2020版数学（理）新设计大一轮人教A版新高考（鲁津京琼）讲义：第四章三角函数、解三角形第4节

 第4节　三角函数的图象与性质
考试要求　1.能画出三角函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值；2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]上，正切函数在上的性质.

知 识 梳 理
1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
{x x≠kπ＋}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
周期性
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
递增区间

[2kπ－π，2kπ]

递减区间

[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)


对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
[微点提醒]
1.对称与周期
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
基 础 自 测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)余弦函数y＝cos x的对称轴是y轴.(　　)
(2)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数.(　　)
(3)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)
(4)y＝sin|x|是偶函数.(　　)
解析　(1)余弦函数y＝cos x的对称轴有无穷多条，y轴只是其中的一条.
(2)正切函数y＝tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.
(3)当k>0时，ymax＝k＋1；当k0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，为函数f(x)的周期，故＝，解得ω＝.
法二　由题意，得f(x)max＝f＝sinω＝1.
由已知并结合正弦函数图象可知，ω＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝＋6k(k∈Z)，所以当k＝0时，ω＝.
答案　(1)C　(2)sin 68°>cos 23°>cos 97°　(3)
考点四　三角函数的周期性、奇偶性、对称性　多维探究
角度1　三角函数奇偶性、周期性
【例4－1】 (1)(2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则(　　)
A.f(x)的最小正周期为π，最大值为3
B.f(x)的最小正周期为π，最大值为4
C.f(x)的最小正周期为2π，最大值为3
D.f(x)的最小正周期为2π，最大值为4
(2)(2019·杭州调研)设函数f(x)＝sin－cos的图象关于y轴对称，则θ＝(　　)
A.－ B. C.－ D.
解析　(1)易知f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝3cos2x＋1＝3＋1＝cos 2x＋，则f(x)的最小正周期为π，当2x＝2kπ，即x＝kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.
(2)f(x)＝sin－cos
＝2sin，
由题意可得f(0)＝2sin＝±2，即sin＝±1，∴θ－＝＋kπ(k∈Z)，
∴θ＝＋kπ(k∈Z).
∵|θ|0)的形式.
2.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t(或y＝cos t)的性质.
3.数形结合是本节的重要数学思想.
[易错防范]
1.闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.
2.要注意求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时A和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.
3.求三角函数的单调区间时，当单调区间有无穷多个时，别忘了注明k∈Z.

基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.(2017·山东卷)函数y＝sin 2x＋cos 2x的最小正周期为(　　)
A. B. C.π D.2π
解析　∵y＝2＝2sin，
∴T＝＝π.
答案　C
2.(2019·石家庄检测)若是函数f(x)＝sin ωx＋cos ωx图象的一个对称中心，则ω的一个取值是(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
解析　因为f(x)＝sin ωx＋cos ωx＝sin，由题意，知f＝sin＝0，所以＋＝kπ(k∈Z)，即ω＝8k－2(k∈Z)，当k＝1时，ω＝6.
答案　C
3.已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于(　　)
A. B. C.2 D.3
解析　∵ω>0，－≤x≤，∴－≤ωx≤.
由已知条件知－≤－，∴ω≥.
答案　B
4.(2019·湖南十四校联考)已知函数f(x)＝2sin ωx－cos ωx(ω>0)，若f(x)的两个零点x1，x2满足|x1－x2|min＝2，则f(1)的值为(　　)
A. B.－ C.2 D.－2
解析　依题意可得函数的最小正周期为＝2|x1－x2|min＝2×2＝4，即ω＝，所以f(1)＝2sin －cos ＝2.
答案　C
5.若f(x)为偶函数，且在上满足：对任意x10，则f(x)可以为(　　)
A.f(x)＝cos B.f(x)＝|sin(π＋x)|
C.f(x)＝－tan x D.f(x)＝1－2cos22x
解析　∵f(x)＝cos＝－sin x为奇函数，∴排除A；f(x)＝－tan x为奇函数，∴排除C；f(x)＝1－2cos22x＝－cos 4x为偶函数，且单调增区间为(k∈Z)，排除D；f(x)＝|sin(π＋x)|＝|sin x|为偶函数，且在上单调递增.
答案　B
二、填空题
6.(2019·烟台检测)若函数f(x)＝cos(00，|φ|