2020版数学（理）新设计大一轮人教A版新高考（鲁津京琼）讲义：第二章函数第7节

第7节　函数的图象
考试要求　1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.

知 识 梳 理
1.利用描点法作函数的图象
步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.
2.利用图象变换法作函数的图象
(1)平移变换

(2)对称变换
y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象；
y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象；
y＝ax(a>0，且a≠1)的图象y＝logax(a>0，且a≠1)的图象.
(3)伸缩变换
y＝f(x)y＝f(ax).
y＝f(x)y＝Af(x).
(4)翻折变换
y＝f(x)的图象y＝|f(x)|的图象；
y＝f(x)的图象y＝f(|x|)的图象.
[微点提醒]
记住几个重要结论
(1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称.
(2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称.
(3)若函数y＝f(x)对定义域内任意自变量x满足：f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称.
基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)函数y＝f(1－x)的图象，可由y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到.(　　)
(2)函数y＝f(x)的图象关于y轴对称即函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称.(　　)
(3)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝f(|x|)的图象与y＝|f(x)|的图象相同.(　　)
(4)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称.(　　)
解析　(1)y＝f(－x)的图象向左平移1个单位得到y＝f(－1－x)，故(1)错.
(2)两种说法有本质不同，前者为函数的图象自身关于y轴对称，后者是两个函数的图象关于y轴对称，故(2)错.
(3)令f(x)＝－x，当x∈(0，＋∞)时，y＝|f(x)|＝x，y＝f(|x|)＝－x，两函数图象不同，故(3)错.
答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

2.(必修1P24A7改编)下列图象是函数y＝的图象的是(　　)

解析　其图象是由y＝x2图象中x0时，函数g(x)＝logf(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)>0时，x∈(2，8].
答案　(2，8]

考点一　作函数的图象
【例1】 作出下列函数的图象：
(1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|；
(3)y＝x2－2|x|－1.
解　(1)先作出y＝的图象，保留y＝图象中x≥0的部分，再作出y＝的图象中x>0部分关于y轴的对称部分，即得y＝的图象，如图①实线部分.

(2)将函数y＝log2x的图象向左平移一个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图②.
(3)∵y＝且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，得图象如图③.
规律方法　作函数图象的一般方法
(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.
(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.
【训练1】 分别作出下列函数的图象：
(1)y＝|lg x|；(2)y＝sin |x|.
解　(1)先作出函数y＝lg x的图象，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得函数y＝|lg x|的图象，如图①实线部分.

(2)当x≥0时，y＝sin|x|与y＝sin x的图象完全相同，又y＝sin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图②.
考点二　函数图象的辨识
【例2】 (1)(一题多解)(2017·全国Ⅲ卷)函数y＝1＋x＋的部分图象大致为(　　)

(2)函数y＝2x2－e|x|在[－2，2]的图象大致为(　　)


解析　(1)法一　易知g(x)＝x＋为奇函数，故y＝1＋x＋的图象关于点(0，1)对称，排除C；当x∈(0，1)时，y>0，排除A；当x＝π时，y＝1＋π，排除B，选项D满足.
法二　当x＝1时，f(1)＝1＋1＋sin 1＝2＋sin 1>2，排除A，C；又当x→＋∞时，y→＋∞，排除B，而D满足.
(2)f(x)＝2x2－e|x|，x∈[－2，2]是偶函数，
又f(2)＝8－e2∈(0，1)，排除选项A，B；
当x≥0时，f(x)＝2x2－ex，f′(x)＝4x－ex，
所以f′(0)＝－10，
所以函数f(x)在(0，2)上有解，
故函数f(x)在[0，2]上不单调，排除C，故选D.
答案　(1)D　(2)D
规律方法　1.抓住函数的性质，定性分析：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从周期性，判断图象的循环往复；(4)从函数的奇偶性，判断图象的对称性.
2.抓住函数的特征，定量计算：
从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题.
【训练2】 (2018·浙江卷)函数y＝2|x|·sin 2x的图象可能是(　　)

解析　设f(x)＝2|x|sin 2x，其定义域为R且关于坐标原点对称，又f(－x)＝2|－x|·sin(－2x)＝－f(x)，所以y＝f(x)是奇函数，故排除选项A，B；令f(x)＝0，所以sin 2x＝0，所以2x＝kπ(k∈Z)，即x＝(k∈Z)，故排除选项C.故选D.
答案　D
考点三　函数图象的应用　多维探究
角度1　研究函数的性质
【例3－1】 已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　)
A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B.f(x)是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C.f(x)是奇函数，递减区间是(－1，1)
D.f(x)是奇函数，递增区间是(－∞，0)
解析　将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值得
f(x)＝
画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(－1，1)上是减少的.

答案　C
角度2　求不等式的解集
【例3－2】 已知函数y＝f(x)的图象是如图所示的折线ACB，且函数g(x)＝log2(x＋1)”，则不等式f(x)≥g(x)的解集是(　　)

A.{x|－13.
答案　(3，＋∞)
规律方法　1.利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.
2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)