2020版数学（理）新设计大一轮人教A版新高考（鲁津京琼）讲义：第四章三角函数、解三角形第5节

 第5节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质
考试要求　1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义；能借助图象理解参数ω，φ，A的意义，了解参数的变化对函数图象的影响；2.会用三角函数解决简单的实际问题，体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型．

知 识 梳 理
1.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.
x
－
－＋

－

ωx＋φ
0

π

2π
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径

4.三角函数应用
(1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象：简谐振动(单摆、弹簧等)，声波(音叉发出的纯音)，交变电流.
(2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式，可以根据给出的已知条件确定模型f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k中的待定系数.
(3)把实际问题翻译为函数f(x)的性质，得出函数性质后，再把函数性质翻译为实际问题的答案.
[微点提醒]
1.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标.
3.音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y＝Asin ωx，其中x表示时间，y表示纯音振动时音叉的位移，表示纯音振动的频率(对应音高)，A表示纯音振动的振幅(对应音强).
4.交变电流可以用三角函数表达为y＝Asin(ωx＋φ)，其中x表示时间，y表示电流，A表示最大电流，表示频率，φ表示初相位.
基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)将函数y＝3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　)
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.(　　)
(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)
(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(　　)
解析　(1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x.
(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等.
答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√

2.(必修4P56T3改编)y＝2sin的振幅、频率和初相分别为(　　)
A.2，4π， B.2，，
C.2，，－ D.2，4π，－
解析　由题意知A＝2，f＝＝＝，初相为－.
答案　C
3.(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况：
月份x
1
2
3
4
收购价格y(元/斤)
6
7
6
5
选用一个正弦型函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为________________________.
解析　设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)，
由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝，所以ω＝，
所以y＝sin＋6.
因为当x＝2时，y＝7，所以sin(π＋φ)＋6＝7，即sin φ＝－1，则φ＝－＋2kπ(k∈Z)，可取φ＝－.
所以y＝sin＋6＝6－cosx.
答案　y＝6－cosx

4.(2019·北京通州区模拟)函数y＝2cos的部分图象是(　　)

解析　由y＝2cos可知，函数的最大值为2，故排除D；又因为函数图象过点，故排除B；又因为函数图象过点，故排除C.
答案　A
5.(2016·全国Ⅰ卷)若将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　)
A.y＝2sin B.y＝2sin
C.y＝2sin D.y＝2sin
解析　函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个周期即个单位，所得函数为y＝2sin＝2sin，故选D.
答案　D
6.(2018·济南模拟改编)y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.
解析　相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为.
答案　

考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换
【例1】 某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x





Asin(ωx＋φ)
0
5

－5
0
(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值.
解　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：
ωx＋φ
0

π

2π
x




π
Asin(ωx＋φ)
0
5
0
－5
0
且函数解析式为f(x)＝5sin.
(2)由(1)知f(x)＝5sin，
得g(x)＝5sin.
因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)(k∈Z).
令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ(k∈Z).
由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，所以令＋－θ＝(k∈Z)，解得θ＝－(k∈Z).
由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.
规律方法　作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：
(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；
(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.
【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)
A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
(2)(2018·青岛调研)若把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数y＝cos ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是(　　)
A.2 B. C. D.
解析　(1)易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2，因此D项正确.
(2)y＝sin和函数y＝cos ωx的图象重合，可得π－＝＋2kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z.
∴2是ω的一个可能值.
答案　(1)D　(2)A
考点二　求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式
【例2】 (1)(一题多解)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为________.

(2)(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，已知A，B，则f(x)图象的对称中心为(　　)

A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
解析　(1)由题图可知A＝，
法一　＝－＝，
所以T＝π，故ω＝2，
因此f(x)＝sin(2x＋φ)，
又对应五点法作图中的第三个点，
因此2×＋φ＝π＋2kπ(k∈Z)，所以φ＝＋2kπ(k∈Z).
又|φ|0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体.若ω0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　)
A.98π B.π C.π D.100π
解析　由题意，至少出现50次最大值即至少需用49个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥π.
答案　B
评析　解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝与所给区间的关系，从而建立不等关系.
类型2　三角函数的单调性与ω的关系
【例2】 若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A.0≤ω≤ B.0≤ω≤
C.≤ω≤3 D.≤ω≤3
解析　令＋2kπ≤ωx≤π＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋，因为f(x)在上单调递减，
所以得6k＋≤ω≤4k＋3.
又ω>0，所以k≥0，
又6k＋0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω.
因函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥.
若ω0)图象上的一个最低点，M，N是与点P相邻的两个最高点，若∠MPN＝60°，则该函数的最小正周期是(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
解析　由P是函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)图象上的一个最低点，M，N是与P相邻的两个最高点，知|MP|＝|NP|，
又∠MPN＝60°，所以△MPN为等边三角形.
由P(，－)，得|MN|＝×2＝6.
∴该函数的最小正周期T＝6.
答案　D
4.(2018·天津卷)将函数y＝sin的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数(　　)
A.在区间上单调递增
B.在区间上单调递减
C.在区间上单调递增
D.在区间上单调递减
解析　y＝sin＝sin 2，将其图象向右平移个单位长度，得到函数y＝sin 2x的图象.由2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.令k＝0，可知函数y＝sin 2x在区间上单调递增.
答案　A
5.(2019·张家界模拟)将函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的图象向左平移t(t>0)个单位后，得到函数g(x)的图象，若g(x)＝g，则实数t的最小值为(　　)
A. B. C. D.
解析　由题意得，f(x)＝2sin，
则g(x)＝2sin，
从而2sin＝2sin＝－2sin(2x－2t)＝2sin(2x－2t＋π)，又t>0，
所以当2t－＝－2t＋π＋2kπ(k∈Z)时，即t＝＋(k∈Z)，实数tmin＝π.
答案　B
二、填空题
6.将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________.

y＝sin.
答案　y＝sin
7.(2018·沈阳质检)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0