2020版新设计一轮复习数学（理）江苏专版讲义：第八章第一节空间几何体的表面积与体积

第一节空间几何体的表面积与体积



1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图



侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r＋r′)l

2．空间几何体的表面积与体积公式
名称
几何体　　
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3

[小题体验]
1．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为________．
解析：设球的半径为R，因为表面积是16π，所以4πR2＝16π，解得R＝2.所以体积为πR3＝.
答案：π
2．(2018·南京高三年级学情调研)将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得圆柱的体积为27π cm3，则该圆柱的侧面积为________cm2.
解析：设正方形的边长为a cm，则πa2·a＝27π，得a＝3，所以侧面积2π×3×3＝18π cm2.
答案：18π
3．(2018·海安高三质量测试)已知正三棱锥的体积为36 cm3，高为4 cm，则底面边长为________cm.
解析：设正三棱锥的底面边长为a cm，则其面积为S＝a2，由题意知×a2×4＝36，解得a＝6.
答案：6

1．求组合体的表面积时，组合体的衔接部分的面积问题易出错．
2．易混侧面积与表面积的概念．
[小题纠偏]
1．圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则球的体积与圆柱体积之比为________，球的表面积与圆柱的侧面积之比为________．
答案：2∶3　1∶1
2．已知正四棱柱的底面边长为3 cm，侧面的对角线长为3 cm，则这个正四棱柱的侧面积是________cm2.
解析：正四棱柱的高为＝6 cm，所以侧面积是4×3×6＝72 cm2.
答案：72

　
[题组练透]
1．棱长为2的正四面体的表面积是________．
解析：每个面的面积为：×2×2×＝.所以正四面体的表面积为4.
答案：4
2．一个六棱锥的体积为2，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为________．
解析：由题意可知该六棱锥为正六棱锥，正六棱锥的高为h，侧面的斜高为h′.
由题意，得×6××22×h＝2，
所以h＝1，
所以斜高h′＝＝2，
所以S侧＝6××2×2＝12.
答案：12
3．已知在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周形成的几何体的表面积为________．
解析：由题意得几何体如图所示，几何体是底面半径为1，高为2的圆柱挖去一个底面半径为1，高为1的圆锥后剩下的部分，所以几何体的表面积为一个圆柱底面与圆柱侧面、圆锥侧面之和，即π×12＋2π×1×2＋π×1×＝(5＋)π.
答案：(5＋)π
[谨记通法]
几何体的表面积的求法
(1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面问题，即空间图形平面化，这是解决立体几何的主要出发点．
(2)求不规则几何体的表面积时，通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体，先求这些柱、锥、台体的表面积，再通过求和或作差求得几何体的表面积．
　
[典例引领]
1．(2018·苏州高三暑假测试)如图，正四棱锥P­ABCD的底面一边AB的长为2 cm，侧面积为8 cm2，则它的体积为________cm3.

解析：记正四棱锥P­ABCD的底面中心为点O，棱AB的中点为H，连结PO，HO，PH，则PO⊥平面ABCD，因为正四棱锥的侧面积为8 cm2，所以8＝4××2×PH，解得PH＝2，在Rt△PHO中，HO＝，所以PO＝1，所以VP­ABCD＝·S正方形ABCD·PO＝4 cm3.
答案：4
2．(2019·高邮模拟)如图，在正三棱柱ABC ­A1B1C1中，已知AB＝AA1＝3，点P在棱CC1上，则三棱锥P ­ABA1的体积为________．

解析：因为S△ABA1＝×3×3＝，点P到平面ABA1的距离h为△ABC的高，
所以三棱锥P ­ABA1的体积V＝ S△ABA1h＝.
答案：

[由题悟法]
有关几何体体积的类型及解题策略
常见类型
解题策略
球的体积问题
直接利用球的体积公式求解，在实际问题中要根据题意作出图形，构造直角三角形确定球的半径
锥体、柱体的体积问题
根据题设条件求出所给几何体的底面积和高，直接套用公式求解
不规则几何体的体积问题
常用分割或补形的思想，若几何体的底不规则，也需采用同样的方法，将不规则的几何体或平面图形转化为规则的几何体或平面图形，易于求解

