高考数学名师大讲坛一轮复习教程学案：第十六章选修4第11课　变换的复合矩阵的乘法与逆矩阵

_第11课__变换的复合矩阵的乘法与逆矩阵____

　基础诊断　

1. 已知M＝，N＝，则MN＝________．

2. 设A＝，B＝，若AB＝BA，则k＝________．

3. 求矩阵A＝的逆矩阵．

4. 变换T1是逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2＝.求：

(1) 点P(2，1)在T1作用下的点P′的坐标；

(2) 函数y＝x2的图象依次在T1，T2变换作用下所得的曲线的方程．

　范例导航　

　　例1　已知a，b是实数，如果矩阵A＝所对应的变换T把点(2，3)变成点(3，4)．

(1) 求a，b的值；

(2) 若矩阵A的逆矩阵为B，求B2.

已知矩阵A＝，直线l：x－y＋4＝0在矩阵A对应的变换作用下变为直线l′：x－y＋2a＝0.

(1) 求实数a的值；

(2) 求A2.

　　例2　已知矩阵M＝，N＝，试求曲线y＝sinx在矩阵(MN)－1对应的变换下的曲线所对应的解析式．

若二阶矩阵M满足M＝.

(1) 求二阶矩阵M；

(2) 若曲线C：x2＋2xy＋y2＝1在矩阵M所对应的变换作用下得到曲线C′，求曲线C′的方程．

　自测反馈　

1. (1) 求矩阵A＝的逆矩阵；

(2) 利用逆矩阵知识解方程组

2. 已知曲线C1：x2＋y2＝1，对它先作矩阵A＝对应的变换，再作矩阵B＝对应的变换，得到曲线C2：＋y2＝1，求实数m的值．

1. MN的几何意义是什么？MN＝NM一定成立吗？如果使其成立，应满足什么条件？

2. 逆矩阵的求法通常有三种方法：①待定系数法；②利用行列式法；③从几何变换的角度求解．

3. 你还有哪些体悟，写下来：

第11课　变换的复合矩阵的乘法与逆矩阵

　基础诊断　

1. 　解析：MN＝＝.　

2. 3　解析：因为A＝，B＝，所以AB＝＝，BA＝＝.又因为AB＝BA，所以k＝3.

3. 解析：因为A＝，所以ad－bc＝3－4＝－1≠0，

所以A－1＝.

4. 解析：(1) 由题意，得M1＝，所以＝，所以点P(2，1)在T1作用下的点P′的坐标是(－1，2)．

(2) 由题意可求出变换矩阵M＝M2M1＝，设(x0，y0)是函数y＝x2上的任意一点，在T1，T2对应变换作用下得到点(x，y)，则M＝，即则代入y0＝x得y－x＝y2，所以所求曲线的方程是y－x＝y2.

　范例导航　

例1　解析：(1) 由题意，得＝，

所以6＋3a＝3，2b－6＝4，所以a＝－1，b＝5.

(2) 由(1)得A＝，由矩阵的逆矩阵公式得B＝，所以B2＝.

解析：(1) 设直线l上的任意一点M(x0，y0)在矩阵A对应的变换作用下变为l′上的点M(x，y)，

则＝＝，

所以

代入l′方程得(ax0＋y0)－(x0＋ay0)＋2a＝0，

即(a－1)x0－(a－1)y0＋2a＝0.

因为(x0，y0)满足x0－y0＋4＝0，

所以＝4，解得a＝2.

(2) 由(1)得A＝＝，

得A2＝＝.

例2　解析：MN＝＝，

由逆矩阵公式得，(MN)－1＝，

设曲线y＝sinx上的任意一点P(x，y)在矩阵(MN)－1对应的变换作用后的点为P′(x′，y′)，则＝，由此可得x＝x′，y＝2y′，

代入y＝sinx得sinx′＝2y′，即曲线y＝sinx在矩阵(MN)－1变换下的曲线为y＝sinx.

解析：(1) 设A＝，则|A|＝＝－2，

故A－1＝，

所以M＝＝.

(2) 因为M＝，

所以＝M－1＝，

即

代入x2＋2xy＋2y2＝1可得(x′－y′)2＋2(x′－y′)(－x′＋2y′)＋2(－x′＋2y′)2＝1，

即x′2－4x′y′＋5y′2＝1，

故曲线C′的方程为x2－4xy＋5y2＝1.

　自测反馈　

1. 解析：(1) 设逆矩阵A－1＝，则由＝，

得解得

所以A－1＝.

(2) 由题意得A＝，则A－1＝，

所以＝A－1＝＝，即

注：考查逆变换与逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的知识求解方程组的方法．

2. 解析：根据题意，可求得

BA＝＝.

设P(x0，y0)是曲线C1上的任意一点，它在矩阵BA对应的变换作用下变成点P′(x′，y′)，

即＝＝，

则即

又点P(x0，y0)在曲线C1上，则y′2＋＝1，即m2＝1，所以m＝±1.