2020版高考数学新增分大一轮浙江专用版讲义：第六章平面向量、复数6.4第2课时

第2课时　平面向量的综合应用
题型一　平面向量与数列
例1 (2018·浙江名校协作体考试)设数列{xn}的各项都为正数且x1＝1.△ABC内的点Pn(n∈N*)均满足△PnAB与△PnAC的面积比为2∶1，若＋xn＋1·＋(2xn＋1)＝0，则x4的值为(　　)
A．15 B．17 C．29 D．31
答案　A
解析　因为＋xn＋1＋(2xn＋1)＝0，所以＋(2xn＋1)＝－xn＋1，如图，设(2xn＋1)＝，以PnA和PnD为邻边作平行四边形PnDEA，所以＋＝＝－xn＋1，所以＝，所以＝，又＝＝，所以＝，所以＝＝，所以xn＋1＝2xn＋1，又x1＝1，所以x2＝3，x3＝7，x4＝15，故选A.

思维升华 向量与其他知识的结合，多体现向量的工具作用，利用向量共线或向量数量积的知识进行转化，“脱去”向量外衣，利用其他知识解决即可．
跟踪训练1　(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a2 018，且A，B，C三点共线(该直线不过点O)，则S2 018等于(　　)
A．1 009 B．1 008
C．2 017 D．2 018
答案　A
解析　因为＝a1＋a2 018，且A，B，C三点共线，
a1＋a2 018＝1，又数列{an}是等差数列，
S2 018＝＝1 009.


(2)(2018·浙江新高考预测)角A，B，C为△ABC的三个内角，向量m满足|m|＝，且m＝，当角A最大时，动点P使得||，||，||成等差数列，则的最大值是________．
答案　
解析　设BC＝2a，BC的中点为D.
由题意得|m|2＝2＋2
＝1－cos(B＋C)＋[1＋cos(B－C)]
＝－cos Bcos C＋sin Bsin C＝，
则cos Bcos C＝sin Bsin C，化简得tan Btan C＝，
则tan A＝－tan(B＋C)＝－
＝－(tan B＋tan C)≤－×2＝－，
当且仅当tan B＝tan C＝时，等号成立，
所以当角A最大时，A＝，B＝C＝，
则易得AD＝.
因为||，||，||成等差数列，
所以2||＝||＋||，则点P在以B，C为焦点，以2||＝4a为长轴的椭圆上，由图(图略)易得当点P为椭圆的与点A在直线BC的异侧的顶点时，||取得最大值，此时||＝＝a，
则||＝||＋||＝，
所以＝＝.




题型二　和向量有关的最值问题


命题点1　与平面向量基本定理有关的最值问题
例2　(1)(2018·浙江镇海中学测试)已知△ABC内接于圆O，且A＝60°，若＝x＋y(x，y∈R)，则x＋2y的最大值是(　　)
A. B．1 C. D．2－
答案　D
解析　设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
由＝x＋y，
得·＝x2＋y·，
·＝x·＋y2，
所以
解得
所以x＋2y＝2－≤2－×2
＝2－(当且仅当b＝c时取等号)，
故选D.
(2)(2018·温州模拟)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足＋＝1，若＝x＋y，则x＋y的最小值为________．

答案　
解析　连接MN交AC于点G.
由勾股定理，知MN2＝CM2＋CN2，
所以1＝＋＝，即MN＝CM·CM，
所以C到直线MN的距离为定值1，此时MN是以C为圆心，1为半径的圆的一条切线(如图所示)，

＝x＋y＝(x＋y)·.
由向量共线定理知，＝(x＋y)，
所以x＋y＝＝，
又因为||max＝5－1＝4，所以x＋y的最小值为.
命题点2　与数量积有关的最值问题
例3　(1)(2017·浙江)如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记I1＝·，I2＝·，I3＝·，则(　　)

A．I1＜I2＜I3 B．I1＜I3＜I2
C．I3＜I1＜I2 D．I2＜I1＜I3
答案　C
解析　∵I1－I2＝·－·
＝·(－)＝·，
又与所成角为钝角，∴I1－I2＜0，即I1＜I2.
∵I1－I3＝·－·
＝||||cos∠AOB－||||cos∠COD
＝cos∠AOB(||||－||||)，
又∠AOB为钝角，OA＜OC，OB＜OD，
∴I1－I3＞0，即I1＞I3.∴I3＜I1＜I2，
故选C.
(2)(2018·绍兴市柯桥区质检)已知向量a，b，c满足|b|＝|c|＝2|a|＝1，则(c－a)·(c－b)的最大值是________，最小值是________．
答案　3　－
解析　由题意得|a|＝，|b|＝|c|＝1，则(c－a)·(c－b)＝|c|2－c·b－c·a＋a·b＝|c|2＋(－a－b＋c)2－(|a|2＋|b|2＋|c|2)＝－＋(－a－b＋c)2，则当向量－a，－b，c同向共线时，(c－a)·(c－b)取得最大值－＋2＝3，当－a－b＋c＝0时，(c－a)·(c－b)取得最小值－.
命题点3　与模有关的最值问题
例4 (1)(2018·浙江金华一中考试)已知，，是空间两两垂直的单位向量，＝x＋y＋z，且x＋2y＋4z＝1，则|－－|的最小值为________．
答案　
解析　方法一　由题意可设＝(1,0,0)，＝(0,1,0)，＝(0,0,1)．由x＋2y＋4z＝1，得x＝1－2y－4z.由＝x＋y＋z＝(x，y，z)，
则|－－|＝
＝
＝
＝≥
＝，
所以|－－|的最小值为.
方法二　由方法一得|－－|＝，又x＋2y＋4z＝1表示一个平面，所以|－－|＝的最小值d为定点(1,1,0)到平面x＋2y＋4z＝1的距离，即d＝＝.
(2)(2018·浙江学军中学模拟)已知平面向量a，b，c满足|a|＝3，|b|＝|c|＝5,0