[即时应用]
1．现有一个底面半径为3，母线长为5的圆锥状实心铁器，将其高温熔化后铸成一个实心铁球(不计损耗)，则该铁球的半径是________．
解析：因为圆锥底面半径为3，母线长为5，所以圆锥的高为＝4，其体积为 π×32×4＝12π.设铁球的半径为r，则πr3＝12π，解得r＝，所以该铁球的半径是 .
答案：
2．(2018·南通调研)如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若各棱长均为2，且M为A1C1的中点，则三棱锥M­AB1C的体积是________．
解析：在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，则AA1⊥B1M.因为B1M是正三角形的中线，所以B1M⊥A1C1.因为A1C1∩AA1＝A1，所以B1M⊥平面ACC1A1，则VM­AB1C＝VB1­ACM＝××AC×AA1×B1M＝××2×2×＝.
答案：

　
[锁定考向]
与球有关的切、接问题是每年高考的热点，也是难点，题型多为填空题．
常见的命题角度有：
(1)球与柱体的切、接问题；
(2)球与锥体的切、接问题．　　　 　
[题点全练]
角度一：球与柱体的切、接问题
1．已知底面边长为1，侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为________．
解析：设该球的半径为R，根据正四棱柱的外接球的直径长为正四棱柱的体对角线长，可得(2R)2＝()2＋12＋12，解得R＝1，所以该球的体积V＝πR3＝.
答案：
2．(2017·江苏高考)如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．
解析：设球O的半径为R，因为球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，所以圆柱的底面半径为R、高为2R，所以＝＝.
答案：
角度二：球与锥体的切、接问题
3．已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与四个面都相切，则棱锥的内切球的半径为________．
解析：如图，过点P作PD⊥平面ABC于点D，连接AD并延长交BC于点E，连接PE，
因为△ABC是正三角形，
所以AE是BC边上的高和中线，D为△ABC的中心．
因为AB＝2，所以S△ABC＝3，DE＝1，PE＝.
所以S表＝3××2×＋3＝3＋3.
因为PD＝1，所以三棱锥的体积V＝×3×1＝.
设球的半径为r，以球心O为顶点，三棱锥的四个面为底面把正三棱锥分割为四个 小棱锥，
则r＝＝－1.
答案：－1
4．(2017·全国卷Ⅰ)已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA＝AC，SB＝BC，三棱锥S ­ABC的体积为9，则球O的表面积为________．
解析：如图，连接AO，OB，
因为SC为球O的直径，
所以点O为SC的中点，
因为SA＝AC，SB＝BC，
所以AO⊥SC，BO⊥SC，
因为平面SCA⊥平面SCB，平面SCA∩平面SCB＝SC，
所以AO⊥平面SCB，
设球O的半径为R，
则OA＝OB＝R，SC＝2R.
所以VS ­ABC＝VA­SBC＝×S△SBC×AO
＝××AO，
即9＝××R，解得 R＝3，
所以球O的表面积为S＝4πR2＝4π×32＝36π.
答案：36π
[通法在握]
“切”“接”问题处理的注意事项
(1)“切”的处理
解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果内切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．
(2)“接”的处理
把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题．解决这类问题的关键是抓住外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．
[演练冲关]
1．(2018·太湖高级中学检测)一个六棱柱的底面是正六边形，侧棱垂直于底面，所有棱的长都为1，顶点都在同一个球面上，则该球的体积为________．
解析：由题意知六棱柱的底面正六边形的外接圆半径r＝1，其高h＝1，所以球半径为R＝＝ ＝，所以该球的体积V＝πR3＝×3π＝.
答案：
2．三棱锥P­ABC中，AB＝BC＝，AC＝6，PC⊥平面ABC，PC＝2，则该三棱锥的外接球表面积为________．
解析：由题可知，△ABC中AC边上的高为＝，球心O在底面ABC的投影即为△ABC的外心D，设DA＝DB＝DC＝x，所以x2＝32＋(－x)2，解得x＝，所以R2＝x2＋2＝＋1＝(其中R为三棱锥外接球的半径)，所以外接球的表面积S＝4πR2＝π.
答案：π
3．(2019·南京四校联考)已知在三棱锥SABC中，△SAB，△SBC，△SAC都是以S为直角顶点的等腰三角形，且AB＝BC＝CA＝，则三棱锥S-ABC的内切球的半径为________．
解析：由题意知，SA＝SB＝SC.设SA＝SB＝SC＝a，则a＝，a＝1.设三棱锥S-ABC的内切球的半径为r，则由等体积法可得，VS-ABC＝×＝VA-SBC＝××1，解得r＝，即三棱锥S-ABC的内切球的半径为.
答案：

一抓基础，多练小题做到眼疾手快
1．(2018·徐州高三年级期中考试)各棱长都为2的正四棱锥的体积为________．
解析：由题意得，底面对角线长为2，所以正四棱锥的高为＝，所以正四棱锥的体积V＝Sh＝×22×＝.
答案：
2．(2018·苏锡常镇调研)设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V1，S1，底面半径和高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V2，S2，若＝，则的值为________．
解析：法一：由题意知V1＝a3，S1＝6a2，
V2＝πr3，S2＝πr2，
由＝得＝，
得a＝r，从而＝.
法二：不妨设V1＝27，V2＝9π，故V1＝a3＝27，即a＝3，所以S1＝6a2＝54.
如图所示，又V2＝h×πr2＝πr3＝9π，即r＝3，所以l＝r，即S2＝l×2πr＝πr2＝9π，
所以＝＝.

答案：
3．(2018·南京二模)如图，正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝4，AA1＝6.若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，则三棱锥A­A1EF的体积是________．
解析：因为在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1∥BB1，AA1⊂平面AA1C1C，BB1⊄平面AA1C1C，所以BB1∥平面AA1C1C，从而点E到平面AA1C1C的距离就是点B到平面AA1C1C的距离，作BH⊥AC，垂足为点H，由于△ABC是正三角形且边长为4，所以BH＝2，从而三棱锥A­A1EF的体积VA­A1EF＝VE­A1AF＝ S△A1AF·BH＝××6×4×2＝8.
答案：8
4．(2018·海安期中)如图，在棱长为2的正方体ABCD ­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，则三棱锥O ­A1BC1的体积为________．
解析：连结AC，因为几何体是正方体，所以BO⊥平面A1OC1，

BO是三棱锥B ­A1OC1的高，则三棱锥O ­A1BC1的体积为××2×2×＝.
答案：
5．(2018·盐城模拟)若一圆锥的底面半径为1，其侧面积是底面积的3倍，则该圆锥的体积为________．
解析：设圆锥的母线长为l，高为h，则π×1×l＝3π×12，解得l＝3，
则h＝ ＝2，
故该圆锥的体积V＝π×12×2＝.
答案：
6．(2018·苏锡常镇一调)如图，正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1，P是棱BB1的中点，则四棱锥P­AA1C1C的体积为________．
解析：四棱锥P­AA1C1C可看作：半个正方体割去三棱锥P­ABC和P­A1B1C1.
所以VP­AA1C1C＝VABCD­A1B1C1D1－VP­ABC－VP­A1B1C1＝－－＝.
答案：
二保高考，全练题型做到高考达标
1．(2019·扬州模拟)圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为________．
解析：设圆台较小底面半径为r，
则另一底面半径为3r.
由S＝π(r＋3r)·3＝84π，解得r＝7.
答案：7
2．(2018·常州期中)如图，一个实心六角螺帽毛坯(正六棱柱)的底边长为4，高为3，若在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，则孔的半径为________．
解析：设孔的半径为r，∵此正六棱柱的底边长为4，高为3，在中间钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化，∴2×πr2＝2πr×3，解得r＝3，∴孔的半径为3.
答案：3
3．(2018·常州期末)以一个圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，若所得的圆锥底面半径等于圆锥的高，则圆锥的侧面积与圆柱的侧面积的比值为________．


解析：如图，由题意可得圆柱的侧面积为S1＝2πrh＝2πr2.圆锥的母线l＝＝r，故圆锥的侧面积为S2＝×2πr×l＝πr2，所以S2∶S1＝∶2.
答案：

4．(2018·苏北四市一模)将斜边长为4的等腰直角三角形绕其斜边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的体积是________．
解析：因为等腰直角三角形的斜边长为4，所以斜边上的高为2，故旋转后的几何体为两个大小相等的圆锥的组合体，圆锥的底面半径为2，高为2，因此，几何体的体积为V＝2×π×22×2＝.
答案：
5．(2018·泰州中学高三学情调研)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P为AA1中点，Q为CC1的中点，AB＝2，则三棱锥B­PQD的体积为________．
解析：如图，连结PQ，则PQ∥AC，取PQ的中点G，连结BG，DG，可得BG⊥PQ，DG⊥PQ，又BG∩DG＝G，则PQ⊥平面BGD，在Rt△BPG中，由BP＝，PG＝，可得BG＝，同理可得DG＝，则△BDG边BD上的高为＝1，所以S△BDG＝×2×1＝，则VB­PQD＝××2＝.
答案：
6．(2019·盐城检测)有一个用橡皮泥制作的半径为4的球，现要将该球所用的橡皮泥制作成一个圆柱和一个圆锥，使圆柱和圆锥有相同的底面半径和相等的高，若它们的高为8，则它们的底面半径为________．
解析：由已知可得球的体积为V＝π×43＝.设圆柱和圆锥的底面半径为r，则圆柱和圆锥的体积和为8πr2＋πr2＝，解得r＝2.
答案：2
7．(2018·启东调研)如图，Rt△ABC的外接圆⊙O的半径为5，CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，CE＝4，BD＝2，ED＝2，若M为ED的中点，则VM­ACB＝________.

解析：如图，过D作DH⊥CE于H，则BC＝DH，在Rt△EDH中，由ED＝2，EH＝EC－DB＝2，得BC＝DH＝6，所以在Rt△ABC中，AB＝10，BC＝6，所以AC＝8，即S△ABC＝24，又因为CE垂直于⊙O所在的平面，BD∥CE，M为ED的中点，所以M到平面ABC的距离为3，所以VM­ACB＝S△ABC×3＝24.
答案：24
8．(2018·连云港调研)已知正四棱锥的顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为________．
解析：如图，正四棱锥P­ABCD的外接球的球心O在它的高PO1上，设球的半径为R，因为底面边长为2，所以AC＝4.在Rt△AOO1中，R2＝(4－R)2＋22，所以R＝，所以球的表面积S＝4πR2＝25π.
答案：25π
9．(2018·苏州期末)如图，在体积为V1的圆柱中挖去以圆柱上下底面为底面、共顶点的两个圆锥，剩余部分的体积为V2，则＝________.
解析：设圆锥与圆柱的底面面积为S，高为h，
所以V1＝Sh，V2＝Sh－Sh＝Sh，则＝.
答案：
10．一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰好与铁球面相切．将球取出后，容器内的水深是多少？
解：如图，作轴截面，设球未取出时，水面高PC＝h，球取出后，水面高PH＝x.根据题设条件可得AC＝r，PC＝3r，则以AB为底面直径的圆锥容积为V圆锥＝π×AC2×PC＝π(r)2×3r＝3πr3.
V球＝πr3.
球取出后，水面下降到EF，水的体积为
V水＝π×EH2×PH＝π(PHtan 30°)2PH＝πx3.
又V水＝V圆锥－V球，则πx3＝3πr3－πr3，
解得x＝r.故球取出后，容器内水深为r.
三上台阶，自主选做志在冲刺名校
1．已知直三棱柱ABC­A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，则球O的半径为________．
解析：如图，由球心作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M.
又AM＝BC＝＝，OM＝AA1＝6，
所以球O的半径R＝OA＝ ＝.
答案：
2．三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC且PA＝2，△ABC是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为________．
解析：由题意得，此三棱锥外接球即为以△ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球，因为△ABC的外接圆半径r＝××＝1，外接球球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝1，所以外接球的半径R＝＝，所以三棱锥外接球的表面积S＝4πR2＝8π.
答案：8π
3．如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1＝B1C1＝2，∠A1B1C1＝90°，AA1＝4，BB1＝3，CC1＝2，求：
(1)该几何体的体积．
(2)截面ABC的面积．
解：(1)过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C，交AA1，BB1分别于点A2，B2.
由直三棱柱性质及∠A1B1C1＝90°可知B2C⊥平面ABB2A2，
则该几何体的体积V ＝VA1B1C1­A2B2C＋VC­ABB2A2＝×2×2×2＋××(1＋2)×2×2＝6.
(2)在△ABC中，AB＝＝，BC＝＝，
AC＝＝2.
则S△ABC＝×2×＝.